第五章+++向量代数与空间解析几何

第五章 向量代数与空间解析几何 §5.1 向量代数 (甲) 内容要点 一、空间直角坐标系 二、向量概念 ＝ + + 坐标 模 ＝ 方向角 方向余弦 ＝ ； ＝ ； ＝ 三、向量运算 设 EMBED Equation.3 ； EMBED Equation.3 ； EMBED Equation.3 1． 加（减）法 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ＝ 2． 数乘 3． 数量积（点乘）（ⅰ）定义 · = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （ⅱ）坐标公式 · = + + （ⅲ）重要应用 · =0 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 4．向量积（叉乘） （ⅰ）定义 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ＝ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 与 和 皆垂直，且 ， ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 构成右手系 （ⅱ）坐标公式 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = （ⅲ）重要应用 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， 共线 5、混合积 （ⅰ）定义 （ ， ， ）＝（ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ）· （ⅱ）坐标公式（ ， ， ）= （ⅲ） 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示以 ， ， 为棱的平行六面体的体积 （乙） 典型例题 例1、点P到过A，B的直线之间的距离 d＝ 例2、点P到A,B,C所在平面的距离 d＝ 因为四面体PABC的体积V＝ 而 ＝ ，则V＝ 例3、过点A，B与过点C，D的异面直线之间的距离 d＝ 因为 ， 则d＝ §5.2 平面与直线 （甲） 内容要点 一、 空间解析几何 1 空间解析几何研究的基本问题。 （1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程， （2）已知坐标x，y和z 间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。 2 距离公式 空间两点 与 间的距离d为 3 定比分点公式 是AB的分点： ,点A,B的坐标为 ， ，则 ， ， 当M为中点时， ， ， 二、平面及其方程。 1 法（线）向量，法（线）方向数。 与平面 垂直的非零向量，称为平面 的法向量，通常记成 。法向量 的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面 ，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。 2 点法式方程 已知平面 过 点，其法向量 ＝{A,B,C},则平面 的方程为 或 其中 3 一般式方程 其中A, B, C不全为零. x, y, z前的系数表示 的法线方向数， ＝{A,B,C}是 的法向量 特别情形： ，表示通过原点的平面。 ，平行于z轴的平面。 ，平行 平面的平面。 x＝0表示 平面。 4 三点式方程 设 , , 三点不在一条直线上。则通过A,B,C的平面方程为 5 平面束 设直线L的一般式方程为 ，则通过L的所有平面方程为 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ，其中 6 有关平面的问题 两平面为 ： ： 与 间夹角 垂直条件 平行条件 重合条件 设平面 的方程为 ，而点 为平面 外的一点，则M到平面 的距离d： 三 直线及其方程 1 方向向量、方向数 与直线平行的非零向量 ，称为直线L的方向向量。方向向量的坐标称为方向数。 2 直线的标准方程（对称式方程）。 其中 为直线上的点， 为直线的方向数。 3 参数式方程： 4 两点式 设 , 为不同的两点，则通过A和B的直线方程为 5 一般式方程（作为两平面的交线）： 6 有关直线的问题 两直线为 : : 垂直条件 平行条件 四、平面与直线相互关系 平面 的方程为： 直线L 的方程为： L与 间夹角 L 与 垂直条件 L 与 平行条件 L 与 重合条件 L 上有一点在 上 （乙） 典型例题 例1．求通过 和直线 的平面方程。 解 通过 的所有平面的方程为 其中 为任意实数，且不同时为0。 今把 代上上面形式的方程得 由于方程允许乘或除一个不为0的常数，故取 ,得 ，代入方程得 即 4x－y－z－3＝0 它就是既通过点 又通过直线 的平面方程。 例2 求过直线 且切于球面 的平面 解 过所给直线除平面 外的其它所有平面方程为 即 球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径 于是 得 代入 得两个所求的平面 §5.3 曲面与空间曲线 （甲） 内容要点 一、曲面方程 1、一般方程 2、参数方程 二、空间曲线方程 1、一般方程 2、参数方程 三、常见的曲面方程 1、球面方程 设 是球心，R是半径，P（x，y，z）是球面上任意一点，则 ,即 。 2. 旋转曲面的方程 （ⅰ）设L是 平面上一条曲线，其方程是 EMBED Equation.3 L绕z轴旋转得到旋转曲面，设P（x，y，z）是旋转面上任一点，由点 旋转而来（点 是圆心）. 由 得旋转面方程是 （ⅱ）求空间曲线 绕z轴一周得旋转曲面的方程 第一步：从上面联立方程解出 第二步：旋转曲面方程为 绕y轴一周或绕x轴一周的旋转曲面方程类似地处理 3、二次曲面 曲面名称 方 程 曲面名称 方 程 椭球面 旋转抛物面 椭圆抛物面 双曲抛物面 单叶双曲面 双叶双曲面 二次锥面 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面 四、空间曲线在坐标平面上的投影 曲线C的方程 曲线C在 平面上的投影 先从曲线C的方程中消去Z得到 ，它表示曲线C为准线，母线平行于Z轴的柱面方程，那么 就是C在 平面上的投影曲线方程 曲线C在 平面上投影或在 平面上投影类似地处理 （乙）典型例题 例1、求以点A（0，0，1）为顶点，以椭圆 为准线的锥面方程。 解 过椭圆上任一点P 的母线方程为 因为点 在椭圆上，所以 。而t＝ ，将其代入椭圆方程，得锥面的方程为 。 例2、求旋转抛物面 与平面 =1的交线在 平面上投影方程 解 从曲线方程 中消去z ，得曲线向 平面得投影柱面方程 。于是曲线在 平面商得投影曲线的方程为 例3、求直线 L： 在三个坐标面上的投影； 解 在三个坐标面上的投影分别为 <1>在 平面上： <2>在 平面 <3>在 平面上 例4、求直线L： 在平面 上的投影直线 的方程，并求 绕y 轴一周所成曲面的方程。 解：过L 作垂直于 的平面 的法向量 故 的方程为 投影直线 的方程为 从（1）+（2）得 2x－4y＝0 从（1）－（2）得 2y+4z－2＝0 这样得到 的另一个方程为 于是 绕y轴一周所得曲面方程为 即 � EMBED Equation.3 ��� _1193640322.unknown _1193656453.unknown _1193831065.unknown _1193837708.unknown _1197446399.unknown _1198156734.unknown _1198156935.unknown _1212247601.unknown _1212247824.unknown _1198157145.unknown _1198157477.unknown _1201943224.unknown _1198157207.unknown _1198156965.unknown _1198156811.unknown _1198156888.unknown _1198156763.unknown _1197446472.unknown _1197447243.unknown _1198156708.unknown _1197447343.unknown _1197447060.unknown _1197446626.unknown _1197446417.unknown _1193840019.unknown _1193902622.unknown _1194329763.unknown _1194330047.unknown _1194330094.unknown _1194329825.unknown _1193902727.unknown _1193840125.unknown _1193898710.unknown _1193898835.unknown _1193840192.unknown _1193840048.unknown _1193838650.unknown _1193838918.unknown _1193839422.unknown _1193839707.unknown _1193838752.unknown _1193837917.unknown _1193838120.unknown _1193837784.unknown _1193832301.unknown _1193836199.unknown _1193837483.unknown _1193837509.unknown _1193836825.unknown _1193832344.unknown _1193832360.unknown _1193832316.unknown _1193832080.unknown _1193832257.unknown _1193831966.unknown _1193831986.unknown _1193831821.unknown _1193831880.unknown _1193659828.unknown _1193829487.unknown _1193830622.unknown _1193830870.unknown _1193830968.unknown _1193830983.unknown _1193830889.unknown _1193830775.unknown _1193830848.unknown _1193830733.unknown _1193829620.unknown _1193830337.unknown _1193830407.unknown _1193829729.unknown _1193829564.unknown _1193829583.unknown _1193829503.unknown _1193663473.unknown _1193828861.unknown _1193828963.unknown _1193829311.unknown _1193829467.unknown _1193829070.unknown _1193828904.unknown _1193663595.unknown _1193663662.unknown _1193664762.unknown _1193665032.unknown _1193663623.unknown _1193663522.unknown _1193660346.unknown _1193660655.unknown _1193663032.unknown _1193660627.unknown _1193659878.unknown _1193658099.unknown _1193659527.unknown _1193659653.unknown _1193659709.unknown _1193659582.unknown _1193658216.unknown _1193658362.unknown _1193658127.unknown _1193657536.unknown _1193657973.unknown _1193658005.unknown _1193657883.unknown _1193657144.unknown _1193657199.unknown _1193657124.unknown _1193643974.unknown _1193653161.unknown _1193655606.unknown _1193656087.unknown _1193656149.unknown _1193656425.unknown _1193656120.unknown _1193655742.unknown _1193655797.unknown _1193655656.unknown _1193653487.unknown _1193653597.unknown _1193653925.unknown _1193655579.unknown _1193653985.unknown _1193653846.unknown _1193653520.unknown _1193653232.unknown _1193653463.unknown _1193653215.unknown _1193644836.unknown _1193653081.unknown _1193653132.unknown _1193645055.unknown _1193644730.unknown _1193644748.unknown _1193644581.unknown _1193641114.unknown _1193642320.unknown _1193642874.unknown _1193641212.unknown _1193640818.unknown _1193640873.unknown _1193640757.unknown _1193494934.unknown _1193574708.unknown _1193639314.unknown _1193639721.unknown _1193640011.unknown _1193640283.unknown _1193639338.unknown _1193638315.unknown _1193638711.unknown _1193638105.unknown _1193638276.unknown _1193573265.unknown _1193574663.unknown _1193574691.unknown _1193574563.unknown _1193574581.unknown _1193574544.unknown _1193496004.unknown _1193572879.unknown _1193495956.unknown _1193469508.unknown _1193493674.unknown _1193493953.unknown _1193494409.unknown _1193493893.unknown _1193493299.unknown _1193493636.unknown _1193471176.unknown _1193493206.unknown _1193493245.unknown _1193471235.unknown _1193471047.unknown _1193471154.unknown _1193470746.unknown _1192623667.unknown _1192624003.unknown _1193466971.unknown _1193468888.unknown _1193469130.unknown _1193468563.unknown _1192624037.unknown _1192624038.unknown _1192624004.unknown _1192623949.unknown _1192623960.unknown _1192623950.unknown _1192623778.unknown _1192623686.unknown _1192530643.unknown _1192623126.unknown _1192623329.unknown _1192623640.unknown _1192623348.unknown _1192623287.unknown _1192623318.unknown _1192623276.unknown _1192623277.unknown _1192623229.unknown _1192601544.unknown _1192622763.unknown _1192623052.unknown _1192622743.unknown _1192538937.unknown 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