约定用E
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示单位向量，A，表示矩阵A的转置，「(A)表示矩阵A的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质：r(A)=r(Ar)；r(kA)/)'’0so设A,B分别为nXm与mXs矩阵，贝Ur(AB)Wmin{r(A),r(B),n,m,s}r(A)=n,当且仅当|a|=Ot：)=r(A)+r(B)砒;)r(A・B)Wr(A)+r(B)矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。定理1：设A,B为nxn阶矩阵,则r(A+B)Wr(A)+r(B)证：由初等变换可得EO\(AO}E)\O们(AO、-〔A+B%由性质5可得(AO\(AO、〔。们[a+BB)则有r(A)+r(B)Nr(A+B)定理2(sylverster公式)设A为sXn阶矩阵，B为nXm阶矩阵，则有r(A)+r(B)・nWr(AB)证：由初等变换可得EB'E-B—E。、「AEj侦。JI。E.)、。一"EOO-ABE„BO-AB即EB'=rEo[aOJ-AB.则r即r(A)+r(B)・nWr(AB)推论(Frobenius公式)设A为mXn阶矩阵，B为nXs阶矩阵，C为sxt阶矩阵，贝Ur(AB)+r(BC)・r(B)Wr(ABC)证：设r(B)=r,存在n阶可逆矩阵P,s阶可逆矩阵Q,使B=P*Q=P'(e「o)Q(oo)S'〜令M=PE>\N=(Ero)Q>则有B=MN根据定理2r(AMNC)3r(AM)+r(NC)・「(MN)mr(AMN)+r(MNC)・r(MN)即r(AB)+r(BC)・r(B)Wr(ABC)定理3设A为nXn矩阵，若A2=E,那么有r(A+E)+r(A-E)=n证：根据题意有(A+E)(A-E)=0令A+E=A”A・E=A,,有A|A,=O由定理2可知r(A,)+r(A2)
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