湖北省武汉市
2010届高中毕业生四月调研测试
数学试题（理科）
本试卷共150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标中与涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题用黑色墨水的签字笔或铅笔直接答在答题卡上，答在试卷上无效。
3．非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试卷上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果复数为纯虚数，那么实数a的值为
（ ）
A．1
B．2
C．—2
D．1或—2
2．已知等差数列=
（ ）
A．
B．
C．—3
D．6
3．函数的反函数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，那么丙地距甲地距离为
（ ）
A．1400km
B．km
C．km
D．km
5．若a、b是异面直线，、是两个不同平面，，则
（ ）
A．l与a、b分别相交
B．l与a、b都不相交
C．l至多与a、b中一条相交
D．l至少与a、b中的一条相交
6．线性回归方程必过点
（ ）
A．（0，0）
B．（）
C．
D．（）
7．用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的三位数中能被9整除的个数为（ ）
A．14
B．16
C．18
D．24
8．若函数有最小值，则实数a的取值范围是
（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．
9．M为△ABC内一点，过点M的一直线交AB边于P，交AC边于点Q，则条件p：“”是条件q：“M点是△ABC的重心”成立的
（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
10．过双曲线的右焦点F的直线l与双曲线右支相交于A、B两点，以线段AB为直径的圆被右准线截得的劣弧的弧度数为，那么双曲线的离心率e=
（ ）
A．
B．
C．2
D．
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。
11．二项式的展开式中的间项系数为 。
12．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围的概率如下：
年最高水位（单位：m）
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
那么在同一时期内，河流在这一处的最高水位在（m）的概率为 。
13．函数上的值域为 。
14．已知实数x、y满足约束条件的取值范围是 。
15．过圆C：作一动直线交圆C于两点P、R，过坐标原点O作直线ON⊥PM于点N，过点P的切线交直线ON于点Q，则= 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知函数的图象向右平移个单位所得到的函数图象经过坐标原点O。
（1）求k的值；
（2）求的单调增区间。
17．（本小题满分12分）
设同时掷两颗骰子，是所掷得的两个点数中不大的点数。
（1）求=3的概率；
（2）求的分布列和期望。
18．（本小题满分12分）
在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=，M，N分别为棱AA1、BC的中点，点P在边A1B1上，且A1P=2PB1。
（1）求证：MN⊥AP；
（2）求二面角M—AN—P的正切值。
19．（本小题满分12分）
已知椭圆C：，且右焦点F到左准线的距离为3。
（1）求椭圆C的方程；
（2）又已知点A为抛物线上一点，直线FA与椭圆C的交点B在y轴的左侧，且满足的最大值。
20．（本小题满分13分）
已知数列
（1）若的取值范围；
（2）记是等比数列；
（3）若的取值范围。
21．（本小题满分14分）
已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的单调区间；
（3）问是否存在实数a，使得不等式恒成立。若存在，则求实数a的取值范围，否则说明理由。
参考答案
一、选择题
1—5 CBAAD 6—10 DBCCD
二、填空题
11． 12．0.82 13．
14．[—3，3] 15．R2
三、解答题
16．解：（1）依题意，则
求得
…………6分
（2）
即的单调递增区间为…………12分
17．解：（1）的情形有（3，3），（3，4），（4，3），（3，5），（5，3），（3，6），（6，3）共7种，
故
…………6分
（2）
…………12分
18．（1）证明：过点N作NH⊥AB于H，连结MN。
∵ABC—A1B1C1为直三棱柱，且NH⊥AB，
∴NH⊥面ABB1A1，
∴MH为MN在面ABB1A1内的射影，且AH=
由三垂线定理知MN⊥AP。
…………6分
（2）取B1C1的中点D，连结DN、DA1
过点P作PF⊥AD于E，过E作EF⊥AN于F，连结PF，
由三垂线定理知：∠PFE为二面角M—AN—P的平面角。
故二面角M—AN—P的正切值为
…………12分
19．解：（1）
①
而右焦点到左准线之距
②
由①②解之得
从而所求椭圆方程为
…………5分
（2）椭圆的右焦点为F（1，0），点B在椭圆上，
即
（当且仅当时取“=”）。
故p的最大值为
…………12分
20．解：（1）则由
…………4分
（2）由
（3）在不符合题意
，
由（2）可知
又
于是
则
…………13分
21．解：（1）由需满足：
故
…………5分
（2）对
上递减。
…………10分
（3）由（2）可知上递增。
故
…………14分
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