基于双幅图像三维重建的不确定性分析

!""!#$% 计算机工程与应用 $ 引言 计算机视觉中引入三维重建误差的定量描述是必要的 &$’， 可对重建方法、采用模型、重建精度等问题进行系统评价。 ()*++,-..、/#01.、2#23)*.-、4#53.6、7-)-89:;、0<*=*>- 等人对重 建误差分析进行了一定的尝试，使这方面的理论获得进展 &!?@’。 53.6 等是最早研究噪声对重建精度影响的。()*++,-.. 对比了事先标定与未标定的重建精度，同时推导出能够评定内 参数对重建精度影响的几种估计算子的协方差模型，讨论了采 用的图象数目、相机方位、相机视线夹角、图像中噪声和点数对 精度的影响，指出图像数目小于十时采用事先标定重建效果较 好，多幅图像、合理的相机方位能大幅地改善重建质量。/#01. 应用矩阵扰动理论和误差传播的线性模型分析了分解法重建 误差，其所作的敏度分析误差来源仅限于图像的小特征匹配误 差，仿射重建中的运动和形状矩阵分别由测量矩阵奇异值 （0AB）分解的三个最大特征值和特征向量组成。0<*=->- 和 0C1), 仅从两幅未标定的图像出发，由其确定的极线几何关系， 考虑了匹配噪声和内参数标定误差对摄像机运动参数估计的 影响。他们应用 0AB 分解理论分解本质矩阵得到外参数，用近 似的一阶误差模型和协方差理论研究误差传播。23)*.- 等研究 了在分解法中特征定位误差对重建精度的影响。 方法的多样性及采用的分析工具的不同，建立统一的误差 分析模型并不现实。前人的工作一般只限于对具体重建方法或 误差来源的讨论，作者应用多元分析的统计方法系统研究多误 差源对重建精度的影响，采用仿真图像进行实验，假定摄像机 已经标定并建立好了匹配，向系统重建模型中输入高斯噪声进 行扰动分析，这样有利于对不确定性的评定。作者采用的重建 模型和多元分析的方法具有更大的通用性。 ! 重建扰动分析模型 !#$ 空间点重建 !#$#$ 摄像机成像几何 摄像机模型（如图 $）是光学成像几何的简化，小孔透视模 型是最简单最常用的摄像机模型。 图 $ 摄像机成像几何 假定成像平面坐标轴夹角 ! 为 " D !，以世界坐标系表示的 基于双幅图像三维重建的不确定性分析 王晓明 臧林然 （大连理工大学机械系现代制造研究所，大连 $$E"!F） GH,-98：8)IJ-.6K+9.-#:*, 摘 要 由于得到基于误差传播理论的重建不确定性显式公式并没有直观性，文章在给出三维重建扰动分析模型的基 础上，应用多元分析的统计方法研究了图像量化误差、匹配误差、标定误差等对重建精度的影响。采用计算机仿真图像进 行实验，向重建模型中输入高斯噪声进行扰动分析，这样有利于对不确定性的评定，仿真实验证明了方法的有效性。最 后，对三维重建点的伸展不确定性也进行了可视化。 关键词 不确定性 多元分析 扰动分析 三维重建 文章编号 $""!H%LL$H（!""!）$%H""!FH"L 文献标识码 M 中图分类号 N2LO$#F$ !"#$%&’("&) *"’+),(, -. /0 1$#-",&%2#&(-" .%-3 45- 63’7$, 8’"7 9(’-3("7 :’"7 ;("%’" （P.+C9C1C3 *Q ,*>3). ,-.1Q-:C1)3，0:R**8 *Q S3:R#G.6#，B-89-. T.9<3)+9CU *Q N3:R.*8*6U，B-89-. $$E"!F） *<,&%’#&： 09.:3 CR3 3VW89:9C 1.:3)C-9.CU 3X1-C9*. *Q LB )3:*.+C)1:C9*. -:R93<3> =U 3))*) W)*W-6-C9*. CR3*)U 9+ .*C 9.C19C9*.9+C9:，CR9+ W-W3) W)3+3.C+ - W3)C1)=-C9*. -.-8U+9+ ,*>38 *Q LB )3:*.+C)1:C9*. -.> +C1>93+ )3:*.+C)1:C9*. W)3:9+9*. -QQ3:C3> =U 9,-63 >969C-89J-C9*. 3))*)，,-C:R9.6 3))*) -.> :-89=)-C9*. 3))*) 1+9.6 ,18C9>9,3.+9*.-8 -.-8U+9+ *Q +C-C9+C9: ,3CR*>#NR3 -1CR*)+ ->> CR3 )3:*.+C)1:C9*. ,*>38 Y9CR (-1++9-. .*9+3 Q*) W3)C1)=-C9*. -.-8U+9+ 1+9.6 +U.CR3C9: 9,-63+， CR1+ 9+ R38WQ18 Q*) 1.:3)C-9.CU 3<-81-C9*.，GVW3)9,3.C-8 )3+18C+ >3,*.+C)-C3+ CR3 <-89>-C9*. *Q *1) ,3CR*>#Z9.-88U， 3VW-.>3> 1.:3)C-9.CU *Q CR3 )3:*.+C)1:C3> W*9.C+ 9+ <9+1-89J3># =$)5-%>,：1.:3)C-9.CU，,18C9>9,3.+9*.-8 -.-8U+9+，W3)C1)=-C9*. -.-8U+9+，LB )3:*.+C)1:C9*. 基金项目：国家自然科学基金项目资助（编号：[O%"[""$） 作者简介：王晓明，男，博士后，大连理工大学机械工程学院副教授，研究方向为现代制造技术、工程数值算法和图像处理。臧林然，男，大连理工大 学机械工程学院硕士生，研究方向为图像处理和计算机视觉。 !F 万方数据 计算机工程与应用 !""!#$% 外部参数 平移（!） 旋转（"） !#（&’）!$（&’）!%（&’）绕 & 轴（度）绕 ’ 轴（度）绕 (轴（度） 位置 $ ()* !"" *+( ,*" $!" " 位置 ! )"" )"" -** ,)- $(- " 相机方位 )点坐标（&*，’*，(*）与其投影点 + 的坐标（,，-）的关系如下： ( , - ! "" # $ %% &$ . ! " ," " " " -" " " " $ ! "" # $ %% &" " ! " !’ ( $ &* ’* (* ! " " " # $ % % % &$ ..$.!)/.) 其中，!，" 分别为水平、垂直焦距；（,"，-"）为主点 0" 坐标； " 和 ! 分别为从世界坐标系到摄像机坐标系的旋转和平移变 换，" 是一个 (/( 的正交矩阵，! 是 (/$ 的平移向量；. 为 (/) 矩阵，称为投影矩阵；.$由内参数决定；.!由外参数决定。 !#$#! 单目双幅图像视觉系统 考虑到点特征的提取容易、定位准确且具一般性，作者研 究单目双幅图像的点重建。图像的获取如图 ! 所示。 图 ! 单目双幅图像的获取 对于空间点 )，用摄像机在不同的视点得到它在 #$和 #! 的图像点分别为 +$和 +!，以 +$点为例有如下投影关系： ( ,1 -1 ! "" # $ %% &$ . ! " ," " " " -" " " " $ ! "" # $ %% &" "2 !2 " !’ ) $ &* ’* (* ! " " " # $ % % % &$ ..1) 其中，"2/ 32$$ 32$! 32$( 32!$ 324! 32!( 32($ 32(! 32(( ! " " # $ % % & ，!2 / 52# 52$ 52%’ ) ! ，1/0$，!1，2.06，71。 !#! 扰动分析 !#!#$ 重建模型 若已知摄像机的内外参数，空间点 )便由其对应的图像点 +$与 +!唯一确定。联立两个投影关系式并消去 ($，(!，可得到： 8&/7 其中，&. &9 : ’9 : (9’ ): ! 为重建空间点 2的世界坐标， 8/ !36$$ 3," 36($ ,,$ 36($ !36$! 3," 36(! ,,$ 36(! !36$( 3," 36(( ,,$ 36(( "36!$ 3-" 36($ ,-$ 36($ "36!! 3-" 36(! ,-$ 36(! "36!( 3-" 36(( ,-$ 36(( !37$$ 3," 37($ ,,! 36($ !37$! 3," 37(! ,,! 37(! !37$( 3," 37(( ,,! 37(( "37!$ 3-" 37($ ,-! 36($ "37$! 3-" 37(! ,-! 37(! "37$( 3-" 37(( ,-! 37(( ! " " "" # $ % % %% & 7. ,$ 56%;!56#;," 56% -$ 56%;"56$;-" 56% ,! 57%;!57#;," 47% -! 57%;"57$;-" 57%’ ) ! ， 8、7 分别为 )/( 及 )/$ 系数矩阵。 !#!#! 扰动分析 一般情况下，总把重建模型中的系统参数看成随机变量， 用它们的期望值和协方差矩阵来表征其特性。把影响重建精度 的系统参数误差理解为一种扰动，向重建模型中输入扰动来分 析重建精度对各系统参数误差的敏感度。 设 8 及 7 的扰动分别为!8、!7。若!8 的模足够小，使 得 5678（8 （仿 真实验中，取 > 的值为 !$）。则平均值 &/ 2 *&2 ? >，平均值不确 定度以方差矩阵表示为 $#/ $>（>;$） 2 *（&2 ;&+）（&2 ;&+）!。多次 测得结果均值以置信概率 + 含于以&+为中心、形状依赖于 $#， 大小依赖于 + 的椭球，即伸展不确定度 9+:。 椭球的形状可由实对称阵 $&分解得到：$& /"&@16A0%$，%!， %(1" ! #。其中，%$、%!、%(为方差矩阵特征值，即椭球沿三个主方向 的比例系数；"# 为一旋转矩阵，由方差矩阵特征向量组成，确 定椭球方位。 ) 仿真实验 为证明文中方法的有效性及定量研究各误差源对重建精 度的影响，作者进行了一系列仿真实验。仿真实验是在 ;<33 语言环境下实现的。 )#$ 实验参数选取 实验参数选取如下：成像平面 )""/)"" 象素，主点位置 （!""，!""），成像平面坐标轴夹角 & = !，水平与垂直焦距分别为 %)" 和 >>" 象素单位。外参数的选取如表 $。 表 $ 实验外参数选取 图 ( 是一已知空间曲面在上述参数下的两组投影图像，这 里只研究感兴趣的九点。 （6）位置 $ （?）位置 ! 图 ( 仿真图像 )#! 实验结果 表 ! 中列出了实验数据，即系统参数在零均值、偏差 ’. "#$ 和 "#- 的高斯噪声扰动后九点的重建误差值。作者定义重 建点 )的不确定性衡量指标：(&. 536BC0$& 1, 。 图 ) 给出了实验数据的折线图显示。从实验数据可以看 出：系统参数中，外参数 " 的较小扰动对重建结果影响最大， !- 万方数据 !""!#$% 计算机工程与应用 主点扰动及匹配误差的影响较大，外参数 ! 的影响次之，内参 数 !、" 的影响最小。扰动对每一点的重建影响也是不一样的， $、&、’ 点受 !、" 的影响较大，(、’、) 点受主点扰动及匹配误差 的影响较大，$、&、(、) 点受外参数 " 的影响较大，*、(、) 点受 外参数 ! 的影响较大。点的重建误差在扰动偏差 #+$ 时变得 较大了。 图 , 显示了内参数 " 在 #-"#$ 的高斯噪声扰动下重建点 的伸展不确定度（椭球的显示无消隐处理）。从分析中得到如下 结论：重建点协方差矩阵最大特征值的特征向量对应最大误差 分布的方向，即摄像机到重建点的方向，且误差的大小与点深 度有正比关系，椭球的形状依赖于重建点协方差矩阵的特征值 和特征向量。 要得到高精度的重建效果，怎样减少匹配等误差，提出更 好的匹配、标定方法，得到高质量的图像，提出更精确的重建模 型，合理的优化相机内外参数等是重点研究的内容。 （.）位置 $ （/）位置 ! 图 , 重建点的伸展不确定度 , 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 文章给出三维重建扰动分析模型，对三维重建不确定性进 行了讨论。为便于对重建不确定性的评定，作者采用计算机仿 真图像进行实验。在实际应用中，如果匹配误差、标定误差、量 化误差等影响重建精度的各种因素已经确定，由文中方法可以 得出针对具体模型的重建不确定性，所以方法具有通用性。 （收稿日期：!""! 年 ( 月） 参考文献 $#周凌翔#计算机视觉若干关键问题研究012#浙江：浙江大学，$))’：&)3(% !#4 567889.::#;:<=6>.?:>@ .:.A@8?8 7B *1 6=<7:8>6C<>?7: B679 C:<.A?D /6.>=E F?=G80H2#I9.J= .:E K?8?7: L79MC>?:J，!"""；（$%）：(%,3()( *#NO.7OC? PC:#46676 LO.6.<>=6?Q.>?7: 7B >O= R.<>76?Q.>?7: S=>O7E0H2# L79MC>=6 K?8?7: .:E I9.J= ;:E=68>.:E?:J，!""$；（%!）：$$"3$*’ &#T T=67:.，P P7.>>7#S7>?7: .:E 8>6C<>C6= B679 ! M=68M=<>?F= F?=G8 7B M A7<.A?Q=E B=.>C6=8：:7?8= 8=:8?>?F?>@ .:.A@8?80U2#L.A?B76:?.#LVP W=，$))* ,#HC@.:J X=:J#S7>?7: .:E P>6C<>C6= B679 WG7 T=68M=<>?F= K?=G8：YAD J76?>O98，46676 Y:.A@8?8 .:E 46676 48>?9.>?7:0H2#I444 W6.:8，T.>>=6: Y:.A S.=AA，$)%)；（$$）：&,$3&’( (#U S Z.6.A?<[#T67M.J.>?:J L7F.6?.:<= ?: L79MC>=6 K?8?7:0L2#I:：T67< G76[8O7M 7: T=6B769.:<= LO.6.<>=6?8>?<8 7B K?8?7: YAJ76?>O98，$))(： $3$! ’#W79.8 PF7/.E.，T=>=6 P>C69#XO.> T6=O . \.EA@ L.A?/6.>=E L.9=6. ?: 4J7D97>?7: 48>?9.>?7:，.: 46676 Y:.A@8?80L2#I:：X76[8O7M 7B >O= YC8>6?.: Y887?7: B76 T.>>=6: U=<7J:?>?7:，$))’：$3) %#孙继广#矩阵扰动分析0S2#北京：科学出版社，!""$ )#刘智敏#不确定度及其实践0S2#北京：中国 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 出版社，!""" 点列 坐标 重建点误差值 $]（^$"=D!<9） # （$，%，&） 扰动参数（#-"#$） 扰动参数（#-"#,） （<9） ! " C"、F" C、F U W ! 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