2003—2009湖南高考文科数学试卷（含答案）

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数 学（文史类） 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．直线 对称的直线方程为 （ ） （A） （B） （C） （D） 2．已知 ， ，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 3．抛物线 的准线方程是 的值为 （ ） （A） （B） （C） （D） 4．等差数列 中，已知 为（ ） （A）48 （B）49 （C）50 （D）51 5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为 ，则双曲线的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D） 6．设函数 ，若 ，则 的取值范围是 （ ） （A）（ ，1） （B）（ ， ） （C）（ ， ） （0， ） （D）（ ， ） （1， ） 7．已知 （ ） （A） （B） （C） （D） 8．函数 （ ） （A）0 （B） （C） （D） 9．已知 （ ） （A） （B） （C） （D） 10．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为 ，该圆柱的全面积为（ ） （A） （B） （C） （D） 11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点 沿与AB夹角为 的方向射到BC上的点 后，依次反射到CD、DA和AB上的点 、 和 （入射角等于反射角）。若 重合，则tg = （ ） （A） （B） （C） （D）1 12．一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） （A） （B） （C） （D） 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 填在题中横线上。 13．不等式 的解集是____________________. 14． 的展开式中 系数是 ________ ​​​​​​. 15．在平面几何里，有勾股定理：“设 。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 的三个侧面 两两互相垂直，则______________________________________________.” 16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种_______________________。（以数字作答） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知正四棱柱 点中点。 （Ⅰ）证明 的公垂线 （Ⅱ）求点 的距离。 18．（本小题满分12分） 已知复数 的辐角为 ，且 是 和 的等比中项，求 . 19．（本小题满分12分） 已知数列 满足 （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）证明 。 20．（本小题满分12分） 已知函数 。 （Ⅰ）求函数 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数 在区间 上的图象。 21．（本小题满分12分） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南 方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 22．（本小题满分14分） 已知常数 ，在矩形ABCD中， ， ，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且 ，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。 2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类 湖南卷） 一、选择题：本大题 共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1．函数 的定义域为 （ ） A． B． C． D． 2．设直线 ax+by+c=0的倾斜角为 ，且sin +cos =0，则a,b满足 （ ） A． B． C． D． 3．设 是函数f(x)= 的反函数，则下列不等式中恒成立的是 （ ） A． B． C． D． 4．如果双曲线 上一点P到右焦点的距离为 , 那么点P到右准线的距离是（ ） A． B．13 C．5 D． 5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为 （ ） A．90° B．60° C．45° D．30° 6．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为 （ ） A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法 C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法 7．若f(x)=-x2+2ax与 在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是 （ ） A． B． C．（0，1） D． 8．已知向量 ,向量 则 的最大值，最小值分别是（ ） A． B． C．16，0 D．4，0 9．若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是 （ ） 10．从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为 （ ） A．56 B．52 C．48 D．40 11．农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元), 预计该地区自2004年起的5 年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元。根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于 （ ） A．4200元~4400元 B．4400元~4600元 C．4600元~4800元 D．4800元~5000元 12．设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R}, A={(x,y)|2x-y+m>0}, B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P（2，3） 的充要条件是 （ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题 共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．过点P（－1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是__________. 14． 的展开式中的常数项为___________(用数字作答) 15．F1，F2是椭圆C： 的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为__________. 16．若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______. 三、解答题：本大题 共6小题，共74分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤. 17．（本小题满分12分） 18．（本小题满分12分） 如图，在底面 是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a,PB=PD= ,点E是PD的中点. （I）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC； （II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角 的正切值. 19．（本小题满分12分） 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 . （Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率； （Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 20．（本小题满分12分） 已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1,2a7,3a4 成等差数列. （I）证明 12S3,S6,S12-S6成等比数列； （II）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2. 21．（本小题满分12分） 如图，已知曲线C1：y=x3(x≥0)与曲线C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于O，A,直线x=t(00)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点。 （I）设点P分有向线段 所成的比为 ，证明: EMBED Equation.3 （II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程. 2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（文史类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共10小，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集U={－2,－1,0,1,2}，A={－2,－1,0}，B={0,1,2}，则 =（　　） 　 A．{0}　 B．{－2，－1}　　 C．{1，2}　　 D．{0，1，2} 2．tan600°的值是（　 ） 　　A． 　　 B． 　　 C． 　　 D． 3．函数f(x)＝ 的定义域是　 （　 ） A． －∞，0]　　 B．[0，＋∞ 　 C．（－∞，0）　 D．（－∞，＋∞） 4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E到平面AB C1D1的距离为（ 　 ） A． 　 B． 　 C． 　 D． 5．已知数列 满足 ，则 = （ ） A．0 B． C． D． 6．设集合A＝｛x| ＜0 ，B＝｛x || x －1|＜a ，若“a＝1”是“ ”的（ 　） 　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分又不必要条件 7．设直线的方程是 ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是 （　 ） 　　A．20　 B．19 C．18 D．16 8．已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为 （O为原点），则两条渐近线的夹角为　（ 　） 　　A．30º　　 B．45º　　 C．60º　　 D．90º 9．P是△ABC所在平面上一点，若 ，则P是△ABC的（　 ） 　　A．外心　 B．内心　 C．重心　 D．垂心 10．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ） A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分（第15小题每空2分），共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11．设直线 和圆 相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是 12．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线.为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样.已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了　　　 件产品 13．在 的展开式中，x 2项的系数是　　　　.（用数字作答） 14．设函数f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数 ,f (4)＝0，则 ＝　 . 15．已知平面 和直线，给出条件：① ；② ；③ ；④ ；⑤ . （i）当满足条件 时，有 ；（ii）当满足条件 时，有 （填所选条件的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知数列 为等差数列，且 （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）证明 17．（本小题满分12分） 已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小 18．（本小题满分14分） 如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2 （Ⅰ）证明：AC⊥BO1； （Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小. 19．（本小题满分14分） 设 ，点P（ ，0）是函数 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线 （Ⅰ）用 表示a，b，c； （Ⅱ）若函数 在（－1，3）上单调递减，求 的取值范围 20．（本小题满分14分） 某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的. （Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率； （Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率 21．（本小题满分14分） 　 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线 l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设 ＝λ . （Ⅰ）证明：λ＝1－e2； （Ⅱ）若 ，△PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程； （Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形 2006年高考文科数学试卷（湖南卷） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数 的定义域是 　 A．(0,1］　　　　　B. (0,+∞)　　　　C. (1,+∞)　　　　D. ［1,+∞) 2．已知向量 若 时， ∥ ； 时， ，则 　 A． 　　　　　 B. 　　　 C. 　　 D. 3. 若 的展开式中 的系数是80，则实数a的值是 　 A．-2　　　　 　B. 　　 　　C. 　　　　D. 2 4．过半径为12的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是 A．π　　　　　　　 B. 2π　　　　 C.　3π　　 　　D. 5．“a=1”是“函数 在区间［1，＋∞）上为增函数”的 　 A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　 B. 必要不充分条件 　 C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　 D. 既不充分也不必要条件 6．在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是 A．6 　　　　B. 12 　　　　C. 18　　　 D. 24 7．圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是 A．36 　　　 B. 18 　　　　 C. 　　　 D. 8．设点P是函数 的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值 ，则 的最小正周期是 A．2π 　　　　B. π 　　　　C. 　　　 D. 9．过双曲线M： 的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且 ，则双曲线M的离心率是 A． 　　　 B. 　　 C. 　　　 D. 10. 如图1：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且 ，则实数对（x,y）可以是 A． 　　　　　B. C. D. 二．填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题上部　对应题号的横上. 11. 若数列 满足： ，2，3….则 　　　　　　. 12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是　　　　　分. 13. 已知 则 的最小值是　　　　　. 14. 过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有　　　　　条. 15. 若 是偶函数，则a= . 三．解答题：本大题共６小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分１２分） 已知 求θ的值. 17.（本小题满分１２分） 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01)： (Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率； (Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率； (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率. 18.（本小题满分１4分） 如图2，已知两个正四棱锥P-ABCD与 Q-ABCD的高都是2，AB=4. (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD； (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角； (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离. 19.（本小题满分14分） 已知函数 . （Ｉ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）若曲线 上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围. 20.（本小题满分14分） 在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列 的逆序数为an，如排列21的逆序数 ，排列321的逆序数 . （Ⅰ）求a4、a5，并写出an的表达式； （Ⅱ）令 ，证明 ，n=1,2,…. 21.（本小题满分14分） 已知椭圆C1： ，抛物线C2： ，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点. （Ⅰ）当 轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上； 　（Ⅱ）若 且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程. 2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（文史类） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 2．若 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ） A． B． C． D． 3．设 （ ）， 关于 的方程 （ ）有实数，则 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．在等比数列 （ ）中，若 ， ，则该数列的前10项和为（ ） A． B． C． D． 5．在 （ ）的二次展开式中，若只有 的系数最大，则 （ ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．如图1，在正四棱柱 中， 分别是 ， 的中点，则以下结论中不成立的是（ ） A． 与 垂直 B． 与 垂直 C． 与 异面 D． 与 异面 7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ） A．48米 B．49米 C．50米 D．51米 8．函数 的图象和函数 的图象的交点个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．设 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点， 是其右准线上纵坐标为 （ 为半焦距）的点，且 ，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 10．设集合 ， 都是 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 ， （ ， ），都有 （ 表示两个数 中的较小者），则 的最大值是（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．圆心为 且与直线 相切的圆的方程是 ． 12．在 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ， ，则 ． 13．若 ， ，则 ． 14．设集合 ， ， ， （1） 的取值范围是 ； （2）若 ，且 的最大值为9，则 的值是 ． 15．棱长为1的正方体 的8个顶点都在球 的表面上，则球 的表面积是 ；设 分别是该正方体的棱 ， 的中点，则直线 被球 截得的线段长为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数 ．求： （I）函数 的最小正周期； （II）函数 的单调增区间． 17．（本小题满分12分） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． （I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率． 18．（本小题满分12分） 如图3，已知直二面角 ， ， ， ， ， ，直线 和平面 所成的角为 ． （I）证明 ； （II）求二面角 的大小． 19．（本小题满分13分） 已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的动直线与双曲线相交于 两点，点 的坐标是 ． （I）证明 ， 为常数； （II）若动点 满足 （其中 为坐标原点），求点 的轨迹方程． 20．（本小题满分13分） 设 是数列 （ ）的前 项和， ，且 ， ， ． （I）证明：数列 （ ）是常数数列； （II）试找出一个奇数 ，使以18为首项，7为公比的等比数列 （ ）中的所有项都是数列 中的项，并指出 是数列 中的第几项． 21．（本小题满分13分） 已知函数 在区间 ， 内各有一个极值点． （I）求 的最大值； （II）当 时，设函数 在点 处的切线为 ，若 在点 处穿过函数 的图象（即动点在点 附近沿曲线 运动，经过点 时，从 的一侧进入另一侧），求函数 的表达式． 2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 湖南数学（文史类） 一、选择题：本大题共10小题，第小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知U＝｛2，3，4，5，6，7｝，M＝｛3，4，5，7｝，N＝｛2，4，5，6｝，则 A.M∩N={4,6} B.M∪N＝U C.( UN)∪M＝U D. ( UN)∩N＝N 2.“|x－1|＜2”是“x＜3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 3.已知变量x、y满足条件 则x+y是最小值是 A.4 B.3 C.2 D.1 4.函数f(x)=x2(x≤0)的反函数是 A. f－1(x)= (x≥0) B. f－1 (x)= － (x≥0) C. f－1(x)= (x≤0) D. f－1(x)= x2(x≤0) 5.已知直线m、n和平面、满足m⊥n，⊥，则 A. n⊥ B. n∥或n C. n⊥ D. n∥或n 6.下列不等式成立的是 A.log32＜log23＜log25 B.log32＜log25＜log23 C.log23＜log32＜log25 D.log23＜log25＜log32 7.在ΔABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝ ，则 A. B. C. D. 8.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是 A.15 B.45 C.60 D.75 9.长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB＝2，AD＝ ，AA1＝1，则顶点A、B间的球面距离是 A. B. C. D. 10.若双曲线 (a＞0，b＞0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，第小题5分，共25分.把答案填在横线上. 11.已知向量a=(1, ),b＝(－2,+∞)，则|a+b|＝ . 12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示. 生活能 否自理 男 女 能 178 278 不能 23 21 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 人. 13.记(2x+ )n的展开式中第m项的系数为bm，若b2＝2b4，则n＝ . 14.将圆x2+y2=1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是 ；若过点(3，0)的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是 . 15.设[x]表示不超过x的最大整数(如[2]=2,[ ]=1),对于给定的n∈N*,定义 ，x∈[1,+∞)，则 ＝ ；当x[2,3)时，函数 的值域是 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分) 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不影响.求： (Ⅰ)至少有1人面试合格的概率： (Ⅱ)没有人签约的概率. 17.（本小题满分12分） 已知函数f(x)＝cox2 (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期； (Ⅱ)当x0∈(0, )且f(x0)＝ 时，求f(x0＋ )的值. 18.（本小题满分12分） 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面积ABCD，PA＝ . (Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PAB； (Ⅱ)求二面角A－BE－P的大小. 19.(本小题满分13分) 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F(2,0)，且两条准线间的距离为λ(λ＞4). (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若存在过点A(1,0)的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求λ的取值范围. 20.(本小题满分13分) 数列{an}满足a1=0,a2=2,a​n+2=(1+cos2 )an+4sin2 ,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求a3,a4,并求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)设Sk=a1+a3+…+a24-1,Tk=a2+a4+…+a24,Wk= 求使Wk＞1的所有k的值，并说明理由. 21.(本小题满分13分) 已知函数f(x)= x4+x3- +cx有三个极值点. (Ⅰ)证明：-27＜c＜5; (Ⅱ)若存在c,使函数f(x)在区间[a,a+2]上单词递减，求a的取值范围. 2009年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）含答案 数学（文史类） 1． 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． lo EMBED Equation.DSMT4 的值为 （ ） A．- B. C. D. 2. 抛物线 =18x的焦点坐标是 （ ） A．（2，0） B. （-2，0） C. （4，0） D. （-4，0） 3．设 是等差数列｛ ｝的前n项和，已知 =3， =11，则 等于 （ ） A．13 B. 35 C. 49 D. 63 4．如图1 D，E，F分别是 ABC的边AB，BC，CA的中点，则 图1 （ ） A． + + =0 B． =0 C． =0 D． =0 5．某地政府召集5家企业的负责人开会，甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ） A．14 B. 16 C.20 D. 48 6．平面六面体ABCD- EMBED Equation.DSMT4 中，既与AB共面也与C 共面的棱的条数为（ ） A．3 B. 4 C.5 D. 6 7．若函数y=f(x)导函数在区间［a,b］是增函数，则函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象可能是（ ） 8. 设函数 在 内有定义，对于给定的正数K，定义函数 取函数 。当K= 时，函数 的单调递增区间为 A B C D （ ） 二 填空题：本大题共七小题，没小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 9 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 10 若 ，则 的最小值为 11 在 的展开式中， 的系数为 12 一个总体分为A.B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已知B层中每个个体被抽到的概率都为 ，则总体中的个体数为 13 过双曲线C： EMBED Equation.DSMT4 的一个焦点作圆 的两条切线 切点分别为A.B，若 （O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 14 在锐角 中， 则 的值等于 2 ， 的取值范围 为 15 如图2，两块斜边长相等的直角三角板在一起，若 ，则 x= ;y= 图2 三 解答题：每小题共6小题，共75分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。 16 （每小题满分12分） 以知向量 。 （1） 若 // ，求 的值。 （2） 若 求 的值。 17.（本小题满分12分） 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设 施工 文明施工目标施工进度表下载283施工进度表下载施工现场晴雨表下载施工日志模板免费下载 程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的. 、 、 ，现在3名工人独立地从中任意一个项目参与建设要求： （I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率。 18.（本小题满分12分） 如图3，在正三棱柱ABC- , , 中，AB=4, A = ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DE EMBED Equation.DSMT4 E (I) 证明：平面 EMBED Equation.DSMT4 平面 ; (II) 求直线AD和平面 所成角的正弦值 19．（本小题满分13分） 已知函数 = + + 的导函数中图象关于直线x=2对称。 （1） 求b的值； （2） 若 在x=1处取得最小值，记此极小值为g(1)，求g(1)的定义域和值域。 20 （本小题满分13分） 已知椭圆C的中心在原点，焦点在 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆边形是一个面积为8的正方形（记为Q） （1） 求椭圆C的方程： （2） 设点P是椭圆C的左准线与 轴的交点，过点P的直线L与椭圆C相交于M.N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线L的斜率的取值范围。 21.（本小题满分13分） 对于数列 若存在常数M＞0,对任意的 ，恒有 则称数列 为B-数列 (I) 首项为1，公比为 的等比数列是否为B-数列？请说明理由; 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论； 2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) 数学（文史类）答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分. 1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13． 14． 15． 16．72 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM， ∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM= D1D 又EC= CC1，且EC⊥MC， ∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1 又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1 ∵BD1 面DBD1， ∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线 （II）解：连结ED1，有V 由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d， 则S△DBC·d=S△DCD ·EF. ∵AA1=2·AB=1. 故点D1到平面BDE的距离为 . 18．解：设z= 由题设 即 （舍去） 即|z|= 19．（I）解∵ （II）证明：由已知 = 所以 20．解（I） 所以函数 的最小正周期为π，最大值为 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 1 1 1 故函数 在区间 上的图象是（如右图）： 21．解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向. 在t时刻：t（h）台风中心 的坐标为 此时台风侵袭的区域是 ， 其中 t+60， 若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有 即 即 ， 解得 . 答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭 22．解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值. 由题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a） 设 ， 由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）. 直线OF的方程为： ， ① 直线GE的方程为： .　　② 从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程 ， 整理得 . 当 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当 时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长. 当 时，点P到椭圆两个焦点 的距离之和为定值 . 当 时，点P到椭圆两个焦点 的距离之和为定值 2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学参考答案（文史类 湖南卷） 1.D 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.A 10.C 11.B 12.A 13．2x－y+4=0 14．84 15．2 16． 17．（本小题满分12分） 解：由 于是 18．（Ⅰ）证法一 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中， 由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD. 因为 所以 、 、 共面. 又PB 平面EAC，所以PB//平面EAC. 证法二 同证法一得PA⊥平面ABCD. 连结BD，设BD AC=O，则O为BD的中点. 连结OE，因为E是PD的中点，所以PB//OE. 又PB 平面EAC，OE 平面EAC，故PB//平面EAC. （Ⅱ）解 作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD. 作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角 的平面角. 又E是PD的中点，从而G是AD的中点， 所以 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件. 由题设条件有 由①、③得 代入②得 27[P(C)]2－51P(C)+22=0. 解得 （舍去）. 将 分别代入 ③、② 可得 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是 （Ⅱ）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件， 则 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为 20．（Ⅰ）证明 由 成等差数列， 得 ， 即 变形得 所以 （舍去）. 由 得 所以12S3，S6，S12－S6成等比数列. （Ⅱ）解： 即 ① ①× 得： 所以 21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由 得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）. 即 （Ⅱ） 令 解得 当 从而 在区间 上是增函数； 当 从而 在区间 上是减函数. 所以当 时， 有最大值为 22．解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程 得 ① 设A、B两点的坐标分别是 、 、x2是方程①的两根. 所以 由点P（0，m）分有向线段 所成的比为 ， 得 又点Q是点P关于原点的对称点， 故点Q的坐标是（0，－m），从而 . 所以 （Ⅱ）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）. 由 得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为 设圆C的方程是 则 解之得 所以圆C的方程是 即 2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（文史类）参考答案 一、选择题：1—5：CDABB 6—10： ACDDB 二、填空题： 11． 12．5600 13．35 14．－2 15．③⑤ ②⑤ 三、解答题： 16．（I）解：设等差数列 的公差为d. 由 即d=1. 所以 即 （II）证明因为 ， 所以 17．解法一 由 得 所以 即 因为 所以 ，从而 由 知 从而 . 由 即 由此得 所以 EMBED Equation.3 解法二：由 由 、 ，所以 即 由 得 所以 即 因为 ，所以 由 从而 ，知B+2C= 不合要求. 再由 ，得 所以 EMBED Equation.3 18．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1. 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1 所在直线分别为 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0）， B（0，3，0），C（0，1， ） O1（0，0， ）. 从而 所以AC⊥BO1. （II）解：因为 所以BO1⊥OC， 由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC， 是平面OAC的一个法向量. 设 是0平面O1AC的一个法向量， 由 得 . 设二面角O—AC—O1的大小为 ，由 、 的方向可知 EMBED Equation.3 ， >， 所以cos EMBED Equation.3 ， >= 即二面角O—AC—O1的大小是 解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1， 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO1， OC是AC在面OBCO1内的射影. 因为 ， 所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1 由三垂线定理得AC⊥BO1. （II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC. 设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC. 所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角. 由题设知OA=3，OO1= ，O1C=1， 所以 ， 从而 ， 又O1E=OO1·sin30°= ， 所以 即二面角O—AC—O1的大小是 19．解：（I）因为函数 ， 的图象都过点（ ，0），所以 ， 即 .因为 所以 . 又因为 ， 在点（ ，0）处有相同的切线，所以 而 将 代入上式得 因此 故 ， ， （II）解法一 . 当 时，函数 单调递减. 由 ，若 ；若 由题意，函数 在（－1，3）上单调递减，则 所以 又当 时，函数 在（－1，3）上单调递减. 所以 的取值范围为 解法二： 因为函数 在（－1，3）上单调递减，且 是（－1，3）上的抛物线， 所以 即 解得 所以 的取值范围为 20．解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等. （I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为 （从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有 种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A1，那么事件A1的概率为 P（A1）= （II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A2和A3，则事件A3的概率为P（A3）= ，事件A2的概率为 P（A2）=1－P（A1）－P（A3）= 解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为 （先从3个景区任意选定2个，共有 种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有 种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有 种不同选法）.所以P（A2）= 21．（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l： 与x轴、y轴的交点， 所以A、B的坐标分别是 所以点M的坐标是（ ）. 由 即 ， 证法二：因为A、B分别是直线l： 与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是 设M的坐标是 所以 因为点M在椭圆上，所以 即 解得 （Ⅱ）当 时， ，所以 由△MF1F​2​​的周长为6，得 所以 椭圆方程为 （Ⅲ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 设点F1到l的距离为d，由 得 所以 即当 △PF1F​2​​为等腰三角形 解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|， 设点P的坐标是 ， 则 ， 由|PF1|=|F1F2|得 两边同时除以4a2，化简得 从而 于是 . 即当 时，△PF1F2为等腰三角形 2006年高考文科数学参考答案（湖南卷） 1－10：DCDAABCBCDC 11. , 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 . 16. 解　由已知条件得 . 即 . 解得 . 由0＜θ＜π知 ，从而 . 17. 解　（Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是 . （Ⅱ）解法一　某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是 ，从而煤矿不被关闭的概率是0.90. 解法二　某煤矿不被关闭包括两种情况：（i）该煤矿第一次安检合格；（ii）该煤矿第一次安检不合格，但整改后合格. 所以该煤矿不被关闭的概率是 . (Ⅲ)由题设（Ⅱ）可知，每家煤矿不被关闭的概率是0.9，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是 . 18. 解法一　（Ⅰ）连结AC、BD，设 . 由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD. 从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD. （Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD. 由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，2），A（ ，0，0），Q（