要点集锦 高中数学

高考冲刺要点集锦高考数学考点明细穿针引线理顺思路核心覆盖目录2第一章集合与常用逻辑术语21.1集合的概念及运算21.2命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 及其关系、充分条件与必要条件21.3逻辑联结词、全称量词与存在量词3第二章 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 的概念与基本初等函数IHYPERLINK\l_Toc25202(指数函数、对数函数、幂函数)32.1函数及其表示42.2函数的基本性质42.3二次函数与幂函数52.4指数与指数函数62.5对数与对数函数72.6函数的图像82.7函数的值域与最值92.8函数与方程92.9函数模型及其应用10第三章导数及其应用103.1导数的概念及其运算113.2导数的应用12第四章基本初等函数II(三角函数)124.1三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 144.2三角函数的图像与性质154.3三角函数的最值与综合应用154.4三角恒等变换164.5解三角形17第五章平面向量175.1平面向量的基本概念与线性运算185.2平面向量基本定理及坐标表示185.3平面向量的数量积及其应用19第六章数列196.1数列的概念与简单表示法206.2等差数列及其前n项和216.3等比数列及其前n项和226.4数列的综合应用23第七章不等式237.1不等关系与不等式247.2一元二次不等式及其解法257.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划7.4基本不等式：25267.5不等式的综合应用26第八章立体几何268.1空间几何体结构及其三视图和直观图278.2空间几何体的表面积与体积278.3空间点、直线、平面之间的位置关系298.4直线、平面平行的判定与性质308.5直线、平面垂直的判定与性质318.6空间向量在立体几何中的应用32第九章平面解析几何329.1直线方程与两条直线的位置关系339.2圆的方程349.3直线与圆、圆与圆的位置关系359.4椭圆及其性质369.5双曲线及其性质379.6抛物线及其性质389.7曲线与方程389.8圆锥曲线的综合问题39第十章计数原理3910.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合3910.2二项式定理40第十一章概率与统计4011.1随机事件及其概率4111.2古典概型与几何概型4211.3离散型随机变量及其分布列、均值与方差4311.4二项分布与正态分布4411.5抽样方法与总体分布的估计4511.6变量间的相关关系、统计案例47第十二章算法初步50第十三章推理与证明52第十四章数系的扩充与复数的引入52第十五章几何证明选讲53第十六章坐标系与参数方程55第十七章不等式选讲第一章集合与常用逻辑术语1.1集合的概念及运算★考点一集合的含义与表示1.元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“”表示)和不属于(用符号“”表示).如aA，aB等.2.集合中元素的特征 确定性 作为一个集合中的元素，必须是确定的.即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的.这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合 互异性 集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素 无序性 集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{a，b，c}与集合{b，c，a}是相同的集合.这个特性通常被用来判断两个集合的关系3.集合的分类：无限集，有限集.特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作.4.常用数集及其表示符号 名称 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N+ Z Q R5.集合的表示方法：列举法；描述法；Venn图法.★考点二集合间的基本关系 名称 自然语言描述 符号语言表示 Venn图表示 子集 如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集 (或) 真子集 如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集 AB(或BA) 集合相等 集合A与集合B中元素相同，那么就说集合A与集合B相等 A=B ★考点三集合间的基本运算 并集 对于两个给定集合A、B，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 AB={x|xA，或xB} 交集 对于两个给定集合A、B，由所有属于A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B={x|xA，且xB} 补集 对于一个集合A，由全集U中所有属于集合U但不属于集合A的元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作CUA CUA={x|xU，且xA} 1.2命题及其关系、充分条件与必要条件★考点一命题及其关系1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题 命题 表述形式 原命题 若p，则q 逆命题 若q，则p 否命题 若¬p，则¬q 逆否命题 若¬q，则¬p(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系(i)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(ii)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.★考点二充分条件与必要条件1.(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果pq，qp，则p是q的充要条件.1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词★考点一简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”连接命题p和命题q，记作pq，读作“p且q”.(2)用联结词“或”连接命题p和命题q，记作pq，读作“p或q”.(3)对一个命题p全盘否定记作¬p，读作“非p”或“p的否定”.(4)命题pq，pq，¬p的真假判断，如下表： p q ¬p pq pq 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假★考点二全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.(3)全称量词用符号“”表示；存在量词用符号“”表示.2.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题，叫做全称命题；“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：xM，p(x).(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题；“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：xM，p(x0).3.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 xM，p(x) x0M，¬p(x0) xM，p(x) xM，¬p(x)4.同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择. 命题 全称命题“xA，p(x)” 特称命题“xA，p(x)” 表述方法 (1)对所有的xA，p(x)成立(2)对一切xA，p(x)成立(3)对每一个xA，p(x)成立(4)任选一个xA，p(x)成立(5)凡xA，都有p(x)成立 (1)存在xA，使p(x)成立(2)至少有一个xA，使p(x)成立(3)对有些xA，p(x)成立(4)对某个xA，p(x)成立(5)有一个xA，使p(x)成立第二章函数的概念与基本初等函数I(指数函数、对数函数、幂函数)2.1函数及其表示★考点一函数的有关概念1.函数与映射的概念 函数 映射 两集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合 对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称对应f:A→B为从集合Ａ到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合Ａ到集合B的一个映射 记法 y=f(x)，xA 对应f:A→B是一个映射2.(1)函数的定义域、值域在函数y=f(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集.(2)函数的三要素：定义域、值域、对应关系.★考点二函数的表示方法表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法.解析法就是把自变量x，y之间的关系用一个关系式y=f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.列表法是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反应出二者的关系.图象法就是把x，y之间的关系制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值.★考点三分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各分段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.2.2函数的基本性质★考点一函数的单调性1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2， 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数2.单调性、单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.★考点二函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称2.3二次函数与幂函数★考点一二次函数的图象与性质1.二次函数的解析式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；(2)顶点式：若二次函数的顶点为(h,k)，则其解析式为f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)；(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).2.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0) 图像 定义域 R R 值域 最值 单调性 在上单调递减；在上单调递增. 在上单调递增；在上单调递减. 奇偶性 b=0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数. 顶点坐标 对称性 图像关于直线成轴对称图形★考点二幂函数1.幂函数的定义一般地，形如EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT的函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.2.幂函数，，，，的图像3.幂函数，，，，的性质 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 增 减,增. 增 增 减,减. 定点 (0,0),(1,1) (1,1)2.4指数与指数函数★考点指数、指数函数的图像与性质1.根式 根式的概念 符号表示 备注 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根 —— n>1且nN* 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数 (a>0) 负数没有偶次方根2.有理指数幂(1)幂的有关概念(i)正分数指数幂：(a>0,m,nN*,n>1)；(ii)负分数指数幂：(a>0,m,nN*,n>1)；(iii)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.(2)有理指数幂的性质(i)aras=ar+s(a>0,r,sQ)；(ii)(ar)s=ars(a>0,r,sQ)；(iii)(ab)r=arbr(a>0,b>0,rQ).3.指数函数的图像与性质 y=ax(a>1) y=ax(0<a<1) 图像 定义域 R 值域 (0,+) 性质 过定点(0,1) 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 在(-,+)上是单调递增函数 在(-,+)上是单调递减函数2.5对数与对数函数★考点对数、对数函数的图象与性质1.对数的概念(1)对数的定义如果ax=N(a>0且a≠1)，那么指数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0且a≠1) logaN 常用对数 底数为10 lgN 自然对数 底数为e lnN2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质(i)=N(a>0且a≠1)；(ii)=N(a>0且a≠1).(2)对数的重要公式(i)换底公式：(a,c均大于零且不等于1)；(ii)，推广(a,b,c均大于零且不等于1，d大于零).(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么(i)；(ii)；(iii)EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT；(iv)EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT.3.对数函数的图像与性质 a>1 0<a<1 图像 性质 定义域：(0,+) 值域：R 过点(1,0)，即x=1时，y=0 当x>1时，y>0;当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0;当0<x<1时，y>0 是(0,+)上的增函数 是(0,+)上的减函数2.6函数的图像★考点一图像的判断1.函数的图像(1)基本初等函数：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，对于这些函数的图像应非常清楚.(2)函数图像的作法描点法作图：通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图像.用描点法选点时往往选取特殊点，有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图像.图像变换法作图：一个函数的图像经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图像，常见的三种变换：平移变换、伸缩变换、对称变换.2.平移变换(1)y=f(x)的图像向左平移a(a>0)个单位得到函数y=f(x+a)的图像；y=f(x-b)(b>0)的图像可由y=f(x)的图像向右平移b个单位得到.对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减.而对于上、下平移，相比较则容易掌握，原则是：上加下减，但要注意的是加、减指的是在f(x)整体上.如h>0，y=f(x)±h的图像可由y=f(x)的图像向上(下)平移h个单位而得到.3.对称变换(1)y=f(-x)与y=f(x)的图像关于y轴对称；(2)y=-f(x)与y=f(x)的图像关于x轴对称；(3)y=-f(-x)与y=f(x)的图像关于原点对称；(4)y=f(x)与其反函数的图象关于直线y=x对称；(5)y=|f(x)|的图像：可将y=f(x)的图像在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分不变；(6)y=f(|x|)的图像：可先作出y=f(x)(x≥0)的图像，再利用偶函数的图像关于y轴对称，作出y=f(x)(x<0)的图像.4.伸缩变换(1)y=Af(x)(A>0)的图像：可将y=f(x)的图像上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变；(2)y=f(ax)(a>0)的图像：可将y=f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变.★考点二图像的应用函数图像是对函数关系的一种直观、形象的表示，是体现数形结合思想的基础，应解决好以下三个方面的问题：(1)作图：应注意在定义域内依据函数的性质选取关键的一部分点；(2)识图：在观察、分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势、具有的性质、解析式与图象的关系；(3)用图：函数的图象形象地显示了函数的性质，充分利用图象提供的信息可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等问题，利用图象还可以判断f(x)=g(x)的解的个数及求不等式的解集等.2.7函数的值域与最值★考点函数的值域与最值1.函数值域的概念在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.2.确定函数值域的原则(1)当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合.(2)当函数y=f(x)的图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合.(3)当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其解析式唯一确定.(4)当函数由实际问题式给出时，函数的值域由问题的实际意义确定.3.常见函数的值域(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R；(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，当a>0时值域为，当a<0时值域为；(3)反比例函数的值域为{y|yR且y≠0}；(4)指数函数y=ax(a>0且a≠1)的值域为(0,+)；(5)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的值域为R；(6)正、余弦函数的值域均为[-1,1]，正切函数的值域为R.4.函数的最值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)≤M，且存在x0I，使得f(x0)=M，那么M就是函数y=f(x)的最大值；(2)对于任意的xI，都有f(x)≥M，且存在x0I，使得f(x0)=M，那么M就是函数y=f(x)的最小值.5.最值在实际问题中的应用：(1)在实际问题中建立函数模型，利用函数的最值求有关量的最值；(2)已知实际问题中有关量的最值，求相关量的取值范围，其与求参数的范围实质相同.2.8函数与方程★考点一函数零点与方程的根1.函数零点的定义(1)对于函数y=f(x)(xD)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点.(2)方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点.2.函数零点的判定如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是f(x)=0的根.我们把这一结论称为零点存在性定理.3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0)两个 (x1,0)一个 无交点 零点个数 2 1 04.二分法(1)对于在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.(2)用二分法求函数f(x)零点的近似值的步骤第一步：确定区间[a,b]，验证：f(a)·f(b)<0，给定精确度；第二步：求区间(a,b)的中点x1；第三步：计算f(x1)：(1)若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；(2)若f(a)·f(x1)<0，则令b=x1(此时零点x0(a,x1))；(3)若f(x1)·f(b)<0，则令a=x1(此时零点x0(x1,b))；第四步：判断是否达到精确度，即若|a-b|<，则得到零点近似值a(或b)；否则，重复第二、三、四步.2.9函数模型及其应用★考点函数模型及其应用1.三种增长型函数模型的图像与性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xa(a>0) 在(0,+)上的增减性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快(陡) 越来越慢(缓) 相对平稳 图象的变化 随x增大逐渐表现为与y轴平行 随x增大逐渐表现为与x轴平行 随a值变化而不同2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y=ax的增长速度大于y=xn的增长速度，因而总存在一个x0，当x>x0时有ax>xn.(2)对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xn(n>0)对数函数y=logax(a>1)的增长速度，不论n与a值的大小如何，总会小于y=xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有logax<xn.由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0,+)上，总会存在一个x0，使x>x0时有logax<xn<ax(a>1).3.函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题.4.解答函数应用问题的步骤第三章导数及其应用3.1导数的概念及其运算★考点一导数的概念及其几何意义1.导数的概念：如果当时，有极限，就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率).记作或，即.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为，若，，则平均变化率可表示为.2.导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数，就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率，即.相应地，切线方程为.导数的物理意义：函数s=s(t)在点t0处的导数，是物体的运动方程s=s(t)在t0时刻的瞬时速度v，即；v=v(t)在点t0处的导数，是物体的运动方程v=v(t)在t0时刻的瞬时加速度a，即.★考点二导数的运算1.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xn(nN*) f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=ax(a>0,且a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f(x)=lnx 2.导数运算法则 运算 法则 加减 积 商 3.复合函数的导数复合函数y=f[g(x)]的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.3.2导数的应用★考点一导数与函数的单调性在区间(a,b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果，那么y=f(x)在这个区间内单调递增；如果，那么y=f(x)在这个区间内单调递减；如果，那么y=f(x)在这个区间内为常数.★考点二导数与函数的极(最)值1.函数的极值(1)函数的极小值函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，，而且在点x=a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，，而且在点x=b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.2.函数的最值(1)如果在闭区间[a,b]上函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.(2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：(i)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；(ii)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.★考点三生活中的优化问题1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，导数在这一类问题中有着重要的作用，它是求函数最大(小)值的有力工具.2.解决优化问题的基本思路第四章基本初等函数II(三角函数)4.1三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式★考点一三角函数的概念1.任意角(1)角的分类注意角可按照旋转方向分为正角、零角、负角.(2)象限角. 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 (3)终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个角的集合S=.2.弧度制(1)弧度制的概念长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角，记作1rad，这种用弧度作单位来度量角的 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 叫做弧度制.(2)角度与弧度之间的换算360º=2rad，180º=rad，1º=rad，1rad=EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT57.3º.(3)弧长、扇形面积公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为(弧度)，半径为r，则；.3.三角函数设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则y叫做的正弦，记作sin，即sin=y；x叫做的余弦，记作cos，即cos=x；叫做的正切，记作tan，tan=(x≠0).4.单位圆中的三角函数线sin=MP，cos=OM，tan=AT.有向线段MP为正弦线，有向线段OM为余弦线，有向线段AT为正切线.5.三角函数值在各象限的符号(如图所示).sincostan★考点二同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2+cos2=1.(2)商数关系：.★考点三诱导公式诱导公式诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”.由于诱导公式涉及的公式比较多，记忆时可以按以下方法进行，即，，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号；的正弦(余弦)，分别等于的余弦(正弦)，前面加上一个把看成锐角时原函数的符号. 组数 一 二 三 四 五 六 角 sin sin -sin -sin sin cos cos cos cos -cos cos -cos sin -sin tan tan tan -tan -tan — — 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限4.2三角函数的图像与性质★考点一三角函数的图像与性质 y=sinx y=cosx y=tanx 图像 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] R 周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMATEMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMATEMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT 对称性 对称中心， 对称中心， 对称中心， 对称轴， 对称轴， ★考点二三角函数的图像及其变换1.作的图像主要有以下两种方法：(1)用“五点法”作图用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取0，，，，，求出相应的x，通过列表、计算得出五点坐标，描点后得出图像.(2)由函数y=sinx的图像通过变换得到的图像.有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.方法一：先平移后伸缩EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMATEMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMATEMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMATEMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMATEMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMATEMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT.方法二：先伸缩后平移EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMATEMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMATEMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMATEMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMATEMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMATEMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT.2.(A>0,>0)，x[0,+)表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相.4.3三角函数的最值与综合应用★考点一三角函数的最值1.当EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT时，y=sinx取最小值-1；当EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT时，y=sinx取最大值1；正弦函数y=sinx(xR)的值域为[-1,1].2.当EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT时，y=cosx取最小值-1；当EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT时，y=cosx取最大值1；余弦函数y=cosx(xR)的值域为[-1,1].3.y=tanx(xR,x≠)的值域为R.★考点二的图象和性质的综合应用1.三角函数、的定义域为R，的定义域为.2.函数、的最大值为，最小值为；函数的值域为R.3.函数的图象的对称轴为，对称中心为；函数的图象的对称轴为，对称中心为；函数的图象的对称中心为.上述.4.4三角恒等变换★考点一两角和与差的三角函数公式1.前面4个公式对任意的、都成立，而后面两个公式成立的条件是，，，且，，时成立，否则是不成立的.当tan、tan或tan()的值不存在时，不能使用正切和差公式处理问题，应改用诱导公式或其他方法来解.2.辅助角公式.其中，，，的终边所在的象限由a、b的值来确定.★考点二二倍角公式；EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMATEMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT；.4.5解三角形★考点一正弦定理和余弦定理 正弦定理 余弦定理 内容 ；；. 变形形式 (1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；(2)sinA=，sinB=，sinC=；(3)a:b:c=sinA:sinB:sinC；(4)(5). ；；. 解决的问题 (1)已知两角和任意一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角★考点二正、余弦定理的应用1.有关概念(1)仰角和俯角与视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图a).图a图b(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角，如B点的方位角(如图b).(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图c).a.北偏东°：指北方向顺时针旋转°到达目标方向.b.东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.图c图d(4)坡角：坡面与水平面所成的锐二面角(如图d,角为坡角).坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度(或坡比)(如图d，i为坡比)2.解斜三角形在实际中的应用解斜三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海等方面都可能用到.解题的一般步骤：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求；(2)根据题意画出示意图；(3)将需要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识求解；(4)检验所得的结果是否具有实际意义，对解进行取舍，并写出答案.第五章平面向量5.1平面向量的基本概念与线性运算★考点一平面向量的基本概念与线性运算1.向量的有关概念及表示法 名称 定义 表示法 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量；模 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1的向量 常用e表示 平行向量 方向相同或相反的非零向量 a与b共线可记为a=b；0与任一向量共线 共线向量 平行向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 a=b 相反向量 长度相等且方向相反的向量 (1)a与b互为相反向量，则a=-b(2)0的相反向量为02.平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则（几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 (1)交换律：a+b=b+a(2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 减法 求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 —— 数乘 求实数与向量a的积的运算 (1)|a|=|||a|；(2)当>0时，a与a的方向相同；当<0时，a与a的方向相反；当=0时，a=0 (a)=()a(+)a=a+a(a+b)=a+b★考点二向量的共线问题向量共线的判断：(1)若a与b是两个非零向量，则它们共线的充要条件是有且只有一个实数，使得b=a；(2)若a与b是两个非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不为零的实数、，使a+b=0.5.2平面向量基本定理及坐标表示★考点一平面向量基本定理1.平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a=1e1+2e2.其中，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使a=xi+yj.这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫a在x轴上的坐标，y叫a在y轴上的坐标.显然0=(0,0)，i=(1,0)，j=(0,1).(2)设=xi+yj，则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标，即若=(x,y)，则A点坐标为(x,y)，反之亦成立(O是坐标原点).★考点二平面向量的坐标运算1.加法、减法、数乘运算 向量 a b a+b a-b a 坐标 (x1,y1) (x2,y2) (x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (x1,y1)2.向量坐标的求法已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，则=(x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，其中b≠0，则a与b共线a=bx1y2-x2y1=0.5.3平面向量的数量积及其应用★考点一数量积的定义1.平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|cos，并规定零向量与任一向量的数量积为0.(2)一向量在另一向量方向上的投影定义：设是两个非零向量a和b的夹角，则|a|cos叫做a在b方向上的投影，|b|cos叫做b在a方向上的投影.b在a方向上的投影是一个实数，而不是向量，当0°≤<90°时，它是正数，当90°<≤180°时，它是负数，当=90°时，它是0.a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos的乘积.2.向量的数量积的性质设a,b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则(1)e·a=a·e=|a|·cos.(2)aba·b=0.(3)当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|.特别地：a·a=a2=|a|2或|a|=.(4)cos=(5)|a·b|≤|a|·|b|.3.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)(a)·b=(a·b)=a·(b)()(数乘结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).★考点二平面向量的长度问题1.已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2).(1)a·b=x1x2+y1y2.(2)|a|2=，|a|=，|b|2=，|b|=.(3)若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则.★考点三平面向量的夹角、两向量垂直问题已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2).(1)若a与b的夹角为，则cos=.(2)abx1x2+y1y2=0.第六章数列6.1数列的概念与简单表示法★考点一数列的概念与通项公式1.数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，往后各项依次叫做数列的第2项，…，第n项，….数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,其中an是数列的第n项，我们把上面的数列简记为{an}.2.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an+1>an 其中nN* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 其他 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示方法(1)列举法：a1,a2,a3,…,an,…；(2)图像法：数列可用一群孤立的点表示；(3)解析法(公式法)：通项公式或递推公式.4.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成以N*(或它的有限子集)为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.反之，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1,2,3,…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….5.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.★考点二递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式.★考点三数列前n项和Sn与通项an的关系已知Sn，则EMBEDEquation.KSEE3\*MERGEFORMAT.数列{an}中，若an最大，则若an最小，则6.2等差数列及其前n项和★考点一等差数列及其性质1.等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.2.等差中项如果，那么A叫做a与b的等差中项.3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am+(n-d)m(n,mN*).(2)若{an}为等差数列，且k+l=m+n(k,l,n,mN*)，则ak+al=am+an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}为等差数列，则{pan+qbn}是等差数列.(5)若{an}是等差数列，则ak，ak+m，ak+2m，…(k,mN*)组成公差为md的等差数列.★考点二等差数列的通项公式及前n项和公式1.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d,nN*.2.等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和或.3.等差数列的前n项和公式与函数的关系.非零数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和Sn=f(n)是关于n的二次函数或一次函数且不含常数项，即Sn=An2+Bn(A2+B2≠0).4.在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.5.等差数列与等差数列各项的和有关的性质(1)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的.(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列.(3)关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质(i)若项数为2n，则S偶-S奇=nd，.(ii)若项数为2n-1，则S偶=(n-1)an，S奇=nan，S奇-S偶=an，.(4)两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn之间的关系为.6.3等比数列及其前n项和★考点一等比数列及其性质1.等比数列的定义如果一个数列从第二项起，后项与相邻前项的比是一个确定的常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示.2.等比中项若，G2=a·b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.3.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am·qn-m(n,mN*).(2)若{an}为等比数列，且k+l=m+n(k,l,m,nN*)，则ak·al=am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{an}(≠0)，，{}，{an·bn}，仍是等比数列.★考点二等比数列通项公式及其前n项和公式1.等比数列的通项公式.设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项公式为an=a1qn-1(nN*).2.等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，.3.等比数列前n项和的性质若公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列，其公比为qn.6.4数列的综合应用★考点一数列求和1.公式法(1)直接用等差、等比数列的求和公式求解.(2)常见数列的前n项和公式1+2+3+…+n=；2+4+6+…+2n=n2+n；1+3+5+…+(2n-1)=n2；12+22+32+…+n2=；13+23+33+…+n3=.2.倒序相加法如果一个数列{an}，与首项两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和就是用此法推导的.3.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的.4.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些可以相互抵消，从而求得其和.常见的拆项公式：；；.5.分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，再合并，形如：(1)，其中(2)★考点二等差、等比数列的综合1.求数列通项的方法(1)当已知数列{an}满足an+1-an=f(n)，且f(1)+f(2)+…+f(n)可求时，则可用叠加法求数列的通项an.(2)当已知数列{an}满足，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求时，则可用累乘法求数列的通项an.2.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定值，那么该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.其中一般形式是an+1-an=d(常数).(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，那么该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.其中一般形式是(常数，且q≠0).(3)混合模型：在一个问题中同时涉及等比数列和等差数列的模型.(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等.如设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则.(5)递推模型：如果容易推导该数列任意一项an，与它的前一项an-1(或前n项)间的递推关系式。那么可以用递推数列的知识求解问题.第七章不等式7.1不等关系与不等式★考点一不等式的概念和性质1.不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式.2.不等式的性质性质1：对称性如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.性质2：传递性如果a>b，且b>c，那么a>c.也可等价表示为：如果c<b，且b<a，那么c<a.性质3：加法法则如果a>b，那么a+c>b+c.推论1：移项法则如果a+b>c，那么a>c-b.推论2：同向可加性如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d.性质4：乘法法则如果a>b，且c>0，那么ac>bc.如果a>b，且c<0，那么ac<bc.推论1：同向可乘性如果a>b>0，且c>d>0，那么ac>bd.推论2：乘方法则如果a>b>0，那么an>bn(nN，且n≥1).推论3：开方法则如果a>b>0，那么(nN，且n≥2).★考点二实数比较大小1.a-b>0a>b；2.a-b=0a=b；3.a-b<0a<b.7.2一元二次不等式及其解法★考点一一元二次不等式的解法1.一元一次不等式(ax>b)：(1)若a>0，解集为；(2)若a<0，解集为；(3)若a=0，则当b≥0时，解集为，当b<0时，解集为R.2.一元一次不等式组()：(1)解集为{x|x>}；(2)解集为{x|x<}；(3)解集为{x|<x<}；(4)解集为.3.一元二次不等式的定义只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.4.一元二次不等式的解集 判别式=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根