北师大版2019高考数学一轮复习全册同步课时分层训练含答案

北师大版2019高考数学一轮复习全册同步课时分层训练目录课时分层训练(一)　集　合 1课时分层训练(二)　命题及其关系、充分条件与必要条件 4课时分层训练(三)　全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非” 8课时分层训练(四)　函数及其表示 13课时分层训练(五)　函数的单调性与最值 18课时分层训练(六)　函数的奇偶性、周期性与对称性 22课时分层训练(七)　二次函数与幂函数 27课时分层训练(八)　指数与指数函数 32课时分层训练(九)　对数与对数函数 36课时分层训练(十)　函数的图像 41课时分层训练(十一)　函数与方程 47课时分层训练(十二)　函数模型及其应用 52课时分层训练(十三)　变化率与导数、计算导数 58课时分层训练(十四)　导数与函数的单调性 63课时分层训练(十五)　导数与函数的极值、最值 68课时分层训练(十六)　导数与函数的综合问题 73课时分层训练(十七)　定积分与微积分基本定理 79课时分层训练(十八)　任意角、弧度制及任意角的三角函数 84课时分层训练(十九)　同角三角函数的基本关系与诱导公式 89课时分层训练(二十)　三角函数的图像与性质 94课时分层训练(二十一)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用 100课时分层训练(二十二)　两角和与差及二倍角的三角函数 107课时分层训练(二十三)　简单的三角恒等变换 113课时分层训练(二十四)　正弦定理和余弦定理 119课时分层训练(二十五)　解三角形实际应用举例 125课时分层训练(二十六)　平面向量的概念及线性运算 132课时分层训练(二十七)　平面向量的基本定理及坐标表示 138课时分层训练(二十八)　平面向量的数量积与平面向量应用举例 143课时分层训练(二十九)　数系的扩充与复数的引入 149课时分层训练(三十)　数列的概念与简单表示法 153课时分层训练(三十一)　等差数列及其前n项和 158课时分层训练(三十二)　等比数列及其前n项和 163课时分层训练(三十三)　数列求和 167课时分层训练(三十四)　不等式的性质与一元二次不等式 172课时分层训练(三十五)　基本不等式及其应用 176课时分层训练(三十六)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 181课时分层训练(三十七)　归纳与类比 188课时分层训练(三十八)　综合法、分析法、反证法 194课时分层训练(三十九)　数学归纳法 198课时分层训练(四十)　简单几何体的结构及其三视图和直观图 203课时分层训练(四十一)　空间图形的基本关系与公理 209课时分层训练(四十二)　平行关系 215课时分层训练(四十三)　垂直关系 222课时分层训练(四十四)　简单几何体的表面积与体积 228课时分层训练(四十五)　空间向量及其运算 235课时分层训练(四十六)　利用空间向量证明平行与垂直 241课时分层训练(四十七)　利用空间向量求空间角 247课时分层训练(四十八)　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 256课时分层训练(四十九)　两条直线的位置关系 261课时分层训练(五十)　圆的方程 265课时分层训练(五十一)　直线与圆、圆与圆的位置关系 270课时分层训练(五十二)　椭　圆 276课时分层训练(五十三)　抛物线 283课时分层训练(五十四)　双曲线 288课时分层训练(五十五)　曲线与方程 294课时分层训练(五十六)　直线与圆锥曲线的位置关系 299课时分层训练(五十七)　定点、定值、范围、最值问题 307课时分层训练(五十八)　算法与算法框图 312课时分层训练(五十九)　随机抽样 319课时分层训练(六十)　统计图表、用样本估计总体 323课时分层训练(六十一)　变量间的相关关系与统计案例 329课时分层训练(六十二)　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 336课时分层训练(六十三)　排列与组合 340课时分层训练(六十四)　二项式定理 344课时分层训练(六十五)　随机事件的概率 347课时分层训练(六十六)　古典概型 352课时分层训练(六十七)　几何概型 357课时分层训练(六十八)　离散型随机变量及其分布列 363课时分层训练(六十九)　二项分布与正态分布 368课时分层训练(七十)　离散型随机变量的均值与方差 374课时分层训练(七十一)　坐标系 380课时分层训练(七十二)　参数方程 383课时分层训练(七十三)　绝对值不等式 387课时分层训练(七十四)　不等式的证明 390课时分层训练(一)　集　合A组　基础达标一、选择题1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为(　　)A．3　 B．2C．1 D．0B　[集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.]2．设集合M＝{x|x2－2x－3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为(　　)【导学号：79140003】A．8 B．7C．4 D．3B　[依题意，M＝{x|(x＋1)·(x－3)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}，因此集合M的真子集个数为23－1＝7，故选B.]3．(2018·重庆调研(二))已知集合A＝{a，a2}，B＝{1}，若B⊆A，则实数a＝(　　)A．－1 B．0C．1 D．2A　[因为B⊆A，所以a＝1或a2＝1，且a≠a2，解得a＝－1，故选A.]4．(2018·长春模拟(二))若集合M＝{1,3}，N＝{1,3,5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为(　　)A．1 B．2C．3 D．4D　[由M∪X＝N得集合X中必有元素5，则X＝{5}或{1,5}或{3,5}或{1,3,5}，共4个，故选D.]5．已知全集U＝Z，P＝{－2，－1,1,2}，Q＝{x|x2－3x＋2＝0}，则图1­1­2中阴影部分表示的集合为(　　)图1­1­2A．{－1，－2} B．{1,2}C．{－2,1} D．{－1,2}A　[因为Q＝{1,2}，所以P∩(∁UQ)＝{－1，－2}，故选A.]6．(2018·南昌一模)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lgx}，集合B＝{y|y＝x＋1}，那么A∩(∁UB)＝(　　)A．∅ B．(0,1]C．(0,1) D．(1，＋∞)C　[因为A＝(0，＋∞)，B＝[1，＋∞)，所以A∩(∁UB)＝(0,1)，故选C.]7．若x∈A，则1x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝－1，0，\f(12)，2，3)的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)A．1 B．3C．7 D．31B　[具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，\f(12)，2)，－1，\f(12)，2).]二、填空题8．(2017·江苏高考)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．1　[∵A∩B＝{1}，A＝{1,2}，∴1∈B且2∉B.若a＝1，则a2＋3＝4，符合题意．又a2＋3≥3≠1，故a＝1.]9．已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________.【导学号：79140004】(－∞，1]　[∵1∉{x|x2－2x＋a＞0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.]10．已知A＝{x|x2－3x＋2＜0}，B＝{x|1＜x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．[2，＋∞)　[因为A＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2}⊆B，所以a≥2.]B组　能力提升11．(2018·辽宁五校模拟)已知集合P＝{x|x2－2x－8＞0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则a的取值范围是(　　)A.(－2，＋∞) B．(4，＋∞)C．(－∞，－2] D．(－∞，4]C　[集合P＝{x|x2－2x－8＞0}＝{x|x＜－2或x＞4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]，故选C.]12．设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，则图1­1­3中阴影部分表示的区间是(　　)图1­1­3A．[0,1]B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C．[－1,2]D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D　[A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cosx，x∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]13．已知集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是(　　)【导学号：79140005】A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)B　[∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a＜0，解得0＜a＜3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.]14．已知集合A＝{x|x2－2019x＋2018＜0}，B＝{x|log2x＜m}，若A⊆B，则整数m的最小值是(　　)A．0 B．1C．11 D．12C　[由x2－2019x＋2018＜0，解得1＜x＜2018，故A＝{x|1＜x＜2018}．由log2x＜m，解得0＜x＜2m，故B＝{x|0＜x＜2m}．由A⊆B，可得2m≥2018，因为210＝1024,211＝2048，所以整数m的最小值为11.]15．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．6　[符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．]16．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________.【导学号：79140006】(－∞，－2]　[集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．]课时分层训练(二)　命题及其关系、充分条件与必要条件A组　基础达标一、选择题1．命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题是(　　)A．若a＞b，则a－1≤b－1 B．若a＞b，则a－1＜b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1 D．若a＜b，则a－1＜b－1C　[根据否命题的定义可知：命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．故选C.]2．下列命题是真命题的是(　　)【导学号：79140009】A．若1x＝1y，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝y D．若x＜y，则x2＜y2A　[由1x＝1y得x＝y，A正确；由x2＝1得x＝±1，B错误；由x＝y，x，y不一定有意义，C错误；由x＜y不一定能得到x2＜y2，如x＝－2，y＝－1，D错误，故选A.]3．设M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A　[若N⊆M，则a2＝1或a2＝2，解得a＝±1或a＝±2，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件，故选A.]4．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B　[若函数y＝2x＋m－1有零点，则m－1＜0，得m＜1；若函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数，则0＜m＜1，由于(0,1)(－∞，1)，所以“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件．]5．若x＞5是x＞a的充分条件，则实数a的取值范围为(　　)A．a＞5 B．a≥5C．a＜5 D．a≤5D　[由x＞5是x＞a的充分条件知，{x|x＞5}⊆{x|x＞a}．∴a≤5，故选D.]6．(2018·青岛质检)已知λ∈R，向量a＝(3，λ)，b＝(λ－1,2)，则“λ＝3”是“a∥b”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A　[由题意得a∥b⇔3×2－λ(λ－1)＝0，解得λ＝－2或λ＝3，所以“λ＝3”是“a∥b”的充分不必要条件，故选A.]7．(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C　[法一：∵数列{an}是公差为d的等差数列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.若d>0，则21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d，即S4＋S6>2S5.若S4＋S6>2S5，则10a1＋21d>10a1＋20d，即21d>20d，∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．故选C.法二：∵S4＋S6>2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)⇔a6>a5⇔a5＋d>a5⇔d>0，∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．故选C.]二、填空题8．(2017·北京高考)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．－1，－2，－3( 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 不唯一)　[只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．]9．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是________．m＝－2　[∵f(x)＝x2＋mx＋1图像的对称轴为直线x＝－m2，∴f(x)的图像关于直线x＝1对称⇔－m2＝1⇔m＝－2.]10．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x＜a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________.【导学号：79140010】(4，＋∞)　[A＝{x|x＜4}，由题意知AB，所以a＞4.]B组　能力提升11．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的(　　)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件B　[函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数等价于－－4a2＝2a≤2，即a≤1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选B.]12．(2018·石家庄质检(二))在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sinA＞sinB”是“a＞b”的(　　)【导学号：79140011】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C　[由正弦定理asinA＝bsinB＝2R(R为三角形外接圆半径)得，a＝2RsinA，b＝2RsinB，故sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b.]13．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，1] B．[1，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]B　[解x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，故﹁p：－3≤x≤1，又﹁q：x≤a，由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要条件，故a≥1.]14．(2016·四川高考)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足y≥x－1，y≥1－x，y≤1，则p是q的(　　)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A　[p表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p是q的必要不充分条件．]15．有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________.【导学号：79140012】②③　[①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．]16．已知集合A＝x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(12)))＜2x＜8，x∈R)，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．(2，＋∞)　[A＝x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(12)))＜2x＜8，x∈R)＝{x|－1＜x＜3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，∴m＋1＞3，即m＞2.]课时分层训练(三)　全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”A组　基础达标一、选择题1．(2018·合肥第二次质检)已知命题q：任意x∈R，x2＞0，则(　　)A．命题﹁q：任意x∈R，x2≤0为假命题B．命题﹁q：任意x∈R，x2≤0为真命题C．命题﹁q：存在x0∈R，x20≤0为假命题D．命题﹁q：存在x0∈R，x20≤0为真命题D　[本题考查全称命题的否定．命题q：任意x∈R，x2＞0的否定是﹁q：存在x0∈R，x20≤0，为真命题，故选D.]2．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是(　　)A．p且﹁q　　　　　　 B．﹁p且qC．﹁p且﹁q D．p且qA　[由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故﹁p是假命题，﹁q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p且﹁q是真命题．]3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)【导学号：79140015】A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B　[特称命题的否定是全称命题，改写量词，否定结论知B正确．]4．(2017·山东高考)已知命题p：任意x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是(　　)A．p且q B．p且﹁qC．﹁p且q D．﹁p且﹁qB　[∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln1＝0.∴命题p为真命题，∴﹁p为假命题．∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2<b2，∴命题q为假命题，∴﹁q为真命题．∴p且q为假命题，p且﹁q为真命题，﹁p且q为假命题，﹁p且﹁q为假命题．故选B.]5．(2018·临汾一中)已知命题p：任意x∈R，x2＋ax＋a2≥0(a∈R)，命题q：存在x0∈N＋，2x20－1≤0，则下列命题中为真命题的是(　　)A．p且q B．p或qC．(﹁p)或q D．(﹁p)且(﹁q)B　[对于命题p，因为在方程x2＋ax＋a2＝0中，Δ＝－3a2≤0，所以x2＋ax＋a2≥0，故命题p为真命题；对于命题q，因为x0≥1，所以2x20－1≥1，故命题q为假命题，结合选项知只有p或q为真命题，故选B.]6．下列命题中，真命题是(　　)A．存在x0∈R，sin2x02＋cos2x02＝12B．任意x∈(0，π)，sinx＞cosxC．任意x∈(0，＋∞)，x2＋1＞xD．存在x0∈R，x20＋x0＝－1C　[对于A选项：任意x∈R，sin2x2＋cos2x2＝1，故A为假命题；对于B选项：存在x＝π6，sinx＝12，cosx＝3)2，sinx＜cosx，故B为假命题；对于C选项：x2＋1－x＝\a\vs4\al\co1(x－\f(12))2＋34＞0恒成立，C为真命题；对于D选项：x2＋x＋1＝\a\vs4\al\co1(x＋\f(12))2＋34＞0恒成立，不存在x0∈R，使x20＋x0＝－1成立，故D为假命题．]7．命题p：任意x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若﹁p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)【导学号：79140016】A．(0,4] B．[0,4]C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)D　[因为命题p：任意x∈R，ax2＋ax＋1≥0，所以命题﹁p：存在x0∈R，ax20＋ax0＋1＜0，则a＜0或a＞0，Δ＝a2－4a＞0，)解得a＜0或a＞4.]二、填空题8．若“任意x∈0，\f(π4))，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．1　[∵函数y＝tanx在0，\f(π4))上是增函数，∴ymax＝tanπ4＝1.依题意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.]9．已知命题“任意x∈R，x2－5x＋152a＞0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________.【导学号：79140017】\a\vs4\al\co1(\f(56)，＋∞)　[由“任意x∈R，x2－5x＋152a＞0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋152a＞0对任意实数x恒成立．设f(x)＝x2－5x＋152a，则其图像恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×152a＜0，解得a＞56，即实数a的取值范围为\a\vs4\al\co1(\f(56)，＋∞).]10．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p或q；②p且q；③(﹁p)且(﹁q)；④(﹁p)或q.其中为假命题的序号为________．②③④　[显然命题p为真命题，﹁p为假命题．∵f(x)＝x2－x＝\a\vs4\al\co1(x－\f(12))2－14，∴函数f(x)在区间\f(12)，＋∞)上单调递增．∴命题q为假命题，﹁q为真命题．∴p或q为真命题，p且q为假命题，(﹁p)且(﹁q)为假命题，(﹁p)或q为假命题．]B组　能力提升11．(2018·湖北省4月调考)设a，b，c均为非零向量，已知命题p：a＝c是a·b＝b·c的必要不充分条件，命题q：x＞1是|x|＞1成立的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是(　　)A．p且q B．p或qC．(﹁p)且(﹁q) D．p或(﹁q)B　[命题p中，当a＝(0,1)，b＝(1,0)，c＝(0，－1)时，a·b＝b·c，但a≠c，必要性不成立，所以命题p为假命题；命题q中，由|x|＞1得x＞1或x＜－1，所以x＞1是|x|＞1的充分不必要条件，所以命题q是真命题，所以p或q为真命题，故选B.]12．(2016·浙江高考)命题“任意x∈R，存在n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是(　　)A．任意x∈R，存在n∈N＋，使得n<x2B．任意x∈R，任意n∈N＋，使得n<x2C．存在x∈R，存在n∈N＋，使得n<x2D．存在x∈R，任意n∈N＋，使得n<x2D　[由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“任意x∈R，存在n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式为“存在x∈R，任意n∈N＋，使得n<x2”．]13．不等式组x＋y≥1，x－2y≤4)的解集记为D，有下面四个命题：p1：任意(x，y)∈D，x＋2y≥－2；p2：存在(x，y)∈D，x＋2y≥2；p3：任意(x，y)∈D，x＋2y≤3；p4：存在(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是(　　)A．p2，p3 B．p1，p4C．p1，p2 D．p1，p3C　[作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由x＋y＝1，x－2y＝4，)得交点A(2，－1)．目标函数的斜率k＝－12>－1，观察直线x＋y＝1与直线x＋2y＝0的倾斜程度，可知u＝x＋2y过点A时取得最小值0y＝－x2＋u2，u2表示纵截距．结合题意知p1，p2正确．]14．已知命题p：存在x0∈R，ex0－mx0＝0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p或(﹁q)为假命题，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．[0,2]C．R D．∅B　[若p或(﹁q)为假命题，则p假q真，命题p为假命题时，有0≤m＜e；命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.所以当p或(﹁q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2.]15．已知下列命题：【导学号：79140018】①存在x0∈0，\f(π2))，sinx0＋cosx0≥2；②任意x∈(3，＋∞)，x2＞2x＋1；③存在x0∈R，x20＋x0＝－1；④任意x∈\a\vs4\al\co1(\f(π2)，π)，tanx＞sinx.其中真命题为________．(填序号)①②　[对于①，当x0＝π4时，sinx0＋cosx0＝2，所以此命题为真命题；对于②，当x∈(3，＋∞)时，x2－2x－1＝(x－1)2－2＞0，所以此命题为真命题；对于③，任意x∈R，x2＋x＋1＝\a\vs4\al\co1(x＋\f(12))2＋34＞0，所以此命题为假命题；对于④，当x∈\a\vs4\al\co1(\f(π2)，π)时，tanx＜0＜sinx，所以此命题为假命题．]16．已知命题p：任意x∈[0,1]，a≥ex，命题q：存在x0∈R，x20＋4x0＋a＝0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．[e,4]　[命题“p且q”是真命题，则p和q均为真命题；当p是真命题时，a≥(ex)max＝e；当q为真命题时，Δ＝16－4a≥0，a≤4；所以a∈[e,4]．]课时分层训练(四)　函数及其表示A组　基础达标一、选择题1．(2017·四川巴中中学月考)下列哪个函数与y＝x是同一个函数(　　)A．y＝x2x　　　　　 B．y＝2log2xC．y＝x2 D．y＝(3x)3D　[y＝x的定义域为R.而y＝x2x的定义域为{x|x∈R且x≠0}，y＝2log2x的定义域为{x|x∈R，且x＞0}，排除A、B；y＝x2＝|x|的定义域为R，但对应关系与y＝x的对应关系不同，排除C；y＝(3x)3＝x的定义域、对应关系与y＝x的均相同，故选D.]2．(2017·山西师大附中)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图像可以是(　　)B　[A项，定义域为[－2,0]，D项，值域不是[0,2]，C项，当x＝0时有两个y值与之对应．故选B.]3．(2017·安徽黄山质检)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝(　　)【导学号：79140021】A．x＋1 B．2x－1C．－x＋1 D．x＋1或－x－1A　[设f(x)＝kx＋b，则由f[f(x)]＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2，所以k2＝1，kb＋b＝2，解得k＝1，b＝1，则f(x)＝x＋1.故选A.]4．函数f(x)＝ln\a\vs4\al\co1(1＋\f(1x))＋1－x2的定义域为(　　)A．(－1,1] B．(0,1]C．[0,1] D．[1，＋∞)B　[由条件知1＋\f(1xx≠0，1－x2≥0，即x＜－1或x＞0，x≠0，－1≤x≤1.则x∈(0,1]．所以原函数的定义域为(0,1]．]5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2x－1－2，x≤1，－log2x＋1，x＞1，)且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　)A．－74 B．－54C．－34 D．－14A　[由于f(a)＝－3，①若a≤1，则2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1.由于2x>0，所以2a－1＝－1无解；②若a>1，则－log2(a＋1)＝－3，解得a＋1＝8，a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f(6－a)＝－74.故选A.]二、填空题6．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．[－1,2]　[∵y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，∴x∈[－3，3]，x2－1∈[－1,2]，∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．]7．已知函数f(x)＝2x＋1与函数y＝g(x)的图像关于直线x＝2成轴对称图形，则函数y＝g(x)的解析式为________.【导学号：79140022】g(x)＝9－2x　[设点M(x，y)为函数y＝g(x)图像上的任意一点，点M′(x′，y′)是点M关于直线x＝2的对称点，则x′＝4－x，y′＝y.)又y′＝2x′＋1，∴y＝2(4－x)＋1＝9－2x，即g(x)＝9－2x.]8．(2018·青岛质检)已知函数f(x)＝2x，　　x＜2，fx－1，x≥2，)则f(log27)＝________.72　[由题意得log27＞2，log272＜log24＝2，所以f(log27)＝f(log27－1)＝f\a\vs4\al\co1(log2\f(72))＝272log2＝72.]三、解答题9．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．[解]　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，∴a＝2，b＋5a＝17，)解得a＝2，b＝7，)∴f(x)＝2x＋7.10．设函数f(x)＝ax＋b，x＜0，2x，x≥0，)且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1).【导学号：79140023】(1)求f(x)的解析式；(2)在如图2­1­2所示的直角坐标系中画出f(x)的图像．图2­1­2[解]　(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得－2a＋b＝3，－a＋b＝2，)解得a＝－1，b＝1，所以f(x)＝－x＋1，x＜0，2x，x≥0.)(2)f(x)的图像如图．B组　能力提升11．(2018·石家庄质检(一))设函数f(x)＝2x＋n，x＜1，log2x，x≥1，)若f\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(34))))＝2，则实数n为(　　)A．－54 B．－13C.14 D.52D　[因为f\a\vs4\al\co1(\f(34))＝2×34＋n＝32＋n，当32＋n＜1，即n＜－12时，f\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(34))))＝2\a\vs4\al\co1(\f(32)＋n)＋n＝2，解得n＝－13，不符合题意；当32＋n≥1，即n≥－12时，f\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(34))))＝log2\a\vs4\al\co1(\f(32)＋n)＝2，即32＋n＝4，解得n＝52，故选D.]12．具有性质：f\a\vs4\al\co1(\f(1x))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f(x)＝x－1x；②f(x)＝x＋1x；③f(x)＝x，0＜x＜1，0，x＝1，1x)，x＞1.其中满足“倒负”变换的函数是(　　)A．①② B．①③C．②③ D．①B　[对于①，f(x)＝x－1x，f\a\vs4\al\co1(\f(1x))＝1x－x＝－f(x)，满足；对于②，f\a\vs4\al\co1(\f(1x))＝1x＋x＝f(x)，不满足；对于③，f\a\vs4\al\co1(\f(1x))＝\f(11x1x1x)＞1，即f\a\vs4\al\co1(\f(1x))＝\f(1x0，x＝1，－x，0＜x＜1，故f\a\vs4\al\co1(\f(1x))＝－f(x)，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]13．设函数f(x)＝3)ex－1，x＜1，x，x≥1，)则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________.【导学号：79140024】(－∞，8]　[当x＜1时，x－1＜0，ex－1＜e0＝1≤2，∴当x＜1时满足f(x)≤2.当x≥1时，x13≤2，x≤23＝8，∴1≤x≤8.综上可知x∈(－∞，8]．]14．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x2－2)的值域．[解]　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意可知c＝0，ax＋12＋bx＋1＋c＝ax2＋bx＋c＋x＋1，)整理得c＝0，ax2＋2a＋bx＋a＋b＋c＝ax2＋b＋1x＋c＋1，)∴2a＋b＝b＋1，a≠0，a＋b＋c＝c＋1，c＝0，解得a＝\f(1212c＝0.∴f(x)＝12x2＋12x.(2)由(1)知y＝f(x2－2)＝12(x2－2)2＋12(x2－2)＝12(x4－3x2＋2)＝12\a\vs4\al\co1(x2－\f(32))2－18，当x2＝32时，y取最小值－18，故函数y＝f(x2－2)的值域为－\f(18)，＋∞).课时分层训练(五)　函数的单调性与最值A组　基础达标一、选择题1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　)A．y＝2－x　　　　 B．y＝xC．y＝log2x D．y＝－1xB　[由题知，只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数．]2．(2017·广州七中期末)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　)【导学号：79140027】A．[1,2] B．[－1,0]C．[0,2] D．[2，＋∞)A　[f(x)＝|x－2|x＝x2－2x，x≥2，－x2＋2x，x＜2.)其图像如图，由图像可知函数的单调递减区间是[1,2]．]3．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，1] B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)A　[因为函数f(x)在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.]4．(2018·北京西城区二模)下列函数中，值域为[0,1]的是(　　)A．y＝x2 B．y＝sinxC．y＝1x2＋1 D．y＝1－x2D　[A中，x2≥0；B中，－1≤sinx≤1；C中，0＜1x2＋1≤1；D中，0≤1－x2≤1，故选D.]5．定义新运算+：当a≥b时，a+b＝a；当a＜b时，a+b＝b2，则函数f(x)＝(1+x)x－(2+x)，x∈[－2,2]的最大值等于(　　)A．－1 B．1C．6 D．12C　[由已知得，当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数，∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.]二、填空题6．函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________．(－∞，－1)　[由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．]7．函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是13，则a＋b＝________.【导学号：79140028】6　[易知f(x)在[a，b]上为减函数，∴fa＝1，13)，即\f(1a－1113)，∴a＝2，b＝4.)∴a＋b＝6.]8．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________．(－∞，1]∪[2，＋∞)　[函数f(x)＝x2－2ax－3的图像开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图像可知，函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，但单调性不同，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f(x)＝ax＋1a(1－x)(a＞0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值.【导学号：79140029】[解]　f(x)＝\a\vs4\al\co1(a－\f(1a))x＋1a，当a＞1时，a－1a＞0，此时f(x)在[0,1]上为增函数，∴g(a)＝f(0)＝1a；当0＜a＜1时，a－1a＜0，此时f(x)在[0,1]上为减函数，∴g(a)＝f(1)＝a；当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1.∴g(a)＝a，0＜a＜1，1a)，a≥1.∴g(a)在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，∴当a＝1时，g(a)取最大值1.10．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．[解]　(1)证明：设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2x1－x2x1＋2x2＋2.∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)f(x)＝xx－a＝x－a＋ax－a＝1＋ax－a，当a＞0时，f(x)在(－∞，a)，(a，＋∞)上是减函数，又f(x)在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a≤1，故实数a的取值范围是(0,1]．B组　能力提升11．定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)A．[－1,2) B．[0,2)C．[0,1) D．[－1,1)C　[函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，∴函数在[－2,2]上单调递增，∴－2≤a2－a≤2，－2≤2a－2≤2，2a－2＜a2－a.∴－1≤a≤2，0≤a≤2，a＜1或a＞2，∴0≤a＜1，故选C.]12．(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝x2＋2x，x≥0，x2－2x，x＜0.)若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)A．[－1,0) B．[0,1]C．[－1,1] D．[－2,2]C　[因为函数f(x)是偶函数，故f(－a)＝f(a)，原不等式等价于f(a)≤f(1)，即f(|a|)≤f(1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a|≤1，解得－1≤a≤1.]13．函数y＝2x＋kx－2与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．(－∞，－4)　[由于y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y＝2x＋kx－2＝2x－2＋4＋kx－2＝2＋4＋kx－2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k＜0，得k＜－4.]14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f\a\vs4\al\co1(\f(x1x2))＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值.【导学号：79140030】[解]　(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则x1x2>1，当x>1时，f(x)<0，∴f\a\vs4\al\co1(\f(x1x2))<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f(x)在(0，＋&infin