凝聚态物理基础

-1- Chapter 1 基础知识 §1 物理世界的经典图像（还原法） 1.粒子动力学 从经验出发： 观察量 m, q(t) 牛顿方程 ( )2 2 V qd qm dt q ∂= − ∂ （假设 ( )V q 不显含时间） 两边同乘q�，得 ( )V qmqq q q ∂= − ∂��� � ⇔ ( )2 1 2 d dm q V q dt dt = −� ⇒ 21 0 2 d mq V dt ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠� ∴ 1 2 mq V E+ =� （守恒量⇔对称性：系统即有时间平移不变性→能量守恒） {证明：设 't t c= + ，则 ' ' ' dq dq dt dq dt dt dt dt = = ∴ ( )2 2' V qd qm dt q ∂= − ∂ } 系统还具有时间反演不变性： ｛证明：设 't t= − ，则 ' ' ' dq dq dt dq dt dt dt dt = = − ∴ 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' d q d dq d q dt d q dt dt dt dt dt dt = − = = ｝ 在组态空间中，从路径考虑： 定义 拉氏量 ( ) 21, 2 L q q mq V= −� � [经典粒子可区分（通过 ,q q� 来区分），量子中粒子是全同的] 作用量 ( ),S L q q dt= ∫ � [S 是一个泛函] 最小作用量原理 0Sδ = ｛由最小作用量原理推导运动方程： 0L LS q q dt q q δ δ δ⎛ ⎞∂ ∂= + =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ �� 其中 L d L d Lq q q q dt q dt q δ δ δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠�� � � ∵两端点处变分为 0 ∴ ( ) ( ) ( ) ( ) 0fi t f it if d L L Lq dt q t q t dt q q tq t δ δ δ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − =⎜ ⎟∂ ∂∂⎝ ⎠∫ � �� ∴ 0L d LS qdt q dt q δ δ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂= − =⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦∫ � 由于 qδ 可以任意选取，所以有 0L d L q dt q ⎛ ⎞∂ ∂− =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠� ，即为运动方程 ｝ 附注： qδ ( )iq t ( )fq t Chapter 1 基础知识 -2- 附注： 〖例：谐 振子 2 2 21 1 2 2 L mq m qω= −� ，代入运动方 程，有 2 0m q mqω− − =�� 即 2mq m qω= −�� 〗 在相空间中，从能量考虑： 定义 正则动量 Lp q ∂= ∂ � 〖例：谐振子 pp mq q m = ⇒ =� � 〗 哈密顿量 ( ) ( ), ,H q p qp L q q= −� � 〖例：谐振子 ( ) 2 2 21 1, 2 2 H q p p m q m ω= + 〗 ∴ ( )( ),S qp H q p dt= −∫ � H HS q p p q q p dt q p δ δ δ δ δ⎡ ⎤∂ ∂= + − −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∫ � � 其中 ( ) dp q p q p q dt δ δ δ= −� � ∴ 0H HS q p p q dt p q δ δ δ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= − − + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ � � 由于 pδ 、 qδ 任意取，所以有 正则方程 Hq p Hp q ∂⎧ =⎪ ∂⎪⎨ ∂⎪ = −⎪ ∂⎩ � � 【作业：谐振子的正则方程】 泊松括号： 物理量 ( ),A q p （假设不显含时间） { },dA A A A H A Hq p A H dt q p q p p q ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂� � 〖例：{ }, q p q pq p q p p q ∂ ∂ ∂ ∂= − =∂ ∂ ∂ ∂ 1〗 相对论（伽利略变换）： ' ' q q vt t t = −⎧⎨ =⎩ 1 2 1 2' 't t t t− = − 1 2 1 2' 'q q q q− = − [时空间隔相同] 'm m= 【作业：证明运动方程不变： ( )2 2 '' ' V qd qm dt q ∂= − ∂ ｛证明：∵ 2 2 2 2 'd q d q dt dt = ｝】 2.经典场 从经验出发： 物理观察量 ( ), tE x ( ), tB x [矢量场] §1 物理世界的经典图像（还原法） -3- 麦克斯韦方程组 0 4 1 1 14 c t c c t πρ π ∇ =⎧⎪∇ =⎪⎪ ∂⎨∇× = − ∂⎪⎪ ∂∇× = +⎪ ∂⎩ B E BE EB J i i ① ② ③ ④ 设 = ∇×B A ，则③式化为 1 0 c t ∂∇× + ∇× =∂E A 即 1 0 c t ∂⎛ ⎞∇× + =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ AE ∴ 1 c t φ∂+ = −∇∂ AE ∴ 1 c t φ ∂= −∇ − ∂ AE 同理，有②式化为 2 1 4 c t φ πρ∂∇ + ∇ = −∂ Ai ④式化为 2 2 2 1 14 c c t c t φπ 1 ∂ ∂∇×∇× = − ∇ −∂ ∂ AA J 利用 2∇×∇× = −∇ +∇∇A A Ai ，有 2 2 2 2 1 4 c t c t c φ π∂ 1 ∂⎛ ⎞−∇ + +∇ +∇ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ AA A Ji 引入规范变换： ' 1' c t χ χφ φ = +∇⎧⎪ ∂⎨ = −⎪ ∂⎩ A A [物理规律在规范变换下不变] ｛证明：∵∇× =A B ∴ '∇× =A B 1 ' 1 1 1 1' c t c t c t c t c t φ φ χ φ φ∂ ∂ ∂ ∂ ∂−∇ − = −∇ + ∇ − − ∇ = −∇ − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ A A A E ｝ 选择适当的A 与φ，使得 0 c t φ1 ∂ +∇ =∂ Ai Lorantz 规范 则②、④式化简为 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 ' 1 4 ' c t c t c φ φ πρ π ⎧ ∂−∇ + = −⎪⎪ ∂⎨ ∂⎪−∇ + =⎪ ∂⎩ A A J ① ② '① 场的正则形式： 真空中、一维情形： ( )2 22 2 2, 1 0x tx c t φ φ∂ ∂− + =∂ ∂ 构造拉氏量 L 2 2 2 1 1= 2c 2 φ φ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠t x L = +∞ −∞∫ L dx = =∫S Ldt L+∞−∞∫ dxdt {由最小作用量原理推导运动方程： 附注： Chapter 1 基础知识 -4- 附注： L L LS dxdt 0 t x t x φ φδ δ δ δφφ φ φ ⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ∫ 即 L L L 0 t x t x φ φ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + + =∂ ∂∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 将L 代入，有 2 2 2 2 2 1 0 c t x φφ∂ ∂− =∂ ∂ } 正则动量： c t t φπ φ ∂ ∂= =∂ ∂⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ 2 L 1 【作业：求哈密顿方程。｛ t x x t π φφ φ π ∂ ∂ ∂ ∂⎧ = − +⎪ ∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞∂⎪ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎨⎪∂ ∂⎪ =∂ ∂⎩ H H H ｝】 H= Lφπ ∂ −∂t 泊松括号： 物理量 ( ),φ πA { },dA A A AA dt t t x x φ π φφ π π ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = + ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ HH { } ( )( ) ( ) ( ) ( ) ' , ' φ πφ π δφ π ∂ ∂= = −∂ ∂ x x x x x x { }, 1φ π =∫ dx H= ∫E dx πΠ = ∫ dx 伽利略变换： 设 2 2 2 2 2 1 0 c t x φφ∂ ∂− =∂ ∂ 的特解为 ( )i kx te ωφ −∼ ，代入运动方程，有 2 2 2 k 0c ω− + = ∴ 2 2 Tc k T π ω λ π λ = = = [相速度] 引入伽利略变换 ' ' x x vt t t = −⎧⎨ =⎩ ，则 ( ) ( )' '', ' i kx tx t e ωφ −= ，代入运动方程，有 ( ) ( )2 2 2 2 2 ', ', 0 ' ' x t x t c t x φ φ∂ ∂− =∂ ∂ 即 ( )2 2 2 0' kv k c ω+− + = ∴ 'c c v= + §1 物理世界的经典图像（还原法） -5- 【作业：若 'c c= ，则 2 2 ' 1 ' 1 x vtx xt ct β β β −⎧ =⎪ −⎪⎪⎨ −⎪ =⎪ −⎪⎩ ， v c β = 】 '② 场的协变形式： 四维时空中的矢量 ( ) ( )1 2 4 0, , , ,x x x x x ict= =X G ，于是 ( ) ( )0, ,A A A icφ= =A G G ， ( ) ( )0, ,J J J icρ= =J G G 协变形式： 4 c π= −A J, ， u ux x ∂ ∂= ∂ ∂, 3.相对论： 牛顿方程⇒ d dt = pf ， m=p v， ( ) 0 21 mm v β= − 【作业：①证明：牛顿方程是协变的。②证明：牛顿方程是相对论方程的低速近似（ 1v c � ）。】 结论：（1）光速极限。（2） 2 2 4 2 40E m v m c= + [当 0v = 时， 20E m c= ] 相关课题： ·广义相对论 ·超光速： 0T E V= − 若 0E V< ，则 2 0mv < ∵ dxv dτ= ， itτ = [Instanton] ∴ 2 2 2 21 1 1 v v c c β ⎛ ⎞− = − = +⎜ ⎟⎝ ⎠ [波导管——截止频率⇔势垒] 4.经典统计 1 N i i H H = = ∑ ( ),i i iH q p [ 2N -维相空间函数] [还原法——非纠缠态] 2N -维相空间的一个点→状态 状态分布函数密度 i i H kT kTe eρ Η− − ∑ =∼ [正则分布→粒子数不变] d d ρ ρ Γ= Γ ∫ ∫ A A ，其中 dΓ为相空间体积元， d Zρ Γ =∫ 为配分函数 相关课题： 附注： 0VE 0ik xe kxe− Chapter 1 基础知识 -6- 附注： ·平均场近似：——有纠缠（弱） 相互作用用平均场代替： ( )2 2 i i i pH V q m = + ·呈现法：重整化群方法 [放大尺度，模糊特征] 【作业：（1） { }, H t ρρ ρ∂= +∂� ，其中 ( ), N i i i i H H q p=∑ （2） 0 t ρ∂ +∇ =∂ Ji ，其中 ρ=J v ， ii=∑v v 】 §2 量子理论 1.经典理论的困难 场理论的困难（黑体辐射） 普朗克能量子 光电效应(T h Wν= − ) →场量子化＝量子场论 Bose 统计 粒子理论的困难（原子定态能级） 玻尔的轨道量子化 量子化（量子力学） 2.量子化 物理观察量 q ， p [数] （C 数）⇒算符（Q 数） ( )A x ， ( )xϕ [函数] ˆ ˆ, ,q p q p⇒ 量子力学 ˆ ˆ, ,ϕ π ϕ π⇒ 量子场论 ① 对易关系： [ ]ˆ ˆ,q p i= = ( ) ( ) ( )3ˆ ˆ, , ', 't t iϕ π δ= −⎡ ⎤⎣ ⎦x x x x= （玻色子） ( ) ( ){ } ( )3ˆ ˆ, , ', 't t iϕ π δ= −x x x x= （费米子） ② 时间演化： ˆ ˆ ˆ ˆ,dA A i A H dt t ∂ ⎡ ⎤= + ⎣ ⎦∂ = 算符 海森堡——矩阵力学 Dirac 薛定谔——波动力学 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 象理论： 基态： ˆ n n nQ qλ λ= [得到 Qˆ表象的基矢] 分离本征态： 正交归一性： i j ijλ λ δ= 完备性： n n n λ λ =∑ 1 n n n n n n Cψ λ λ ψ λ= =∑ ∑ 连续本征态： dλ λ λ =∫ 1 §2 量子理论 -7- 任意态： ˆ n nA aλ λ= 利用完备性，有 ˆ n n j j n j A aλ λ ψ λ λ ψ=∑ ∑ 即 ˆ n n j j n j A C a Cλ λ=∑ ∑ 两边乘以 mλ ： ˆm n m m A n C aCλ λ =∑ [利用公式 m j mjλ λ δ= ] ∴ mn n m n A C aC=∑ ， 1,2,m = " 写成矩阵形式为 11 1 1 2 2 1 mn n A c c A c a c A ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " " # # " % # # [分别为 Aˆ算符和 ψ 在 Qˆ表象的表示] 【作业：（1） ˆ zσ ± = ± ± ，求 ˆ xσ ， ˆ yσ 在 ˆ zσ 表象中的表示。 （2） 1 1 1ˆ 0 0 0 1 1 1 zS = − − − ，求 ˆxS ， ˆyS 在 ˆzS 表象中的表示。[公式 ˆ ˆ ˆ,x y zS S iS⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ]】 ③测量原理： 2 , ˆ ˆ n n n m n A A n n A m m C aψ ψ ψ ψ= = =∑ ∑ [实际的观测量为算符的平均值] 宏观量子效应 坐标表象： qˆ q q q= [ q ——连续谱] 引入δ函数： 两边同时乘以 'q ： ˆ' 'q q q q q q= ⇒ ( )' 'q q q qδ= − ｛推导： ˆ' ' ' 'q q q q q q q q q= = 若 'q q≠ ，则 ' 0q q = 若 'q q= ，则 ' ' 'q q q q q q dq q q q q dq= =∫ ∵dq 为无穷小 ∴ q q = ∞｝ [δ函数的性质：① ( ) 1 '' 0 q q q dqδ ⎧− = ⎨⎩∫ 包含 其它 ② ( ) ( ) ( )' 'f q q q dq f qδ − =∫ ] ( )ˆ' 'q q q q q qδ= − ( )ˆ' 'dq p q i q q dq δ= − −= {证明： [ ] ( )ˆ ˆ' , 'q q p q i q qδ= −= 且 [ ] ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ' , ' ' 'q q p q q qp pq q q q q p q= − = − 设 ( ) ( )' 'q q f q qδ− = − ，则 附注： Chapter 1 基础知识 - 8 - 附注： ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )' ' ' ' 'd dq q q q dq q q q q dq q q dq dq dq δ δ δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − ⋅ − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫＝－ 第一项为 0，因此 ( ) ( ) ( )' ' 'd q q q q dq q q dq dq δ δ⎡ ⎤− − − −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫＝ ，即 ( ) ( ) ( )' ' 'dq q q q q q dq δ δ⎡ ⎤− − − = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∴ ( )ˆ' 'dq p q i q q dq δ= − −= ｝ 动量表象： pˆ p p p= ( ) ( )p pdi q p qdqψ ψ− == [其解为 i pq p Neψ = = ] ｛证明：两边同时乘以 q ： ( )ˆ pq p p p q p p qψ= = ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ' ' ' ' ' 'p pd dq p p q p q q p dq i q q q dq i qdq dqδ ψ ψ= = − − = −∫ ∫ = = ｝ 在坐标表象中推导 Schrödinger 方程： 在海森堡绘景下： [波函数 ψ 不随时间变化，变化的是算符] 若 ( )ˆ ˆˆ ˆ0A U A U+= ，则 ˆ ˆˆ ,dA i H A dt ⎡ ⎤= ⎣ ⎦= ，其中 ( ) ˆi Ht U t e −= = 为时间演化算符，是一个幺正算符。 [幺正算符： ˆ ˆU U+ = 1且 ˆ ˆUU + = 1 或 1ˆ ˆU U+ −= ] ｛证明：∵ ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ 0i iHt HtA t e A e−= = = ∴ ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 0i i i iHt Ht Ht HtdA i i iHe A e e A e H HA AHdt − −= − = −= = = == = = 在薛定谔绘景下： [算符不变，波函数随时间变化] 无论哪一种绘景，有意义的测量量为算符的平均值： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 0A t A t U t A U t t A tψ ψ ψ ψ ψ ψ+= = = [平均值由薛定谔绘景转化到了海森堡绘景] ∴ ( ) ( ) ˆˆ i Htt U t eψ ψ ψ−= = = ( ) ( )ˆd it H t dt ψ ψ= − = 即 ( ) ( )ˆdi t H t dt ψ ψ== [Schrödinger 方程] 在坐标表象下， xˆ =x x x ∴ ( ) ( )3 3ˆ' ' ' '' '' ''di t d H t d dt ψ ψ=∫ ∫x x x x x x x x= 即 ( ) ( )ˆ, , , 2 i t H t t ψ ψ∂ ⎛ ⎞= ∇⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠x x x == [Schrödinger 方程的坐标表象形式] §2 量子理论 -9- 【作业：谐振子 2 2 2ˆ 1ˆ 2 2 pH m x m ω= + ，对易关系为[ ]ˆ ˆ,x p i= =。求： 附注： ①能谱： ˆ ˆ 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 22 2 m ip m ipH x x a a m m ω ωω ωω ω +⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎛ ⎞= − + + = +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ = == == = [ ˆ ˆ,a a+⎡ ⎤ =⎣ ⎦ 1， ˆ ˆa a ψ λ ψ+ = ，其中λ为任意非负整数] ②证明： ˆ 0n x n = ， ˆ 0n p n = [将 ˆ ˆ,x p 用 ˆ ˆ,a a+表示] ③证明：对于任意相干态 nC nα =∑ ，若 aˆ α α α= ，则 2 2 ! n e n n ααα −= ∑ ④求： ' ?α α = [可以归一，但不正交] （超完备正交基矢） ⑤求 ( )ˆ ?q tα α = ， ( )ˆ ?p tα α = ⑥证明： 2 q pΔ Δ = = [ 22ˆ ˆq q qΔ = − ="] 】 3.态密度算符：——（用算符代替态） ρˆ ψ ψ= ˆ ' 'ρ ψ ψ ψ ψ= [用算符代替态，只要还能够计算平均值，则它就可以代替态。因为只有平均值有意义。] ( ) , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ n m n m m m A A n n A m m m n n A m m A m m A m Tr A ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ρ ρ = = = = = = ∑ ∑ ∑ ∑　　 量子统计： 经典统计： ( )A T Adρ= Γ∫ ，其中 H kTe Z ρ − = 量子统计： ( )ˆ ˆˆA Tr Aρ= ，其中 ˆ1ˆ HkTeZρ −= ， HˆkTZ Tr e−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 二能级系统： 假设系统只有两个态： 1ψ 和 2ψ 纯态： 1 1 2 2C Cψ ψ ψ= + 2 2 * *1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1ˆ C C C C C Cρ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ= = + + + 【作业：求 Aˆ。 Chapter 1 基础知识 -10- 附注： ｛解一： 2 2 * * 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆA A C A C A C C A C C Aψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ= = + + + 解二： ( )ˆ ˆˆA Tr Aρ= ="｝】 混合态： 2 21 1 1 2 2 2ˆ ˆ ˆA C A C Aψ ψ ψ ψ= + [态无法用 1ψ 和 2ψ 表示，但密度算符仍有意义] 2 2 1 1 1 2 2 2ˆm C Cρ ψ ψ ψ ψ= + 态可以用算符表示；同样，算符也可以用态表示： 对于算符 aˆ 和 aˆ+ ，有 ˆ 1 2a+ = ， ˆ 1 0a = ， ˆ 2 1a = ， ˆ 2 0a+ = ∴ ˆ 2 1a+ = ， ˆ 1 2a = 纠缠态： [多体系统] 二体：非纠缠态 ,↑ ↑ = ↑ ↑ 和 ,↓ ↓ 纠缠态 ( )1 2 ↑↓ + ↓↑ 和 ( )1 2 ↑↓ − ↓↑ -11- Chapter 2 Aharonov-Bohm 效应，Dirac 磁单极 奇异规范变换 §1 电磁场中的带电粒子 推导运动方程 带电粒子参数：质量 m，电荷 e 电磁场：B ，E [静止场，均匀] 牛顿方程为 d em e dt c = + ×v E v B 构造拉氏量 2 0 1 2 eL m eA c = − +v v Ai [ 0A= −∇E ] S Ldt⇒ = ∫ 0Sδ⇒ = 得到运动方程 0d L L dt ∂ ∂− =∂ ∂v r ，其中 x y z x y zv v v ∂ ∂ ∂ ∂= ∇ = + +∂ ∂ ∂ ∂v e e ev ， x y zx y zr r r ∂ ∂ ∂ ∂= ∇ = + +∂ ∂ ∂ ∂r e e er ｛验证牛顿方程： L em c ∂ = +∂ v Av ， ( ) d L d em dt dt c ∂ = + ∇∂ v v A v i 利用公式 ( ) ( ) ( )∇ = ∇ + ∇ + ×∇× + ×∇×a b a b b a a b b ai i i ，有 ( ) ( )L e e ee e c c c ∂ = + ∇ = + ∇ + ×∂ E v A E v A v Br i i [对 v的求导均为 0] ( ) ( )d e e em e dt c c c + ∇ = + ∇ + ×v v A E v A v Bi i 化简为 d em e dt c = + ×v E v B ｝ 正则动量 L eL m c ∂= = ∇ = +∂ vp v Av e c m −⇒ = p Av ( ) ( ) ( ) 2 02 2 02 2 0 // 1 / 2 // 1 2 / 2 e ce c e e cH L m eA m m c m e ce c e m eA m c m e c eA m −− −= − = − + − −− ⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠ −= + p Ap A p Ap v p A p Ap A p A p A i i i i [正则动量为 L= ∇vp ，力学动量为 /m e c= −v p A ] 规范变换：（不含时） ' χ= +∇A A ， 0 0 01'A A Ac t χ∂= + =∂ [因为规范不含时，所以 0t χ∂ =∂ ] ' e c χ= + ∇p p ， 'H H= 量子化：（将正则动量变为算符） ˆ i → = ∇p p = ˆ→ =r r r [ ]ˆ ˆ, xx p i= = 附注： Chapter 2 Aharonov-Bohm 效应，Dirac 磁单极 奇异规范变换 -12- 附注： ( )2 0 ˆ /ˆ 2 e c H eA m −= +p A 得到 Schrödinger 方程： ˆi Ht ψ ψ∂ =∂= 量子力学中的规范变换： 正则动量算符： ˆ ˆ' =p p ' χ= +∇A A 【作业：证明 ' ˆ ' 'i H t ψ ψ∂ =∂= ，其中 ( )2 0 ˆ /ˆ ' 2 e c H eA m ′−= +p A ， ' ie ce χψ ψ= = 或 ' ie ce χψ ψ−= = [ ( )1U 变换： 1 2 2 1ir ir ir ire e e e= ] 】 Schrödinger 方程在规范变换下是不变的。 §2 AB 效应 1.经典描述： 若线圈无限长，则在线圈外部，有 0=B ， 0≠A ｛证明： S d d= = Φ∫ ∫∫A l B Si iv ' d d dχ= + ∇ = Φ∫ ∫ ∫A l A l li i iv v v ｝ { }2 0M R= − （二维平面）（出去原点）——多连通空间 { }{ }{ }{ }{ }2 1 0 1 2− −" "是路径的分类 [n 为 winding number，即 topological number(拓扑数)] 在M 内，A 是否比B 包括更多信息（经典）？ [Yes, in principle. No, in practice. ] [利用 test particle, 只能感受到B ，而不是 d∫ A liv ] 2.量子力学解释： 2 ϕπρ Φ=A e ， d d dρ ϕρ ρ ϕ= +l e e ∴ 2 d dρ ϕπρ Φ= = Φ∫ ∫A liv v 2z zρ ϕ ϕρ ρ ϕ πρ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ Φ∇× = + + ×⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠A e e e e ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 z z z z zρ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ρ πρ ρ ϕ πρ πρ πρ πρ ϕ πρ πρ ρ δ ρ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ= × + × + ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∂−Φ Φ −Φ Φ= + × = +∂ >⎧= ⎨Φ =⎩ e e e e e e e e e e e r Φ { }0 { }1 { }2 Φ ρ ρ e ϕe Φ ϕ ,e m §3 Daric 磁单极 -13- 其中用到了 0 2z ϕπρ ⎛ ⎞∂ Φ =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠e ， ϕ ρϕ ∂ = −∂ e e ，并且定义 ( ) ( ) ( )2 x yδ δ δ=r 。 ∴Schrödinger 方程为 21 2 ei t m i c ψ ψ∂ ⎛ ⎞= ∇ −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠A == [这里没有电场，所以 0 0A = ] 引入 Dirac 不可积相因子 0 ie d ceψ ψ ∫= A li= v 【作业：证明 2 20 02i t m ψ ψ∂ = − ∇∂ == 】 对于 AB 效应情况： 02 ie ie id ic hce e e e ϕϕ ϕ αϕπ ΦΦ Φ Φ∫ = = == 【作业：验证 0 hc e Φ = 是磁通量的量纲。】 ∴一条路径的波函数为 0 ie αϕψ ψ= [并不是规范变换] ∴总波函数 ( ) ( )1 20 01 2 1 2 ie ied d c ce eψ ψ ψ ψ∫ ∫Ψ + = +A l A li i= =∼ ( ) ( ) ( )2 1 20 0 1 2 ie ied d d c ce eψ ψ−⎡ ⎤∫ ∫ ∫= +⎢ ⎥⎣ ⎦ A l A l A li i i= = 设 1 2d d− = Φ∫ ∫A l A li i ，则 ( ) ( )2 0 021 2ie d ice e α πψ ψ ψ∫ ⎡ ⎤+⎣ ⎦A li=∼ ∴ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 0 0 0 0 0 * 0* * 2 2 1 2 1 2 1 2 i ie eπα παψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ −Ψ = + + +∼ 取对称路径，有 ( ) ( )0 01 2ψ ψ ψ= = ∴ ( )2 22 1 cos 2ψ παΨ +∼ 这就是 AB 效应 [ 0Φ ——磁通的量子单位] 当α 为整数时，没有可观测的量子效应。 2 0 ine πψ ψ= 是一个规范变换 0 2 2 n ϕ ϕπρ πρ ΦΦ= =A e e 称为奇异规范变换（有奇点） §3 Daric 磁单极 [数学上可以定义 4 mπρ∇ =Bi ，但并无物理意义] 物理上，我们依然取 0∇ =Bi ， 4πρ∇ =Ei 将一对磁极之间的距离无限伸长，则 N 极就表现为一个磁荷q，其 磁感应强度定义为 附注： N Chapter 2 Aharonov-Bohm 效应，Dirac 磁单极 奇异规范变换 -14- 附注： 2 r q r =B e 【作业：证明 4d qπ= Φ =∫∫ B Siw 】 数学上已证明，找不到无奇点的A 。 设 ( ) sin 1 cos q r ϕ θ θ= +A e ，则 ∵ sinr r r rθ ϕθ θ ϕ ∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂e e e ， sinrd dr rd r dθ ϕθ θ ϕ= + +l e e e ∴绕奇异线积分： ( ) ( ) sin sin 2 1 cos 1 cos rd q d q r θ θ ϕ π θθ ⋅= = −+∫ ∫A liv 当θ π= 时， 04 q nπ = Φ = Φ 无可观测效应 4 hcq n eπ⇒ = 4 nhcqe π= Daric 量子化条件 §4 Wu-Yang 磁单极 同理，若考虑 S 极，则 1 cos sin q r ϕ θ θ− += −A e 【作业： −∇× =A B】 { }3 20M R S= − ∼ 非平庸拓扑 于是将空间分为M +和M −，在这两 个空间中都无奇异性。 两个空间中的 Schrödinger 方程为 ˆi H t ψ ψ+ + +∂ =∂= 和 ˆi Ht ψ ψ− − −∂ =∂= 其中 21ˆ 2 2 eH m c± ± ⎛ ⎞= ∇ −⎜ ⎟⎝ ⎠A = 。 取规范变换 χ+ −= +∇A A ， 2 sin q r ϕ χ θ+ −∇ = − =A A e ，于是 ( ) sin 1 cos q r ϕ θ θ+ = +A e ( ) ( ) ( ) ( )2sin 2 1 cos 1 cos 2 1 cos2 sin 1 cos sin sin sin q q q q qq r r r rϕ ϕ ϕ ϕ θ θ θ θ θ θ θ θ θ− + − + − − += − = = = −+A A e e e e 代入到各自的 Schrödinger 方程中： 21 ˆ 2 ei t m c ψ ψ+ + +∂ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠p A= 和 21 ˆ 2 ei t m c ψ ψ− − −∂ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠p A= SM+ +A M− −A -15- 得到其解为 0 2 2 sin 4 sin sin e q e q e ii d i r d i q c r c r che e e eϕ ϕθ ϕ π ϕθ θψ ψ ψ ψ ψ Φ−− − − Φ − + + + + ∫ ∫= = = =e li= = 【作业：证明 ( )ie d ceψ ψ + −−+ − ∫= A A li= 】 [可以看出，相因子与度规无关，是一个拓扑不变量]（球坐标系的度规为 ( )1, , sinr r θ ） 若 0 nΦ =Φ 4 / q n ch e π⇒ = 4 cheq n π⇒ = ___________________________________ 当只有一个磁单极时，我们可以绕奇异线进行积分，从而将奇 点消去。 但若考虑多个磁单极，则由于单个磁单极的积分区域内包含有 其它磁单极的奇点，所以一般来说，多个磁单极无法解（除非 其奇点所处的区域都相同）。 以两个磁单极为例： 若两个磁单极的奇异线均位于M −空间，则绕奇异线积分还仍 然可行，但倘若二者的奇异线在同一直线上，则对于磁单极 2， 其积分区域内就包含了磁单极 1 的奇点。 附注： “天衣岂无缝？ 匠心剪接成。 浑然成一体， 广邃妙绝伦。 造化爱几何， 四力纤维能。 千古寸心事， 欧高黎嘉陈。” ——杨振宁 1 2 1 2 -16- 附注： -17- Chapter 3 含时系统动力学 Berry 位相 §1 绝热近似 Berry 位相 1.一般含时情况 对于含时系统 ( )ˆ ˆ ˆ ˆ, 0dH t H i H H dt t ∂ ⎡ ⎤= + ≠⎣ ⎦∂ = 是一个非保守系 定义瞬时本征态为 ( ) ( ) ( )ˆ n n nH F t E t F t= 而不含时的 Schrödinger 方程的解随时间的演化为 n n i E t E ne Eψ −= = ∴对于含时含时的 Schrödinger 方程 ˆdi H dt ψ ψ== ，我们假设其特解为 ( ) ( ) ( )0 ' 't n n i E t dt nE t e E tψ − ∫= = 代入到方程中，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 ' ' t n n n i E t dt n n nE t E t dE t i e E t E t dt ψ ψ− ∫+ === 故试探解有误，将其修正为 ( ) ( ) ( ) ( )0 ' 't n n n i E t dt i t nE t e e E t γ− ∫Ψ = = 代入到方程中，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 ' ' t n n n n i E t dt n n n nE t E t E t ddE t i e E t E t dt t γψ ψ ψ− ∫+ − === = [这里仍然用到 ( ) ( ) ( )0 ' 't n n i E t dt nE t e E tψ − ∫= = ] ∴ ( ) ( )n n nd di E t E tdt dt γ = ( ) ( ) ( ) 0 ' ' ' ' t n n n dt i E t E t dt dt γ⇒ = ∫ 【作业：证明 ( ) ( ) 0 ' ' ' ' t n n dE t E t dt dt∫ 为纯虚数。】 进一步假设其通解为 ( ) ( ) ( )n n n t C t E tψ =∑ ，代入到 Schrödinger 方程 ˆdi Hdt ψ ψ== ， 有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n n n n di C t E t i C t E t C t E t E t dt + =∑ ∑ ∑�= = 两边乘以 ( )mE t ： ( ) ( ) ( )m n m n m m n di C i C E t E t C E t dt + =∑�= = 在绝热近似下 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 m n m m m n dE t E t ddt E t E t m n dt ≠⎧⎪= ⎨ =⎪⎩ ，故有 附注： Chapter 3 含时系统动力学 Berry 位相 -18- 附注： ( ) ( ) ( )m m m m m mdi C i C E t E t C E tdt+ =�= = ∴ ( ) ( ) ( ) ( )00 ' ' '' ' ' 0tt m mn di E t E t dtE t dt dtm mC e e C − −∫∫= = ，其中第一项为动力学位相，第二项为几何 位相，即 Berry 位相。 2.多个参数含时 周期系统 对于周期系统，有 ( ) ( )t T t+ =R R ， ( )( ) ( )( )ˆ ˆH t H t T= +R R Berry 位相可以重新写作 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 T T m m m m m m m m d dT i E t E t dt i E t E t dt dt dt i E t E t d i E t E t d γ = = ∇ = ∇ = ∇ × ∇ ∫ ∫ ∫ ∫∫ R R R R RR R R R R R R R R Si iv 可以看出 Berry 位相是参数空间中的拓扑不变量，即其与路径无关。 若设 ( ),x yk k=R k ，则 ( )m m m m m x y x y y x T dk dk k k k k γ ψ ψ ψ ψ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂= −⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦∫∫ §2 非绝热近似 AA 位相 1.Bloch 定理 对于具有空间周期性的晶格，有 ( ) ( )ˆ ˆH x a H x+ = ，其对应的波函数为 ( ) ( )ikxx e u xψ = （其中 ( )u x 为周期函数），此即为固体物理中的 Bloch 定理。 同样，对于周期演化的系统，也有 ( ) ( )ˆ ˆH t T H t+ = ，其对应的波函数也可以设为 ( ) ( ) ( )i tt e u tγψ = ，其中 ( ) ( )u t T u t+ = 。 下面我们就给出证明：（完全类似于 Bloch 定理的证明） 引入时间平移算符 Tˆ ： ( ) ( )Tˆ t t Tψ ψ= + ， ( ) ( )1Tˆ t t Tψ ψ− = − ∴ ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆTH t t H t T t Tψ ψ= + + 而 ( ) ( ) ( ) ( )1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆTH t T T t TH t T t Tψ ψ− −= + ∴ ( ) ( ) 1ˆ ˆ ˆ ˆH t T TH t T −+ = 若 Hˆ 平移不变，则 ( ) ( )ˆ ˆH t T H t+ = ˆ ˆ ˆ ˆTH HT⇒ = ˆ ˆ, 0T H⎡ ⎤⇒ =⎣ ⎦ （ ˆ ˆ,T H 有共同本征态） ∵ Hˆ Eψ ψ= ∴ Tˆ ψ λ ψ= 1λ⇒ = ｛证明：∵ ˆ n nT ψ λ ψ= ∴ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆn nt t t T t t t nTλ ψ ψ ψ ψ ψ ψ= = + 当 n→∞时，其为有限值 ∴ 1λ ≤ §2 非绝热近似 AA 位相 -19- 同理， ( ) ( ) ( )1ˆ n nT t t nT tψ ψ ψλ− = − = 当 n→∞时，其为有限值 ∴ 1λ ≥ 因此 1λ = ｝ 设 ( )i te γλ = ，则 ( ) ( ) ( )i tt e u tγψ = ，其中 ( ) ( )u t T u t+ = ∴ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ i t i t