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第十一章算法、框图、复数、推理与证明114数学归纳法理.ppt

第十一章算法、框图、复数、推理与证明114数学归纳法理

ranfand
2019-03-18 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《第十一章算法、框图、复数、推理与证明114数学归纳法理ppt》,可适用于市场营销领域

重点难点重点:数学归纳法.难点:①数学归纳法的证明思路.②初始值n的确定.知识归纳.归纳法归纳法有不完全归纳法和完全归纳法如果我们考察了某类对象中的一部分由这一部分具有某种特征而得出该类对象中的全体都具有这种特征的结论为不完全归纳.由不完全归纳法得出的结论不一定都是正确的其正确性还需进一步证明如果我们考察了某类对象中的每一个对象而得出该类对象的某种特征的结论为完全归纳由完全归纳法得出的结论一定是正确的数学归纳法是一种完全归纳法..数学归纳法一般地证明一个与正整数n有关的命题可按下列步骤进行:()归纳奠基:验证当n取第一个值n时结论成立()归纳递推:假设当n=k(kisinN*且kgen)时结论成立.推出n=k+时结论也成立.只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n开始的所有自然数n(ngen)都成立这种证明方法叫做数学归纳法..归纳、猜想与证明从观察一些特殊的简单的问题入手根据它们所体现的共同性质运用不完全归纳法作出一般命题的猜想然后从理论上证明(或否定)这种猜想这个过程叫做ldquo归纳mdash猜想mdash证明rdquo.它是一个完整的思维过程是人们从事科学研究、认识发现规律的有效途径也是用来培养创新思维能力的有效办法因此它就成了高考命题的热点之一.误区警示在应用数学归纳法的过程中:第①步验证n=n时结论成立的n不一定为根据题目要求有时可为、等.第②步证明n=k+时命题也成立的过程中一定要用到归纳假设否则就不是数学归纳法.这两个步骤缺一不可前一步是递推的基础后一步是递推的依据缺了哪一步得出的结论也是错误的.另外归纳假设中要保证n从第一个数n开始即假设n=k(kgen)时结论成立括号内限制条件改为kn就错了.添减项法和放缩法.用数学归纳法证明命题时根据需要有时应添项或减项这是数学归纳法证题的常用技巧..在用数学归纳法证明不等式时常根据题目的需要进行恰当的放缩要注意既不能放缩的不到位也不能放缩过了头.例 用数学归纳法证明+++hellip+n-=n-(nisinN*)的过程中第二步假设当n=k时等式成立则当n=k+时应得到(  )A.+++hellip+k-+k-=k+-B.+++hellip+k+k+=k--+k+C.+++hellip+k-+k+=k+-D.+++hellip+k-+k=k-+k解析:原等式左边是+++hellip+n-从到n-右边是n-故当n=k时等式为++hellip+k-=k-当n=k+时等式为++hellip+k-+k=k+-=k-+k答案:D点评:用数学归纳法证明命题时从n=k到n=k+的过渡是证题的关键环节实际证明时要据不同问题用不同方法讨论证明恒等式或不等式时关键要抓住项数和项的增减变化.证明整除性命题时凑出归纳假设的形式是关键证明图形类问题时要注意从n=k到n=k+究竟图形中发生了哪些变化等等.用数学归纳法证明命题ldquon为正奇数时xn+yn能被x+y整除rdquo时假设n=k(k为正奇数)时命题为真则进而需证当时命题为真(  )A.n=k+B.n=k+(k为正奇数)C.n=k+(k为正奇数)D.n=k-(k为正奇数)答案:C例 nisinN*求证:-eqf(,)+eqf(,)-eqf(,)+hellip+eqf(,n-)-eqf(,n)=eqf(,n+)+eqf(,n+)+hellip+eqf(,n)分析:本题左边表达式为数列eqblc{rc}(avsalco((-)n+f(,n)))的前n项和.证明:()当n=时左边=-eqf(,)=eqf(,)右边=eqf(,+)=eqf(,)左边=右边.()假设n=k时等式成立即-eqf(,)+eqf(,)-eqf(,)+hellip+eqf(,k-)-eqf(,k)=eqf(,k+)+eqf(,k+)+hellip+eqf(,k)则当n=k+时eqblc(rc)(avsalco(-f(,)+f(,)-f(,)+f(,k-)-f(,k)))+eqblc(rc)(avsalco(f(,k+)-f(,k+)))=eqblc(rc)(avsalco(f(,k+)+f(,k+)+hellip+f(,k)))+eqblc(rc)(avsalco(f(,k+)-f(,k+)))=eqf(,k+)+eqf(,k+)+hellip+eqf(,k+)+eqf(,k+)即当n=k+时等式也成立.综合()()可知对一切自然数n等式成立.点评:用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于ldquo先看项rdquo弄清等式两边项的构成规律等式的两边各有多少项项的多少与n的取值是否有关.当n=k到n=k+时等式的两边会增加多少项增加怎样的项.用数学归纳法证明(n+)(n+)(n+)hellip(n+n)=nmiddotmiddotmiddotmiddothellipmiddot(n-) (nisinN+).分析:从n=k到n=k+的过渡左边增加了因式(k+)(k+)减少了因式k+右边k变成k+增加了因式(k+).证明:()当n=时左边==右边等式成立.()假设n=k(kisinN+)时等式成立即(k+)(k+)hellip(k+k)=kmiddotmiddotmiddotmiddothellipmiddot(k-)则当n=k+时(k+)(k+)hellip(k+k)(k+)(k+)=(k+)(k+)hellip(k+k)middot(k+)=kmiddot(k+)=k+middot(k+)-等式也成立.由()、()可知等式对任何nisinN+都成立例 用数学归纳法证明:+eqf(,)+eqf(,)+hellip+eqf(,n)-eqf(,n) (nge).解析:deg当n=时+eqf(,)=eqf(,)-eqf(,)=eqf(,)命题成立.deg假设n=k(kisinN+且kge)时命题成立即+eqf(,)+eqf(,)+hellip+eqf(,k)-eqf(,k)点评:用数学归纳法证明不等式常常要用到放缩法即在归纳假设的基础上通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式.当n=k+时+eqf(,)+eqf(,)+hellip+eqf(,k)+eqf(,(k+))-eqf(,k)+eqf(,(k+))-eqf(,k)+eqf(,k(k+))=-eqf(,k)+eqf(,k)-eqf(,k+)=-eqf(,k+)命题成立.由deg、deg知原不等式在nge时均成立.本例中用eqf(,(k+))eqf(,k(k+))放缩是关键一步有时也常用eqf(,k)eqf(,k(k+))放缩.证明:+eqf(,r())+eqf(,r())+hellip+eqf(,r(n))eqr(n) (nisinN+).分析:比较n=k与n=k+时两不等式+eqf(,r())+eqf(,r())+hellip+eqf(,r(k))eqr(k)①+eqf(,r())+eqf(,r())+hellip+eqf(,r(k))+eqf(,r(k+))eqr(k+)②可以发现把①作为条件来证明②即证不等式.eqr(k)+eqf(,r(k+))eqr(k+) ③成立适当放缩可证得结论也可以先用其它证法证明③式成立再完成全部证明过程.证明:①n=时左边==右边结论成立.②假设n=k (kisinN+)时结论成立即+eqf(,r())+eqf(,r())+hellip+eqf(,r(k))eqr(k)则当n=k+时+eqf(,r())+eqf(,r())+hellip+eqf(,r(k))+eqf(,r(k+))eqr(k)+eqf(,r(k+))=eqf(r(k)middotr(k+)+,r(k+))eqf(k+(k+)+,r(k+))=eqr(k+)结论也成立.由①②知原不等式成立.点评:用数学归纳法证明与自然数n有关的命题时不是不能结合其它证明方法而是证明n=k+时结论成立时必须用上归纳假设(即n=k时命题的结论).本题中证明②式成立不能丢开①式另用其它方法只要把①式作为条件用上了再结合其它方法(如放缩法、分析法、综合法等)是合理的分析:关键弄清凸k边形到k+边形对角线增加的条数可以设想将k边形的一条边变为两条边增加一个顶点该顶点与原来的k个顶点有k-条对角线原来的这条边也成了一条对角线故对角线共增加了k-条.例 用数学归纳法证明:凸n边形的对角线的条数:f(n)=eqf(,)n(n-) (nge).证明:∵三角形没有对角线theren=时f()=命题成立.假设n=k(kge)时命题成立即f(k)=eqf(,)k(k-)则当n=k+时凸k边形由原来的k个顶点变为k+个顶点对角线条数增加k-条.theref(k+)=f(k)+k-=eqf(,)k(k-)+k-=eqf(,)(k+)(k+)-there当n=k+时命题成立there对任何nisinN且nge有n边形对角线条数为f(n)=eqf(,)n(n-).平面上有n个圆其中任何两圆都相交任何三圆不相交于同一点求证:这n个圆把平面分成的区域数为f(n)=n-n+分析:关键是n=k到n=k+的过渡要想搞清f(k+)比f(k)多出平面区域的块数就要先弄清第k+个圆被原来的k个圆分成了多少段每一段把它所在的原平面区域一分为二为此先求出第k+个圆与原来的k个圆的交点个数即可.证明:()当n=时一个圆把平面分成两个部分又f()=-+=所以n=时命题成立.()假设n=k时命题成立即平面内满足条件的k个圆把平面分成f(k)=k-k+个部分.则n=k+时第k+个圆与前k个圆中的每一个各有两个交点又无三圆相交于同一点故共得k个交点这k个交点把第k+个圆分成k条圆弧每条圆弧把原来所在的区域一分为二所以平面的区域增加k个即f(k+)=f(k)+k=k-k++k=(k+)-(k+)+所以当n=k+时命题也成立.由()()可知对一切正整数n命题都成立 例 在平面直角坐标系中设不等式组eqblc{rc(avsalco(x,y,yle-n(x-))) (nisinN*)所表示的平面区域为Dn设Dn内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为an(nisinN*).解析:()当n=时D为Rt△OAB的内部包括斜边这时a=当n=时D为Rt△OAB的内部包括斜边这时a=()求a、a、a猜想an的表达式并加以证明()设数列{an}的前n项和为Sn数列eqblc{rc}(avsalco(f(,Sn)))的前n项和为Tn是否存在自然数m使得对一切nisinN*Tnm恒成立?若存在求出m的值若不存在请说明理由.当n=时D为Rt△OAB的内部包括斜边这时a=hellip由此可猜想an=n下面用数学归纳法证明:①当n=时猜想显然成立.②假设当n=k时猜想成立即ak=k(kisinN*)将不等式yle-k(x-)kisinN*化为le-xkisinN*可知取整点时x=或平面区域Dk为Rt△OABk的内部包括斜边、平面区域Dk+为Rt△OABk+内部包括斜边there平面区域Dk+比平面区域Dk多个整点即当n=k+时ak+=k+=(k+)这就是说当n=k+时猜想也成立由①②知an=n对一切nisinN*都成立.()∵an=nthere数列{an}是首项为公差为的等差数列thereSn=eqf(n(+n),)=eqf(n(n+),)∵eqf(,Sn)=eqf(,n(n+))=eqf(,)eqblc(rc)(avsalco(f(,n)-f(,n+)))thereTn=eqf(,S)+eqf(,S)+hellip+eqf(,Sn)=eqf(,)eqblcrc(avsalco(blc(rc)(avsalco(-f(,)))+blc(rc)(avsalco(f(,)-f(,)))+hellip+blc(rc)(avsalco(f(,n)-f(,n+)))))=eqf(,)eqblc(rc)(avsalco(-f(,n+)))=eqf(n,(n+))要使对一切nisinN*Tnm恒成立therem(Tn)min∵Tn=eqf(,)eqblc(rc)(avsalco(-f(,n+)))在+infin)上为增函数there(Tn)min=eqf(,)eqblc(rc)(avsalco(-f(,)))=eqf(,)点评:还可以证明平面区域Dn内的整点有(bk)(ck)(dk)其中bk=k-ck=kdk=k,leklentheremeqf(,)满足meqf(,)的自然数为there满足题设的自然数m存在其值为f(n)=+eqf(,)+eqf(,)+hellip+eqf(,n)(nisinN*)经计算得f()=eqf(,)f()f()eqf(,)f()f()eqf(,)推测:当nge时有(  )A.f(n-)eqf(n+,)   B.f(n)eqf(n+,)C.f(n)eqf(n,)D.f(n-)eqf(n,)答案:B点评:归纳猜想的结论是否正确有待证明但这里不需要证明只要符合归纳推理的规则就行.解析:∵f()=eqf(,)f()即f()eqf(+,)f()eqf(,)即f()eqf(+,)f()即f()eqf(+,)f()eqf(,)即f()eqf(+,)故猜想f(n)eqf(n+,)(nge)..(middot山东卷)等比数列{an}的前n项和为Sn已知对任意的nisinN*点(nSn)均在函数y=bx+r(b且bnebr均为常数)的图象上.()求r的值()当b=时记bn=(logan+)(nisinN*).证明:对任意的nisinN*不等式eqf(b+,b)middoteqf(b+,b)middothellipmiddoteqf(bn+,bn)eqr(n+)成立.解析 ()因为对任意的nisinN*点(nSn)均在函数y=bx+r(b且bnebr均为常数)的图象上所以Sn=bn+r当n=时a=S=b+r当nge时an=Sn-Sn-=bn+r-(bn-+r)=bn-bn-=(b-)bn-又因为{an}为等比数列所以r=-()当b=时an=(b-)bn-=n-bn=(logn-+)=n则eqf(bn+,bn)=eqf(n+,n)所以eqf(b+,b)middoteqf(b+,b)middothellipmiddoteqf(bn+,bn)=eqf(,)middoteqf(,)middoteqf(,)middothellipmiddoteqf(n+,n)下面用数学归纳法证明不等式eqf(b+,b)middoteqf(b+,b)middothellipmiddoteqf(bn+,bn)eqr(n+)即eqf(,)middoteqf(,)middoteqf(,)middothellipmiddoteqf(n+,n)eqr(n+)成立.①当n=时左边=eqf(,)右边=eqr()因为eqf(,)eqr()所以不等式成立②假设当n=k时不等式成立即eqf(,)middoteqf(,)middoteqf(,)middothellipmiddoteqf(k+,k)eqr(k+)成立.则当n=k+时左边=eqf(,)middoteqf(,)middoteqf(,)middothellipmiddoteqf(k+,k)middoteqf(k+,k+)eqr(k+)middoteqf(k+,k+)=eqr(f((k+),(k+)))=eqr(f((k+)+(k+)+,(k+)))=eqr((k+)++f(,(k+)))eqr((k+)+)所以当n=k+时不等式也成立.由①②可得不等式恒成立..求证:n+-n-能被整除(nisinN*)证明 n+-n-=n+-n-=(+)n+-n-=Cn+n++Cn+n+hellip+Cn+n-+Cn+n+Cn+n+-(n+)-=(Cn+n-+Cn+n-+hellip+Cn+n-)+(n+)+-(n+)-=(Cn+n-+Cn+n-+hellip+Cn+n-)∵Cn+n-+Cn+n-+hellip+Cn+n-是整数theren+-n-能被整除.自己用数学归纳法写出证明过程.解析 ()由anlean-an+得an+lean-an∵在数列{an}中antherean+therean-antherean故数列{an}中的任何一项都小于.已知正项数列{an}中对于一切的nisinN*均有anlean-an+成立.()证明:数列{an}中的任意一项都小于()探究an与eqf(,n)的大小并证明你的结论.()解法:由()知an=eqf(,)那么alea-a=-eqblc(rc)(avsalco(a-f(,)))+eqf(,)leeqf(,)eqf(,)由此猜想:aneqf(,n)下面用数学归纳法证明:当ngenisinN时猜想正确.①当n=时显然成立②假设当n=k(kgekisinN)时有akeqf(,k)leeqf(,)成立.那么ak+leak-ak=-eqblc(rc)(avsalco(ak-f(,)))+eqf(,)-eqblc(rc)(avsalco(f(,k)-f(,)))+eqf(,)=eqf(,k)-eqf(,k)=eqf(k-,k)eqf(k-,k-)=eqf(,k+)there当n=k+时猜想也正确.综上所述对于一切nisinN*都有aneqf(,n)解法:由anlean-an+得ak+leak-ak=ak(-ak)∵akthereeqf(,ak+)geeqf(,ak(-ak))=eqf(,ak)+eqf(,-ak)thereeqf(,ak+)-eqf(,ak)geeqf(,-ak)令k=,,hellipn-得:eqf(,a)-eqf(,a)eqf(,a)-eqf(,a)hellipeqf(,an)-eqf(,an-)thereeqf(,an)eqf(,a)+n-nthereaneqf(,n)

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