教学素材/数列、极限、数学归纳法
教学素材/数列、极限、数学归纳法
数学归纳法例
题
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讲解
例1.用数学归纳法
证明
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:
.
请读者
分析
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下面的证法:
证明:①n=1时,左边
,右边
,左边=右边,等式成立.
②假设n=k时,等式成立,即:
.
那么当n=k+1时,有:
这就是说,当n=k+1时,等式亦成立.
由①、②可知,对一切自然数n等式成立.
评述:上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的,这是一种假证,假就假在没有利用归纳假设n=k这一步,当n=k+1时,而是用拆项法推出来的,这样归纳假设起到作用,不符合数学归纳法的
要求
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.
正确方法是:当n=k+1时.
这就说明,当n=k+1时,等式亦成立,
例2.是否存在一个等差数列{an},使得对任何自然数n,等式:
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)
都成立,并证明你的结论.
分析:采用由特殊到一般的思维方法,先令n=1,2,3时找出来{an},然后再证明一般性.
解:将n=1,2,3分别代入等式得方程组.
,
解得a1=6,a2=9,a3=12,则d=3.
故存在一个等差数列an=3n+3,当n=1,2,3时,已知等式成立.
下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3,对大于3的自然数,等式
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立.
因为起始值已证,可证第二步骤.
假设n=k时,等式成立,即
a1+2a2+3a3+…+kak=k(k+1)(k+2)
那么当n=k+1时,
a1+2a2+3a3+…+kak +(k+1)ak+1
= k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3]
=(k+1)(k2+2k+3k+6)
=(k+1)(k+2)(k+3)
=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]
这就是说,当n=k+1时,也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)成立.
综合上述,可知存在一个等差数列an=3n+3,对任何自然数n,等式a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)都成立.
例3.证明不等式
(n∈N).
证明:①当n=1时,左边=1,右边=2.
左边<右边,不等式成立.
②假设n=k时,不等式成立,即
.
那么当n=k+1时,
这就是说,当n=k+1时,不等式成立.
由①、②可知,原不等式对任意自然数n都成立.
说明:这里要注意,当n=k+1时,要证的目标是
,当代入归纳假设后,就是要证明:
.
认识了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标.
例4.已知数列{an}满足a1=0,a2=1,当n∈N时,an+2=an+1+an.
求证:数列{an}的第4m+1项(m∈N)能被3整除.
分析:本题由an+1=an+1+an求出通项
公式
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是比较困难的,因此可考虑用数学归纳法.
①当m=1时,a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3,能被3整除.
②当m=k时,a4k+1能被3整除,那么当n=k+1时,
a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3
=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1
=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1
=3a4k+2+2a4k+1
由假设a4k+1能被3整除,又3a4k+2能被3整除,故3a4k+2+2a4k+1能被3整除.
因此,当m=k+1时,a4(k+1)+1也能被3整除.
由①、②可知,对一切自然数m∈N,数列{an}中的第4m+1项都能被3整除.
例5.n个半圆的圆心在同一条直线l上,这n个半圆每两个都相交,且都在直线l的同侧,问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧?
分析:设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧,采用由特殊到一般的方法,进行猜想和论证.
当n=2时,由图(1).两个半圆交于一点,则分成4段圆弧,故f (2)=4=22.
当n=3时,由图(2).三个半径交于三点,则分成9段圆弧,故f (3)=9=32.
由n=4时,由图(3).三个半圆交于6点,则分成16段圆弧,故f (4)=16=42.
由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2.
用数学归纳法证明如下:
①当n=2时,上面已证.
②设n=k时,f (k)=k2,那么当n=k+1时,第k+1个半圆与原k个半圆均相交,为获得最多圆弧,任意三个半圆不能交于一点,所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧,这样就多出k条圆弧;另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段,这样又多出了k+1段圆弧.
∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)
=k2+2k+1=(k+1)2
∴ 满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧.
由①、②可知,满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧.
说明:这里要注意;增加一个半圆时,圆弧段增加了多少条?可以从f (2)=4,f (3)=f (2)+2+3,f (4)=f (3)+3+4中发现规律:f (k+1)=f (k)+k+(k+1).
清华同方教育技术研究院
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