8机械波习题思考题

习题 8-1. 沿一平面简谐波的波线上，有相距 的两质点 与 ， 点振动相m0.2 A B B 位比 点落后 ，已知振动周期为 ，求波长和波速。A 6 π s0.2 解：根据题意，对于 A、B两点， mx 2 612 =∆=−=∆ ，πϕϕϕ 而 相 位 和 波 长 之 间 又 满 足 这 样 的 关 系 ： π λ π λ ϕϕϕ 221212 x xx ∆ −= − −=−=∆ 代入数据，可得：波长λ=24m。又已知 T=2s，所以波速 u=λ/T=12m/s 8-2． 已知一平面波沿 轴正向传播，距坐标原点 为 处 点的振动式为 x O 1x P ，波速为 ，求:)cos( ϕω += tAy u （1）平面波的波动式； （2）若波沿 轴负向传播，波动式又如何?x 解 ：（ 1）根据题意，距坐标原点 为 处 点是坐标原点的振动状态传过来O 1x P 的，其 O点振动状态传到 p点需用 ，也就是说 t 时刻 p处质点的振动 u x t 1=∆ 状态重复 时刻 O处质点的振动状态。换而言之，O处质点的振动状态相当 u x t − 于 时刻 p处质点的振动状态，则 O点的振动方程为： u x t 1+ 波动方程为：]cos[ 1 ϕω ++= ）（ u x tAy 1 1cos[ ] cos[ ( ) ] x x x x y A t A t u u u ω ϕ ω ϕ − = + − + = − +（ ） （2）若波沿 轴负向传播， O处质点的振动状态相当于 时刻 p处质点的 x u x t 1− 振动状态，则 O点的振动方程为： ]cos[ 1 ϕω +−= ）（ u x tAy 波 动 方 程 为 ： 1 1cos[ ] cos[ ( ) ] x x x x y A t A t u u u ω ϕ ω ϕ + = − − + = − +（ ） 8-3. 一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知 点的振动规律为 ，试写出：A )2cos( ϕπν += tAy （1）该平面简谐波的表达式； （2） 点的振动表达式（ 点位于 点右方B B A d 处）。 解 ：（ 1 ） 仿 照 上 题 的 思 路 ， 根 据 题 意 ， 点 的 振 动 规 律 为A ，它的振动是 O 点传过来的，所以 O 点的振动方程为：)2cos( ϕπν += tAy ]2cos[ ϕπν ++= ）（ u l tAy 那么该平面简谐波的表达式为： ]2cos[ ϕπν +++= ）（ u x u l tAy （2）B 点的振动表达式可直接将坐标 ，代入波动方程： x d l= − ]2cos[]2cos[ ϕπνϕπν ++=+ − ++= ）（）（ u d tA u ld u l tAy 也可以根据 B 点的振动经过 时间传给 A点的思路来做。 u d 8-4. 已知一沿 正方向传播的平面余弦波， 时的波形如图所示，且周x s 3 1 =t 期 为 .T s2 （1）写出 点的振动表达式；O （2）写出该波的波动表达式； （3）写出 点的振动表达式；A （4）写出 点离 点的距离。A O 解：由图可知 A=0.1m，λ=0.4m，由题知 T= 2s，ω=2π/T=π，而u=λ/T=0.2m/s。 波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+Ф0］m 关键在于确定 O点的初始相位。 （1） 由上式可知：O 点的相位也可写成：φ=πt+Ф0 由图形可知： 时 y０=-A/2，v０＜0，∴此时的φ=2π／3，s 3 1 =t 将此条件代入，所以： 所以03 1 3 2 ϕπ π += 30 π ϕ = 点的振动表达式 y=0.1cos［πt+π/3］mO （2）波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］m （3） 点的振动表达式确定 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 与 O 点相似由上式可知：A A 点的相位也可写成：φ=πt+ФA0 由图形可知： 时 y０=0，v０>0，∴此时的φ=-π／2，s 3 1 =t 将此条件代入，所以： 所以03 1 2 A ϕπ π +=− 6 5 0 π ϕ −= A A 点的振动表达式 y=0.1cos［πt-5π/6］m （4）将 A点的坐标代入波动方程，可得到 A的振动方程，与（3）结果相同，所 以： y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］= 0.1cos［πt-5π/6］ 可得到： mx A 233.0 30 7 == 8-5. 一平面简谐波以速度 沿 轴负方向传播。已知原点的振动曲m/s8.0=u x 线如图所示。试写出： （1）原点的振动表达式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距 的两点之间的位相差。m1 解：由图可知 A=0.5cm，原点处的振动方程为：y=Acos （ωｔ＋φ） t=0s 时 y=A/2 v>0 可知其相位为φ1= 3 π − t=1s 时 y=0 v<0 可知其相位为φ2= 2 π 代入振动方程， φ= 3 π − ω＋φ= 2 π 可得：ω= T=2π/ω=12/5 6 5π 则 y=0.5cos（ ｔ- ）cm 6 5π 3 π （ 2 ） 沿 轴 负 方 向 传 播 ， 波 动 表 达 式 ：x cm5 5 5y=0.5cos[ (t+ )- ]=0.5cos[ (t+ )- ]a 6 3 6 4 3 x x u π π π π （3）根据已知的 T=12/5， ，可知：m/s8.0=u m 25 48 =λ 那么同一时刻相距 的两点之间的位相差：m1 3.27rad 24 25 2 == ∆ =∆ π λ πϕ x 8-6. 一正弦形式空气波沿直径为 的圆柱形管行进，波的平均强度为cm14 ，频率为 ，波速为 。问波中的平均能量密度和m)J/(s100.9 3 ⋅× − Hz300 m/s300 最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？ 解：(1)∵ I= uw ∴ =9.0×10-3／300=3×10-5 J·m-3 u I w = wmax=2 =0.6×10-4 J·m-3w (2) W= ν πλπω u dwdwV 22 4 1 4 1 == =3×10-5×1π/4×（0.14）２×300/300=4.62×10-7 J 8-7. 一弹性波在媒质中传播的速度 ，振幅 ，频m/s103=u m100.1 4−×=A 率 。若该媒质的密度为 ，求：Hz103=ν 3kg/m800 （1）该波的平均能流密度； （2）1 分钟内垂直通过面积 的总能量。24m100.4 −×=S 解：ω=2πγ=2π 310× （1） ）（ ）（）（ smJ AuI •×= ××××== − 25 2324322 /1058.1 1021080010 2 1 2 1 πωρ （2）1 分钟内垂直通过面积 的总能量24m100.4 −×=S W=ISt J 345 1079.3601041058.1 ×=××××= − 8-8. 与 为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为1S 2S ， 质 点 的 振 动 比 超 前 . 设 的 振 动 方 程 为4/5λ=d 2S 1S 2π 1S ，且媒质无吸收， t T Ay π2 cos10 = （1）写出 与 之间的合成波动方程；1S 2S （2）分别写出 与 左、右侧的合成波动方程。1S 2S 解：（ 1） ) 2 cos( 1101 rtAy λ π ϕω −+= ) 2 cos( 2202 rtAy λ π ϕω −+= 由题意：φ20-φ10= 设它们之间的这一点坐标为 x，则 2 π ) 2 cos( 101 xtAy λ π ϕω −+= ）（）（ xtAxtAy λ π ϕωλ λ ππ ϕω 2 cos] 4 52 2 cos[ 10102 ++=−−++= 相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成为驻波。 合成波为： t T xAyyy π λ π 2 cos 2 cos221 =+= （2） 在 S1 左侧的点距离 S1 为 x： ) 2 cos( 101 xtAy λ π ϕω ++= ）（）（ xtAxtAy λ π ϕωλ λ ππ ϕω 2 cos] 4 52 2 cos[ 10102 ++=++++= 合成波为： ）（ λ π x T t Ayyy +=+= 2cos221 在 S2 右侧的点距离 S1 为 x： ) 2 cos( 101 xtAy λ π ϕω −+= ）（）（ xtAxtAy λ π ϕωλ λ ππ ϕω 2 cos] 4 52 2 cos[ 10102 −+=−−++= 两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为 0。 8-9. 设 与 为两个相干波源，相距 波长， 比 的位相超前 。若1S 2S 4 1 1S 2S 2 π 两波在在 、 连线方向上的强度相同且不随距离变化，问 、 连线上在1S 2S 1S 2S 外侧各点的合成波的强度如何？又在 外侧各点的强度如何？1S 2S 解：由题意：φ1-φ2= ， r1 2 π 在 S1 左侧的点： AS1=r1， AS2=r2， A S1 S2 ∆φ= r2π λ λ π π λ πϕϕ −=−−= − −− 4/1 2 2 2 1212 rr r2 所以 A=A1-A2=0，I=0； S1 S2 A 在 S2 左侧的点： AS1=r1， AS2=r2， r1 ∆φ= 0 4/1 2 2 2 1212 = − −−= − −− λ λ π π λ πϕϕ rr 所以 A=A1+A2=2A，I=4I0； 8-10. 测定气体中声速的孔脱（Kundt）法如下：一细棒的中部夹住，一端有 盘 伸入玻璃管，如图所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞 ，使棒纵向D P 振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率 ， ν 量度相邻波节间的平均距离 ，可求得管内气体中的声速 。试证： 。d u du ν2= 证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距： ，再根据已知条件 ： 2 λ =∆x 量度相邻波节间的平均距离 ，所以： 那么： d 2 λ =d d2=λ 所以波速 du νλν 2== 8-11. 图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。S 为声源， 为声音探测器，如耳或话筒。路径 的长度可以D SBD 变化，但路径 是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度SAD 在 的第一位置时为极小值 100单位，而渐增至 距第一位置B B 为 的第二位置时，有极大值 单位。求：cm65.1 900 （1）声源发出的声波频率； （2）抵达探测器的两波的振幅之比。 解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距： 2 λ =∆x 相邻波节与波腹的间距： 可得： 4 λ =∆x cmx 6.64 =∆=λ 声音的速度在空气中约为 340m/s，所以： ）。（hzu 5151 106.6 340 2 = × == − λ ν 根据强度是振幅的平方的关系：声音强度在 的第一位置时为极小值 100 单位，B 在第二位置有极大值 单位，所以振幅的相对大小为 10与 30单位。极小值的900 原因是两个振幅相减（A1-A2=10 ） ，极大值的原因是两个振幅相加（A1+A2=30 ）。 那么 A1：A2=2：1 。 8-12. 绳索上的波以波速 传播，若绳的两端固定，相距 ，在绳m/s25=v m2 上形成驻波，且除端点外其间有 3 个波节。设驻波振幅为 ， 时绳上各m1.0 0=t 点均经过平衡位置。试写出： （1）驻波的表示式； （2）形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。 解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距： ，如果绳的两端固定，那 2 λ =∆x 么两个端点上都是波节，根据题意除端点外其间还有 3 个波节，可见两端点之间 有四个半波长的距离， ，所以波长 ， ，2 2 4 =×=∆ λ x m1=λ m/s25=v 所以 又已知驻波振幅为 ， 时绳上各点均经）。（hzu π λ πω 502 == m1.0 0=t 过平衡位置，说明它们的初始相位为 关于时间部分的余旋函数应为， 2 π 。）（ 2 50cos π π +t 所以驻波方程为： 0.1cos 2 cos 50 2 y x t π π π= +（ ） （2）由合成波的形式为： t x Ayyy πν λ π 2cos 2 cos221 =+= 可推出合成该驻波的两列波的波动方程为： ）（ xty ππ 250cos05.01 −= ）（ πππ −+= xty 250cos05.02 8-13. 弦线上的驻波波动方程为： . 设弦线的质 txAy ω π λ π cos) 2 2 cos( += 量线密度为 .ρ （1）分别指出振动势能和动能总是为零的各点位置。 （2）分别计算 半个波段内的振动势能、动能和总能量。 2 0 λ → 解 ：（ 1）振动势能和动能总是为零的各点位置是 的地方。0 2 2 cos( =+ ）π λ π x 即： 2 12 2 2 ππ λ π ）（ ±=+ kx 可得： （k=0， ） 2 λk x = ⋯321 ±±± ，， （2）振动势能写成： txdVAdykdW p ω π λ π ωρ 22222 cos 2 2 cos 2 1 )( 2 1 ）（ +== 半个波段内的振动势能： 2 0 λ → tA txdxAdykW p ωωρ λ ω π λ π ωρ λλ 222 22222 0 22 0 cos 8 cos 2 2 cos 2 1 )( 2 1 = +== ∫∫ ）（ )(sin 2 2 cos 2 1 2 1 22222 u x txdVAdmvdW k −+== ω π λ π ωρ ）（ 半个波段内的振动动能： 2 0 λ → tA txdxAdmvW K ωωρ λ ω π λ π ωρ λλ 222 22222 0 22 0 sin 8 sin 2 2 sin 2 1 ( 2 1 = +== ∫∫ ）（） 所以动能和势能之和为： 2 2 8k p W W W A λ ρ ω= + = 8-14. 试计算：一波源振动的频率为 ，以速度Hz2040 向墙壁接近（如图所示），观察者在 点听得拍音的频率sv A 为 ，求波源移动的速度 ，设声速为 。Hz3=ν∆ sv m/s340 解：根据观察者不动，波源运动，即： ，观察者认为接受到的00 =≠ RS u,u 波数变了： 0νν S uu u − = 其中 u=340， 分别代入，可得：。， 20402043 0 == νν 0. /5 S u m s= 8-15. 光在水中的速率为 (约等于真空中光速的 ).在水中m/s1025.2 8× 4/3 有一束来自加速器的运动电子发出辐射[称切连科夫(Cherenkov)辐射]，其波前形 成顶角 的马赫锥，求电子的速率．�116 解： s v uα = 2 sin sm α u v s 8 8 1065.2 2 116 sin 1025.2 2 sin ×= × == ° 思考题 8-1. 下图（a）表示沿 轴正向传播的平面简谐波在 时刻的波形图，则x 0=t 图（b）表示的是： （a）质点 的振动曲线 （b）质点 的振动曲线m n （c）质点 的振动曲线 （d）质点 的振动曲线p q 答：图（b）在 t=0时刻的相位为 ，所以对应的是质点 n的振动曲线，选择 b。 2 π 8-2. 从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。. 答：（1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相 同，同时达到最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价， 两者之和为恒量。 （2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波 的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量 得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的。 8-3. 设线性波源发射柱面波，在无阻尼、各向同性的均匀媒质中传播。问波 的强度及振幅与离开波源的距离有何关系？ 略 8-4. 入射波波形如图所示，若固定点 处将被全部反射。 O （1）试画出该时刻反射波的波形； （2）试画该时刻驻波的波形； （3）画出经很短时间间隔 （<< 周期）时的t∆ T 驻波波形。 略