考研数学概率论与数理统计必记公式

更多资料欢迎到更多资料欢迎到更多资料欢迎到更多资料欢迎到启星考研启星考研启星考研启星考研http://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.com 概率概率概率概率论与数理统计论与数理统计论与数理统计论与数理统计 1．随机事件及其概率 吸收律： AABA AA A =∪ =∅∪ Ω=Ω∪ )( ABAA A AA =∪∩ ∅=∅∩ =Ω∩ )( )(ABABABA −==− 反演律： BABA =∪ BAAB ∪= ∩∪ n i i n i i AA 11 == = ∪∩ n i i n i i AA 11 == = 2．概率的定义及其计算 )(1)( APAP −= 若 BA⊂ )()()( APBPABP −=−⇒ 对任意两个事件 A, B, 有 )()()( ABPBPABP −=− 加法公式：对任意两个事件 A, B, 有 )()()()( ABPBPAPBAP −+=∪ )()()( BPAPBAP +≤∪ )()1()()()()( 21 1 1111 n n n nkji kji nji ji n i i n i i AAAPAAAPAAPAPAP ⋯⋯∪ − ≤<<≤≤<≤== −+++−= ∑∑∑ 3．条件概率 ( )=ABP )( )( AP ABP 乘法公式 更多资料欢迎到更多资料欢迎到更多资料欢迎到更多资料欢迎到启星考研启星考研启星考研启星考研http://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.com ( ) )0)(()()( >= APABPAPABP ( ) ( ) )0)(( )()( 121 12112121 > = − − n nnn AAAP AAAAPAAPAPAAAP ⋯ ⋯⋯⋯ 全概率公式 ∑ = = n i i ABPAP 1 )()( )()( 1 i n i i BAPBP ⋅=∑ = Bayes 公式 )( ABP k )( )( AP ABP k= ∑ = = n i ii kk BAPBP BAPBP 1 )()( )()( 4．随机变量及其分布 分布函数计算 )()( )()()( aFbF aXPbXPbXaP −= ≤−≤=≤< 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()( 1 =−== − kppkXP kk (2) 二项分布 ),( pnB 若 P ( A ) = p nkppCkXP knkk n ,,1,0,)1()( ⋯=−== − * Possion定理 0lim >= ∞→ λ n n np 有 ⋯,2,1,0 ! )1(lim = =− −− ∞→ k k eppC k kn n k n k n n λ λ 更多资料欢迎到更多资料欢迎到更多资料欢迎到更多资料欢迎到启星考研启星考研启星考研启星考研http://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.com (3) Poisson 分布 )(λP ⋯,2,1,0, ! )( === − k k ekXP k λ λ 6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),( baU ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ << −= 其他,0 , 1 )( bxa ab xf ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − = 1 , ,0 )( ab ax xF (2) 指数分布 )(λE ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = − 其他,0 0, )( xe xf xλ λ ⎩ ⎨ ⎧ ≥− < = − 0,1 0,0 )( xe x xF xλ (3) 正态分布 N (µ , σ 2 ) +∞<<∞−= − − xexf x 2 2 2 )( 2 1 )( σ µ σπ ∫ ∞− − − = x t texF d 2 1 )( 2 2 2 )( σ µ σπ * N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞−= − xex x 2 2 2 1 )( π ϕ +∞<<∞−=Φ ∫ ∞− − xtex x t d 2 1 )( 2 2 π 更多资料欢迎到更多资料欢迎到更多资料欢迎到更多资料欢迎到启星考研启星考研启星考研启星考研http://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.com 7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ∫ ∫∞− ∞−= x y dvduvufyxF ),(),( 边缘分布函数与边缘密度函数 ∫ ∫∞− +∞ ∞− = x X dvduvufxF ),()( ∫ +∞ ∞− = dvvxfxf X ),()( ∫ ∫∞− +∞ ∞− = y Y dudvvufyF ),()( ∫ +∞ ∞− = duyufyf Y ),()( 8. 连续型二维随机变量 (1) 区域 G 上的均匀分布，U ( G ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ = 其他,0 ),(, 1 ),( Gyx A yxf (2) 二维正态分布 +∞<<−∞+∞<<∞− × − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + −− − − − − yx eyxf yyxx , 12 1 ),( 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 )())(( 2 )( )1(2 1 2 21 σ µ σσ µµ ρ σ µ ρ ρσπσ 9. 二维随机变量的 条件分布 0)()()(),( >= xfxyfxfyxf X XY X 0)()()( >= yfyxfyf Y YX Y ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− == dyyfyxfdyyxfxf Y YX X )()(),()( ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− == dxxfxyfdxyxfyf X XY Y )()(),()( 更多资料欢迎到更多资料欢迎到更多资料欢迎到更多资料欢迎到启星考研启星考研启星考研启星考研http://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.com )( yxf YX )( ),( yf yxf Y = )( )()( yf xfxyf Y X XY = )( xyf XY )( ),( xf yxf X = )( )()( xf yfyxf X Y YX = 10. 随机变量的数字特征 数学期望 ∑ +∞ = = 1 )( k kk pxXE ∫ +∞ ∞− = dxxxfXE )()( 随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 )( kXE X 的 k 阶绝对原点矩 )|(| kXE X 的 k 阶中心矩 )))((( kXEXE − X 的 方差 )()))((( 2 XDXEXE =− X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 )( lkYXE X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 ( )lk YEYXEXE ))(())(( −− X ,Y 的 二阶混合原点矩 更多资料欢迎到更多资料欢迎到更多资料欢迎到更多资料欢迎到启星考研启星考研启星考研启星考研http://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.comhttp://shop37118804.taobao.com )(XYE X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 ( )))())((( YEYXEXE −− X ,Y 的相关系数 XY YDXD YEYXEX E ρ=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− )()( ))())((( X 的方差 D (X ) = E ((X - E(X))2) )()()( 22 XEXEXD −= 协方差 ( )))())(((),cov( YEYXEXEYX −−= )()()( YEXEXYE −= ( ))()()( 2 1 YDXDYXD −−±±= 相关系数 )()( ),cov( YDXD YX XY =ρ