高考数学山东理试题及解析

2017年高考数学山东理试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 及解析2017年高考数学山东理1.(2017年山东理)设函数y=eq\r(4-x2)的定义域为A，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=()A.（1,2）B.C.（-2,1）D.[-2,1)1.D【解析】由4-x2≥0得-2≤x≤2，由1-x＞0得x＜1，故A∩B={x|-2≤x≤2}∩{x|-2≤x＜1}.故选D.2.(2017年山东理)已知a∈R,i是虚数单位.若z=a+eq\r(3)i,z·eq\o(\s\up5(-),\s\do1(z))=4，则a=()A.1或-1B.eq\r(7)或-eq\r(7)C.-eq\r(3)D.eq\r(3)2.A【解析】由z=a+eq\r(3)i,z·eq\o(\s\up5(-),\s\do1(z))=4得a2+3=4，所以a=±1.故选A.3.(2017年山东理)已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.p∧¬qC.¬p∧qD.¬p∧¬q3.B【解析】由x＞0时，x+1＞1，ln（x+1）＞0，知p是真命题，由-1＞-2，但（-2）2＞（-1）2可知q是假命题，，则p∧¬q是真命题.故选B.4.(2017年山东理)已知x,y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\al(x-y+3≤0，,3x+y+5≤0，,x+3≥0，))则z=x+2y的最大值是（）A.0B.2C.5D.64.C【解析】约束条件eq\b\lc\{(\a\al(x-y+3≤0，,3x+y+5≤0，,x+3≥0，)) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数z=x+2y，即y=-eq\f(1,2)x+eq\f(z,2)，平移直线y=-eq\f(1,2)x+eq\f(z,2)，可知当直线y=-eq\f(1,2)x+eq\f(z,2)经过直线3x+y+5=0与x=-3的交点(-3,4)时，z=x+2y取得最大值，为zmax=-3+2×4=5.故选C.5.(2017年山东理)为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为eq\o(\s\up5(^),\s\do1(y))=eq\o(\s\up5(^),\s\do1(b))x+eq\o(\s\up5(^),\s\do1(a))．已知eq\i\su(i=1,10,xi)=225，eq\i\su(i=1,10,yi)=1600，eq\o(\s\up5(^),\s\do1(b))=4．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A.160B.163C.166D.1705.C【解析】由已知得eq\o(\s\up5(-),\s\do1(x))=22.5,eq\o(\s\up5(-),\s\do1(y))=160,则eq\o(\s\up5(^),\s\do1(a))=160-4×22.5=70，当x=24时，eq\o(\s\up5(^),\s\do1(y))=4×24+70=166.故选C.6.(2017年山东理)执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）A.0，0B.1，1C.0，1D.1，06.D【解析】第一次输入x=7，22＜7，否，否，b=3，32＞7，是，a=1；第二次输入x=9，22＜9，否，否，b=3，32=9，否，是，a=0.故选D.7.(2017年山东理)若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A.a+eq\f(1,b)＜eq\f(b,2a)＜log2（a+b）B.eq\f(b,2a)＜log2（a+b）＜a+eq\f(1,b)C.a+eq\f(1,b)＜log2（a+b）＜eq\f(b,2a)D.log2（a+b）＜a+eq\f(1,b)＜eq\f(b,2a)7.B【解析】因为a＞b＞0，且ab=1，所以a＞1，0＜b＜1，所以eq\f(b,2a)＜1，log2（a+b）＞log22eq\r(ab)=1，2a+eq\f(1,b)＞a+eq\f(1,b)＞a+ba+eq\f(1,b)＞log2（a+b）.故选B.8.(2017年山东理)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A.eq\f(5,18)B.eq\f(4,9)C.eq\f(5,9)D.eq\f(7,9)8.C【解析】标有1，2，…，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到2张卡片上的数奇偶性不同的概率是eq\f(2C15C14,9×8)=eq\f(5,9).故选C.9.(2017年山东理)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A9.A【解析】由题意知sin(A+C)+2sinBcosC=2sinAcosC+cosAsinC，所以2sinBcosC=sinAcosC2sinB=sinA2b=a.故选A.10.(2017年山东理)已知当x∈[0,1]时，函数y=(mx-1)2的图象与y=eq\r(x)+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A.(0,1]∪[2eq\r(3),+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,eq\r(2)]∪[2eq\r(3),+∞)D.(0,eq\r(2)]∪[3,+∞)10.B【解析】当0＜m≤1时，eq\f(1,m)≥1，y=(mx-1)2在[0,1]上单调递减，且y=(mx-1)2∈[(m-1)2，1]，y=eq\r(x)+m在x∈[0,1]上单调递增，且y=eq\r(x)+m∈[m，1+m]，此时有且仅有一个交点；当m＞1时，0＜eq\f(1,m)＜1，y=(mx-1)2在[eq\f(1,m),1]上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需（m-1）2≥1+mm≥3.故选B.11.(2017年山东理)已知（1+3x）n的展开式中含有x2项的系数是54，则n=_________．11.4【解析】（1+3x）n的展开式的通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 为Tr+1=Crn(3x)r=Crn·3rxr，令r=2，得C2n·32=54，解得n=4．12.(2017年山东理)已知e1,e2是互相垂直的单位向量，若eq\r(3)e1-e2与e1+λe2的夹角为60°，则实数λ的值是_________．12.eq\f(eq\r(3),3)【解析】∵（eq\r(3)e1-e2）·（e1+λe2）=eq\r(3)e12+eq\r(3)e1·λe2-e1·e2-λe22=eq\r(3)-λ，|eq\r(3)e1-e2|=eq\r(（eq\r(3)e1-e2）2)=eq\r(3e12-2eq\r(3)e1·e2+e22)=2，|e1+λe2|=eq\r(（e1+λe2）2)=eq\r(e12+2e1·λe2+λ2e22)=eq\r(1+λ2)，∴eq\r(3)-λ=2eq\r(1+λ2)×cos60°=eq\r(1+λ2)，解得λ=eq\f(eq\r(3),3).13.(2017年山东理)由一个长方体和两个eq\f(1,4)圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.13.2+eq\f(π,2)【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以V=2×1×1+2×eq\f(π×12,4)×1=2+eq\f(π,2).14.(2017年山东理)在平面直角坐标系xOy中,双曲线eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.14.y=±eq\f(eq\r(2),2)x【解析】由抛物线定义可得：|AF|+|BF|=yA+eq\f(p,2)+yB+eq\f(p,2)=4×eq\f(p,2)yA+yB=p,因为eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1，,x2=2py))a2y2-2pb2y+a2b2=0,所以yA+yB=eq\f(2pb2,a2)=pa=eq\r(2)b渐近线方程为y=±eq\f(eq\r(2),2)x.15.(2017年山东理)若函数exf（x）(e=2.71828是自然对数的底数)在f（x）的定义域上单调递增,则称函数f（x）具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为_________．①f（x）=2-x②f（x）=3-x③f（x）=x3④f（x）=x2+215.6【解析】=1\*GB3①exf（x）=ex·2-x=（eq\f(e,2)）x在R上单调递增，故f（x）=2-x具有M性质；=2\*GB3②exf（x）=ex·3-x=（eq\f(e,3)）x在R上单调递减，故f（x）=3-x不具有M性质；=3\*GB3③exf（x）=ex·x3，令g（x）=ex·x3，则g′（x）=ex·x3+3ex·x2=x2ex（x+3），当x＞-3时，g′（x）＞0，当x＜-3时，g′（x）＜0，∴exf（x）=ex·x3在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，+∞）上单调递增，故f（x）=x3不具有M性质；=4\*GB3④exf（x）=ex（x2+2），令g（x）=ex（x2+2），则g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex[（x+1）2+1]＞0，∴ex（x2+2）在R上单调递增，故f（x）=x2+2具有M性质．16.(2017年山东理)设函数f(x)=sin(ωx-eq\f(π,6))+sin(ωx-eq\f(π,2))，其中0＜ω＜3.已知f(eq\f(π,6))=0.（1）求ω；（2）将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移eq\f(π,4)个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[-eq\f(π,4),eq\f(3π,4)]上的最小值.16.解：（1）因为f(x)=sin(ωx-eq\f(π,6))+sin(ωx-eq\f(π,2))，所以f(x)=eq\f(eq\r(3),2)sinωx-eq\f(1,2)cosωx-cosωx=eq\f(eq\r(3),2)sinωx-eq\f(3,2)cosωx=eq\r(3)（eq\f(1,2)sinωx-eq\f(eq\r(3),2)cosωx）=eq\r(3)sin（ωx-eq\f(π,3)）.有题设知f(eq\f(π,6))=0，所以eq\f(ωπ,6)-eq\f(π,3)=kπ，k∈Z.故ω=6k+2，k∈Z，又0＜ω＜3，所以ω=2.（2）由（1）得f(x)=eq\r(3)sin（2x-eq\f(π,3)）.所以g(x)=eq\r(3)sin（x+eq\f(π,4)-eq\f(π,3)）=eq\r(3)sin（x-eq\f(π,12)）.因为x∈[-eq\f(π,4),eq\f(3π,4)]，所以x-eq\f(π,12)∈[-eq\f(π,3),eq\f(2π,3)]，当x-eq\f(π,12)=-eq\f(π,3)，即x=-eq\f(π,4)时，g(x)取得最小值-eq\f(3,2).17.(2017年山东理)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是eq\o(\s\up5(⌒),\s\do1(DF))的中点.（1）设P是eq\o(\s\up5(⌒),\s\do1(CE))上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（2）当AB=3，AD=2时，求二面角E-AG-C的大小.17.解：（1）因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，所以BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°.（2）解法一：取eq\o(\s\up5(⌒),\s\do1(EC))的中点H，连接EH，GH，CH.因为∠EBC=120°，所以四边形BEHC为菱形，所以AE=GE=AC=GC=eq\r(32+22)=eq\r(13).取AG中点M，连接EM，CM，EC.则EM⊥AG，CM⊥AG，所以∠EMC为所求二面角的平面角.又AM=1，所以EM=CM=eq\r(13-1)=2eq\r(3).在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos120°=12，所以EC=2eq\r(3)，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°.解法二：以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得A(0,0,3),E(2,0,0)，G(1,eq\r(3),3)，C(-1,eq\r(3),1)，故eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AE))=(2,0,-3)，eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AG))=(1,eq\r(3),0)，eq\o(\s\up5(→),\s\do1(CG))=(2,0,3)，设m=（x1，y1，z1）是平面AEG的一个法向量.由eq\b\lc\{(\a\al(m·eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AE))=0，,m·eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AG))=0，))可得eq\b\lc\{(\a\al(2x1-3z1=0，,x1+eq\r(3)y1=0，))取z1=2，可得平面AEG的一个法向量m=（3，-eq\r(3)，3）.设n=（x2，y2，z2）是平面ACG的一个法向量.由eq\b\lc\{(\a\al(m·eq\o(\s\up5(→),\s\do1(AG))=0，,m·eq\o(\s\up5(→),\s\do1(CG))=0，))可得eq\b\lc\{(\a\al(x2+eq\r(3)y2=0，,2x2+3z2=0，))去z2=-2，可得平面ACG的一个法向量n=（3，-eq\r(3)，-2）.所以cos=eq\f(m·n,|m|·|n|)=eq\f(1,2).因此所求的角为60°.18.(2017年山东理)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；（2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.18.解：（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)=eq\f(C48,C510)=eq\f(5,18).(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4.则P(X=0)=eq\f(C56,C510)=eq\f(1,42),P(X=1)=eq\f(C46C14,C510)=eq\f(5,21),P(X=2)=eq\f(C36C24,C510)=eq\f(10,21),P(X=3)=eq\f(C26C34,C510)=eq\f(5,21),P(X=4)=eq\f(C16C44,C510)=eq\f(1,42),因此X的分布列为X01234Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)X的数学期望是EX=0×P（X=0）+1×P（X=1）+2×P（X=2）+3×P（X=3）+4×P（X=4）=0×eq\f(1,42)+1×eq\f(5,21)+3×eq\f(5,21)+4×eq\f(1,42)=2.19.(2017年山东理)已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2.（1）求数列{xn}的通项公式；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1所围成的区域的面积.19.解：（1）(I)设数列{xn}的公比为q，由已知q＞0.由题意得eq\b\lc\{(\a\al(x1+x1q=3，,x1q2-x1q=2，))所以3q2-5q-2=0，因为q＞0,所以q=2,x1=1，因此数列{xn}的通项公式为xn=2n-1(2)过P1，P2，P3，…，Pn+1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q3，…，Qn+1，由（1）得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1.记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn.由题意bn=eq\f(（n+n+1）,2)×2n-1=（2n+1）×2n-2，所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=3×2-1+5×20+7×21+…+（2n-1）×2n-3+（2n+1）×2n-2，①又2Tn=3×20+5×21+7×22+…+（2n-1）×2n-2+（2n+1）×2n-1，②=1\*GB3①-=2\*GB3②得-Tn=3×2-1+（2+22+…+2n-1）-（2n+1）×2n-1=eq\f(3,2)+eq\f(2（1-2n-1）,1-2)-（2n+1）×2n-1.所以Tn=eq\f(（2n-1）×2n+1,2).20.(2017年山东理)已知函数f(x)=x2+2cosx，g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)，其中e=2.71828…是自然对数的底数.（1）求曲线y=f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；（2）令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.20.解：（1）由题意f(π)=π2-2，又f′(x)=2x-2sinx，所以f′(π)=2π，因此曲线y=f(x)在点(π，f(π))处的切线方程为y-(π2-2)=2π（x-π），即.（2）由题意得h(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx),因为h′(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+ex(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)=2ex(x-sinx)-2a(x-sinx)=2(ex-a)(x-sinx),令m(x)=x-sinx，则m′(x)=1-cosx≥0，所以m(x)在R上单调递增.因为m（0）=0，所以当x＞0时，m（x）＞0，当x＜0时，m（x）＜0，(1)当a≤0时，ex-a＞0，当x＜0时，h′(x)＜0，h（x）单调递减，当时，h′(x)＞0，h（x）单调递增，所以当x=0时h（x）取到极小值，极小值是h（0）=-2a-1；(2)当a＞0时，h′(x)=2（ex-elna）（x-sinx），由h′(x)=0得x1=lna，x2=0.①当0＜a＜1时，lna＜0，当x∈（-∞，lna）时，ex-elna＜0，h′(x)＞0，h（x）单调递增；当x∈（lna，0）时，ex-elna＞0，h′(x)＜0，h（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，ex-elna＞0，h′(x)＞0，h（x）单调递增.所以当x=lna时h（x）取得极大值.极大值为h（lna）=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2]，当x=0时h（x）取到极小值，极小值是h(0)=-2a-1；②当a=1时，lna=0，所以当x∈（-∞，+∞）时，h′(x)≥0，函数h（x）在（-∞，+∞）上单调递增，无极值；③当a＞1时，lna＞0，所以当x∈（-∞，0）时，ex-elna＜0，h′(x)＞0，h（x）单调递增；当x∈（0，lna）时，ex-elna＜0，h′(x)＜0，h（x）单调递减；当x∈（lna，+∞）时，ex-elna＞0，h′(x)＞0，h（x）单调递增.所以当x=0时h（x）取到极大值，极大值是h（0）=-2a-1；当x=lna时h（x）取到极小值.极小值是h（lna）=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2]综上所述：当a≤0时，h（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，函数h（x）有极小值，极小值是h（0）=-2a-1；当0＜a＜1时，函数h（x）在（-∞，lna）和（0，+∞）上单调递增，在（lna，0）上单调递减，函数h（x）有极大值，也有极小值，极大值是h（lna）=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2]，极小值是h（0）=-2a-1；当a=1时，函数h（x）在（-∞，+∞）上单调递增，无极值；当a＞1时，函数h（x）在（-∞，0）和（lna，+∞）上单调递增，在（0，lna）上单调递减，函数h（x）有极大值，也有极小值，极大值是h（0）=-2a-1，极小值是h（lna）=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].21.(2017年山东理)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1（a＞b＞0）的离心率为eq\f(eq\r(2),2)，焦距为.（1）求椭圆E的方程；（2）如图，动直线l：y=k1x-eq\f(eq\r(3),2)交椭圆E于A，B两点，C是椭圆上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2=eq\f(eq\r(2),4)，M是线段延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，eq\o\ac(○,·)M的半径为|MC|，OS，OT是eq\o\ac(○,·)M的两条切线，切点分别为S，T.求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.21.解：（1）由题意知e=eq\f(c,a)=eq\f(eq\r(2),2)，2c=2，所以a=eq\r(2)，b=1，因此椭圆E的方程为eq\f(x2,2)+y2=1.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(x2,2)+y2=1，,y=k1x-eq\f(eq\r(3),2)，))得(4k12+2)x2-4eq\r(3)k1x-1=0，由题意知Δ＞0，且x1+x2=eq\f(2eq\r(3)k1,2k12+1),x1x2=-eq\f(1,2(2k12+1))，所以|AB|=1+k12|x1-x2|=eq\r(2)eq\f(eq\r(1+k12)eq\r(1+8k12),2k12+1).由题意可知圆M的半径r为r=eq\f(2eq\r(2),3)eq\f(eq\r(1+k12)eq\r(1+8k12),2k12+1).由题设知k1k2=eq\f(eq\r(2),4)，所以k2=eq\f(eq\r(2),4k1)，因此直线OC的方程为y=eq\f(eq\r(2),4k1)x.联立方程eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(x2,2)+y2=1，,y=eq\f(eq\r(2),4k1)x，))得x2=eq\f(8k12,1+4k12),y2=eq\f(1,1+4k12)，因此|OC|=eq\r(x2+y2)=eq\r(eq\f(1+8k12,1+4k12)).由题意可知sineq\f(∠SOT,2)=eq\f(r,r+|OC|)=eq\f(1,1+eq\f(|OC|,r))，而eq\f(|OC|,r)=eq\f(eq\r(eq\f(1+8k12,1+4k12)),eq\f(2eq\r(2),3)eq\f(eq\r(1+k12)eq\r(1+8k12),2k12+1))=eq\f(3eq\r(2),4)eq\f(1+2k12,eq\r(1+4k12)eq\r(1+k12))，令t=1+2k12，则t＞1，eq\f(1,t)∈（0，1），因此eq\f(|OC|,r)=eq\f(3,2)eq\f(t,eq\r(2t2+t-1))=eq\f(3,2)eq\f(1,eq\r(2+eq\f(1,t)-eq\f(1,t2)))=eq\f(3,2)eq\f(1,eq\r(-（eq\f(1,t)-eq\f(1,2)）2+eq\f(9,4)))≥1，当且仅当eq\f(1,t)=eq\f(1,2)，即t=2时等号成立，此时k1=±eq\f(eq\r(2),2)，所以sineq\f(∠SOT,2)≤eq\f(1,2)，因此eq\f(∠SOT,2)≤eq\f(π,6)，所以∠SOT最大值为eq\f(π,3).综上所述：∠SOT的最大值为eq\f(π,3)，取得最大值时直线l的斜率为k1=±eq\f(eq\r(2),2).