第5章线性方程组

2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 第 5 章 线性方程组 n元线性方程组 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa L LLLLLLLLLLL L L 2211 22222121 11212111 ， 其中 nxxx ,,, 21 L 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 个未知量，m是方程个 数， 表示第 n ija i个方程中含 jx 项的系数， mbbb ,,, 21 L 叫常数项． 记系数矩阵为 ( )ijaA = ， =x T mbbbb ),,,( 21 L= T nxxx ),,,( 21 L ，常数项向量为 ，则线性方程组可写作矩阵 形式： bAx = ． 如果记 ( )Tmaaa 121111 ,,, L=α ， ( )Tmaaa 222122 ,,, L=α ， ( )Tmnnnn aaa ,,,, 21 LL =α ，则线性方程组可 以表示成向量方程： 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com bxxx nn =+++ ααα L2211 ． 若将一组数 代替未知量 nccc ,,, 21 L x x x,,, 21 L 0= n，使方程组中的m个等式都成立，就 说 是方程组的一个解．方程组的全体 解称为方程组的解集．解集相同的方程组称为同解方 程组． ),,,( 21 nccc L 线性方程组中，如果常数项为０，即 ，称0=b Ax 为齐次线性方程组．若常数项不为０，称 bAx = 为非齐次线性方程组． 5.1 高斯消元法 解方程组的最基本的方法是高斯消元法．设n元 线性方程组 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa L LLLLLLLLLLL L L 2211 22222121 11212111 ， 矩阵 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ mmnmm n n baaa baaa baaa L LLLLL L L 21 222221 111211 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 叫线性方程组的增广矩阵．记作 ( )bAA = ． 所谓高斯消元法就是对线性方程组的增广矩阵 施行矩阵的初等行变换，化作行阶梯形． ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ mmnmm n n baaa baaa baaa L LLLLL L L 21 222221 111211 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ → + 0 0 1 22 11 M MM L r rrn n n d d d d ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → 222 11211 L MMO LL LL rr r r cc ccc cccc 根据行阶梯形，对方程组的解有如下的结论： （１）若 ，方程组无解； 01 ≠+rd （２）若 01 =+rd ，方程组有解．这时又分两种情况： 情况１： nr = ，方程组有唯一解； 情况２： nr < ，方程组有无穷多解． 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 例 1 试问t取什么值时，线性方程组 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −=−− =++ −=+− , ,4 ,42 2 321 321 321 txtxx txxx xxx 无解，有唯一解，有无穷多解． 5.2 非齐次线性方程组 bAx = 有解的条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件是增广 矩阵的秩等于系数矩阵的秩．即 )()( ArAr = ． 如果从方程组的向量表示形式来看，方程组为 bxxx nn =+++ ααα L2211 ． 方程组有解就意味着b可由系数矩阵A的列向量组 线性表出，或说b是系数矩阵A的列向量组的线性组 合． 若n元非齐次线性方程组 bAx = 有解， 当 nAr =)( 时，方程组 bAx = 有惟一解； nAr <)( 时，方程组 bAx = 有无穷多解． 例 2 非齐次线性方程组 bAx = ，其中A是 矩阵，则 nm× bAx = 有惟一解的充分必要条件是 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com （ ）． nArA =)()( ； nArB =)()( ； mArC =)()( ； nArD =)()( 且b为 A的列向量组的线性组 合． 5.3 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是： 若A是 矩阵，则 nm× 齐次线性方程组 0=Ax 有非零解 nAr <⇔ )( ． 齐次线性方程组 0=Ax 只有零解⇔系数矩阵A列 满秩． 对于一些特殊情况，还有以下几个结论： （１）若A是 阶方阵， n 齐次线性方程组 0=Ax 有非零解 0=⇔ A ． （２）若A是 阶方阵，齐次线性方程组n 0=Ax 只 有零解 0≠⇔ A ． （３）若A是 矩阵，当nm× nm < 时，齐次线性 方程组 0=Ax 必有非零解． 例 3 齐次线性方程组 0=Ax ，仅有零解的充分必 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 要条件是 AA)( 的行向量组线性无关； AB)( 的行向量组线性相关； AC )( 的列向量组线性无关； AD)( 的列向量组线性相关． 例4 设齐次线性方程组 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−+ =++ =+ 0 05 0 321 321 31 xxx xxkx kxx ， k为何值时，方程组有非零解？ 例 5 齐次线性方程组 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+−− =−+ =+ =++ 02 03 0 03 321 321 21 321 xxx xkxx xx kxxx 当k为何值时，只有零解？ 5.4 齐次线性方程组的解的性质与齐次线性方程组 的解的结构 齐次线性方程组的解有两个重要性质： （１） 若 1ξ ， 2ξ 是齐次线性方程组 0=Ax 的解, 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 则 1ξ 与 2ξ 的和 21 ξξ + 仍是 0=Ax 的解； （２） 若ξ是齐次线性方程组 0=Ax 的解，则ξ的 任意常数倍 ξk 仍是 0=Ax 的解． 若用S表示齐次线性方程组 0=Ax 的全体解 向量的集合，则性质１和性质２说明S中任意两个向 量的和在S中，S中任一向量的常数倍也在S中，就 是说S对向量的线性运算是封闭的，所以S是一个向 量空间，它是 的一个子空间，称为齐次线性方程 组 nR 0=Ax 的解空间． 齐次线性方程组 0=Ax 的解空间的一个基称 为齐次线性方程组 0=Ax 的一个基础解系． 方程组 0=Ax 的基础解系是方程组的一组线 性无关的解，其要点有三：首先它们都是方程组 0=Ax 的解，其次，它们是线性无关的．其三，它 们是解集合中的一个极大线性无关组，或者说，方程 组 0=Ax 任何一个解都可以由它们线性表出．因此 方程组的基础解系往往不是惟一的． 设n元齐次线性方程组 0=Ax ，系数矩阵A的 秩为r，即 rAr =)( ，则方程组的基础解系有 rn 个解向量． − 若 tξξξ ,,, 21 L 是齐次线性方程组 0=Ax 的 一个基础解系，则齐次线性方程组 0=Ax 的通解 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com （一般解）是 ttkkkx ξξξ +++= L2211 ， 其中 tkkk ,,, 21 L 是任意常数． 解n元齐次线性方程组 0=Ax 的基本 步骤 新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤 ： （1） 对系数矩阵作矩阵的初等行变换，化作简化 行阶梯形．假设这时有r个非零行，则基础解系中有 rn − 个解向量； （2） 选非主元所在列的变量为自由未知量，共有 rn − 个自由未知量； （3） 将自由未知量依次设为单位向量，求得 rn − 线性无关的解向量，就是所求的基础解系． （4） 基础解系中的向量的线性组合就是一般解． 例 6 设 321 ,, ξξξ 是齐次线性方程组 0=Ax 的一 个基础解系，试证明 3132121 2,,ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ++− + 也是齐次线性方 程组 0=Ax 的一个基础解系． 例 7 求齐次线性方程组 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =−+++ =−−+− =−+++ =−+++ 07653 023 05532 034 54321 54321 54321 54321 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 的一个基础解系． 例 8 设有齐次线性方程组 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =++++ =++++ + + =++ ,0)( ,02)2(2 ,0)1( 21 21 21 n n n xannxnx xxax xxxa L LLLLLLLLLL L L )2( ≥n 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解 例 9 已知 3阶矩阵A的第一行是 不 全为零，矩阵 cbacba ,,),,,( ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = k B 63 642 321 ( 为常数)，且k OAB = ，求线性方程组 0=Ax 的通解. 例10 设方程组（１）：⎩⎨ ⎧ =− =+ 0 0 42 21 xx xx ；方程组（２）： ⎩⎨ ⎧ =+− =+− 0 0 432 421 xxx xxx ，求方程组（１）和方 程组（２）的公共解． 例 11 已知齐次线性方程组 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com （i） ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =++ =++ ,0 ,0532 ,032 321 322 321 axxx xxx xxx 和（ii） ⎩⎨ ⎧ =+++ =++ .0)1(2 ,0 32 2 1 321 xcxbx cxbxx 同解，求a， ，c的值. b 5.5 非齐次线性方程组的解的性质与非齐次线性方 程组的解的构造 对应的齐次线性方程组 0=Ax 称为非齐次线 性方程组 bAx = 的导出组． 非齐次线性方程组也有两个性质： （１）若 21 ,ηη 是非齐次线性方程组 bAx = 的两个 解，则 21 ηη − 是导出组 0=Ax 的一个解． （２）非齐次线性方程组 bAx = 的任一解η与导出 组 0=Ax 的解ξ 的和 ξη + 是非齐次线性方程组 Ax b= 的解． 非齐次线性方程组 bAx = 的通解（一般解）是 非齐次线性方程组的一个特解 + 导出组的基础解 系的线性组合． 设非齐次线性方程组 bAx = ， 若 rAr =)( ，η是 bAx = 的一个特解， 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com rn−ξξξ ,,, 21 L 是导出组的基础解系， 则 bAx = 的通解（一般解）是 rnrnkkx −−+++= ξξη L11 , 其中 rnkk −,,1 L 是任意常数． 例 12 已知 21 ,ββ 是非齐次线性方程组 bAx = 的 两个不同的解， 21 ,αα 是导出组 0=Ax 的基础解 系， 21 ,kk 是任意常数，则 bAx = 的通解是 )( 2 )( 21211 21 αααββ +++− kkA ； )( 2 )( 21211 21 αααββ −+++ kkB ； )( 2 )( 21211 21 ββαββ +++− kkC ； )( 2 )( 21211 21 ββαββ −+++ kkD ． 例13 设A为 阶方阵，若n α是非齐次线性方程组 Ax b= 的解， rβββ ,,, 21 L 是导出组 0=Ax 的 基础解系，则 rArA <)()( ； rArB ≥)()( ； rrC r =),,,,()( 21 βββα L ； 1),,,,()( 21 += rrD rβββα L ． 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 例 14 设A是 矩阵，54× A的行向量线性无关，则 错误的是 0)( =xAA T 只有零解； 0)( =AxAB T 必有无穷多解； bxAbC T =∀ ,)( 有惟一解； bAxbD =∀ ,)( 总有无穷多解． 例 15 321 ,, ααα 是４元非齐次线性方程组Ax b= 的３个解向量，且A的秩 3)( =Ar ，已知 ( )T4,3,2,11 =α ， ( )T3,2,1,032 =+αα ，k是任 意常数，则线性方程组 bAx = 的通解为： TT kxA )1,1,1,1()4,3,2,1()( += TT kxB )3,2,1,0()4,3,2,1()( += TT kxC )5,4,3,2()4,3,2,1()( += TT kxD )6,5,4,3()4,3,2,1()( += 例 16 设 阶矩阵n A的伴随矩阵 0* ≠A ，若 4321 ,,, ξξξξ 是非齐次线性方程组 bAx = 的互不 相等的解，则对应的齐次线性方程组 0=Ax 的基础 解系 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com )(A 不存在； )(B 仅含一个非零解向量； )(C 含有两个线性无关的解向量； )(D 含有三个线性无关的解向量． 例 17 求线性方程组 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+−+ =+−− − = −++− 0 23 3252 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 的通解． 例 18 已知方程组 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −=+− =++− =++ 42 4 321 2 321 321 xxx axaxx axxx 有无穷多个解，求a的取值, 并求方程组的通解． 例 19 设线性方程组 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+++++ =+++ =+++ ．14)4()2(3 ,022 ,0 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx μλ μλ 已知( 是该方程组的一个解， 试求 )T1,1,1,1 −− （１） 方程组的全部阶，并用对应的齐次线性方程 组的基础解系表示全部解； 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com （２） 该方程组满足 32 xx = 的全部解． 例 20 设 ( )T0,2,11 =α ， ( )Taa 3,2,12 −+=α ， ( )Tbab 2,2,13 +−−−=α ， ( )T3,3,1 −=β ，试讨论 为何值时， ba, （1）β 不能由 321 ,, ααα 线性表示； （2）β 可由 321 ,, ααα 惟一地线性表示？并求出表 示式； （3）β 可由 321 ,, ααα 线性表示，但表示式不惟一， 并求出表示式． 例 21 设 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= λ λ λ 11 010 11 A ， ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 a b ． 已知线性方程组 bAx = 存在 2 个不同的解， （Ⅰ）求 ;,aλ （Ⅱ）求方程组 bAx = 的通解． 解 （Ⅰ）设 21 ,ηη 为 bAx = 的 2 个不同的解， 则 21 ηη − 是 0=Ax 的一个非零解， 故 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com ( ) ( ) 011 2 =+−= λλA 于是 11 −== λλ 或 当 1=λ 时，因为 )()(r bArA M≠ ，所以 bAx = 无 解，舍去． 当 1−=λ 时，对 bAx = 的增广矩阵施以初等行变 化 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 1111 1020 111 )( a bAM → B a = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − 2000 2 1010 2 3101 因为 bAx = 有解，所以 2−=a ． （Ⅱ）当 2,1 −=−= aλ 时， 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 0000 2 1010 2 3101 B ， 所以 bAx = 的通解为 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= 1 0 1 0 1 3 2 1 kx ， 其中k为任意常数． 5.6 有关线性方程组的综合问题 1．有关矩阵的秩 例 22 设 A是 矩阵，nm× B是 ln× 矩阵，且 A 0=B ，证明 nBrAr ≤+ )()( ． 例 23 设A是 矩阵，证明 nm× )()()( AArArAAr TT == ． 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层 2010 考研数学试题详解与评析 水木艾迪考研辅导班 教务电话：62780040 15810102026 教学与命题研究中心 清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光 葛余博 叶俊 章纪民 赛尔教育—水木艾迪考试培训网: www.tsinghuatutor.com 2．方程组的几何意义 例 24 设 ( ) ,3211 Taaa=α ( ) ,3212 Tbbb= ( ) ,3213 Tccc=α α ( )Tddd 3214 =α ， ( )1111 cba=β , ( )2222 cba=β , ( )3333 cba=β ， 则 三 个 平 面 )3,2,1(,0 ==+++ idzcybxa iiii 两两相交 成三条平行直线的充分必要条件是 3),,,(,2),,()( 4321321 =A r rα α α α α α α= ； 321 ,,)(B α α α 任两个均线性无关且 4α 不能由 321 ,, ααα 线性表出； 321 ,,)( αααC 线性相关且 4α 不能由 321 ,, ααα 线 性表出； )(D 321 ,, βββ 任 两 个 均 线 性 无 关 , 但 321 ,, βββ 线性相关，且 4α 不能由 321 ,, ααα 线性 表出． 清华大学东门清华科技园科技大厦 B 座 18 层