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首页 高考数学一轮复习北师大版不等式证明的基本方法名师精编课件

高考数学一轮复习北师大版不等式证明的基本方法名师精编课件.ppt

高考数学一轮复习北师大版不等式证明的基本方法名师精编课件

Miss杨
2019-04-14 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高考数学一轮复习北师大版不等式证明的基本方法名师精编课件ppt》,可适用于高中教育领域

第讲 不等式证明的基本方法【学习目标】通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法.【基础检测】.已知aeqf(,b)且M=eqf(,+a)+eqf(,+b)N=eqf(a,+a)+eqf(b,+b)则M、N的大小关系是(  ) A.MNB.MNC.M=ND.不确定【解析】由已知得ab故M-N=eqf(,+a)+eqf(,+b)-eqf(a,+a)-eqf(b,+b)=eqf(-a,+a)+eqf(-b,+b)=eqf((-ab),(+a)(+b))故MN【答案】B.已知ab则aabb(ab)eqsup(f(a+b,))(填大小关系).【解析】∵eqf(aabb,(ab)sup(f(a+b,)))=eqblc(rc)(avsalco(f(a,b)))eqsup(f(a-b,))there当a=b时eqblc(rc)(avsalco(f(a,b)))eqsup(f(a-b,))=此时aabb=(ab)eqsup(f(a+b,))当ab时eqf(a,b)eqf(a-b,)thereeqblc(rc)(avsalco(f(a,b)))eqsup(f(a-b,))此时aabb(ab)eqsup(f(a+b,))*当ba时eqf(a,b)eqf(a-b,)则eqblc(rc)(avsalco(f(a,b)))eqsup(f(a-b,))此时aabb(ab)eqsup(f(a+b,))thereaabbge(ab)eqsup(f(a+b,))【答案】ge.若a>b>a+b=则下列不等式对一切满足条件的ab恒成立的是(写出所有正确命题的序号).①able②eqr(a)+eqr(b)leeqr()③a+bge④a+bge⑤eqf(,a)+eqf(,b)ge【解析】令a=b=排除②④由=a+bgeeqr(ab)rArrable命题①正确a+b=(a+b)-ab=-abge命题③正确eqf(,a)+eqf(,b)=eqf(a+b,ab)=eqf(,ab)ge命题⑤正确.【答案】①③⑤.设xy若不等式eqf(,x)+eqf(,y)+eqf(lambda,x+y)ge恒成立求实数lambda的最小值.【解析】∵xythere原不等式可化为-lambdaleeqblc(rc)(avsalco(f(,x)+f(,y)))(x+y)=+eqf(y,x)+eqf(x,y)∵+eqf(y,x)+eqf(x,y)ge+eqr(f(y,x)middotf(x,y))=当且仅当x=y时等号成立.thereeqblcrc(avsalco(blc(rc)(avsalco(f(,x)+f(,y)))(x+y)))eqsdo(min)=即-lambdalelambdage-aba=ba=ba=b=ca>b【知识要点】.基本不等式定理:如果abisinR那么a+bge当且仅当时等号成立.定理:如果ab>那么eqf(a+b,)geeqr(ab)当且仅当时等号成立即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.定理:如果abcisinR+那么eqf(a+b+c,)geeqr(,abc)当且仅当时等号成立..比较法()比差法的依据是:a-b>hArr变形判断差的符号AgeB推理、论证要证的结论充分条件步骤是:ldquo作差rarrrarrrdquo.变形是手段变形的目的是判断差的符号.()比商法:若B>欲证只需证eqf(A,B)ge.综合法与分析法()综合法:一般地从已知条件出发利用定义、公理、定理、性质等经过一系列的而得出命题成立.()分析法:从出发逐步寻求使它成立的直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义公理或已证明的定理性质等)从而得出要证的命题成立.考点 比较法证明不等式eqavsal(例)设ab是非负实数求证:a+bgeeqr(ab)(a+b).【解析】证明:因为a+b-eqr(ab)(a+b)=(a-aeqr(ab))+(b-beqr(ab))=aeqr(a)(eqr(a)-eqr(b))+beqr(b)(eqr(b)-eqr(a))=(eqr(a)-eqr(b))(aeqr(a)-beqr(b))=eqblc(rc)(avsalco(asup(f(,))-bsup(f(,))))eqblc(rc)(avsalco(asup(f(,))-bsup(f(,))))因为agebge所以不论agebge还是lealeb都有aeqsup(f(,))-beqsup(f(,))与aeqsup(f(,))-beqsup(f(,))同号所以eqblc(rc)(avsalco(asup(f(,))-bsup(f(,))))eqblc(rc)(avsalco(asup(f(,))-bsup(f(,))))ge所以a+bgeeqr(ab)(a+b).【点评】作差比较法证明不等式的步骤()作差()变形()判断差的符号()下结论.其中ldquo变形rdquo是关键通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式再结合不等式的性质判断出差的正负.考点 综合法证明不等式eqavsal(例)设abcd均为正数且a+b=c+d证明:()若abcd则eqr(a)+eqr(b)eqr(c)+eqr(d)()ldquoeqr(a)+eqr(b)eqr(c)+eqr(d)rdquo是ldquo|a-b||c-d|rdquo的充要条件.【解析】()因为(eqr(a)+eqr(b))=a+b+eqr(ab)(eqr(c)+eqr(d))=c+d+eqr(cd)由题设a+b=c+dabcd得(eqr(a)+eqr(b))(eqr(c)+eqr(d))因此eqr(a)+eqr(b)eqr(c)+eqr(d)()①若|a-b||c-d|则(a-b)(c-d)即(a+b)-ab(c+d)-cd因为a+b=c+d所以abcd由()得eqr(a)+eqr(b)eqr(c)+eqr(d)②若eqr(a)+eqr(b)eqr(c)+eqr(d)则(eqr(a)+eqr(b))(eqr(c)+eqr(d))即a+b+eqr(ab)c+d+eqr(cd)因为a+b=c+d所以abcd于是(a-b)=(a+b)-ab(c+d)-cd=(c-d)因此|a-b||c-d|综上ldquoeqr(a)+eqr(b)eqr(c)+eqr(d)rdquo是ldquo|a-b||c-d|rdquo的充要条件.【点评】综合法证明不等式的方法综合法证明不等式要着力分析已知与求证之间不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换恰当选择已知不等式这是证明的关键..综合法证明时常用的不等式()age()|a|ge()a+bgeab它的变形形式有:a+bge|ab|a+bge-ab(a+b)geaba+bgeeqf(,)(a+b)eqf(a+b,)geeqblc(rc)(avsalco(f(a+b,)))eqsup()()eqf(a+b,)geeqr(ab)它的变形形式有:a+eqf(,a)ge(a)eqf(a,b)+eqf(b,a)ge(ab)eqf(a,b)+eqf(b,a)le-(ab).考点 分析法证明不等式(重点保分型考点mdashmdash师生共研)eqavsal(例)设abc且ab+bc+ca=求证:()a+b+cgeeqr()()eqr(f(a,bc))+eqr(f(b,ac))+eqr(f(c,ab))geeqr()(eqr(a)+eqr(b)+eqr(c)).【证明】()要证a+b+cgeeqr()由于abc>因此只需证明(a+b+c)ge即证a+b+c+(ab+bc+ca)ge而ab+bc+ca=故只需证明a+b+c+(ab+bc+ca)ge(ab+bc+ca).即证a+b+cgeab+bc+ca而这可以由ab+bc+caleeqf(a+b,)+eqf(b+c,)+eqf(c+a,)=a+b+c(当且仅当a=b=c时等号成立)证得.所以原不等式成立.()eqr(f(a,bc))+eqr(f(b,ac))+eqr(f(c,ab))=eqf(a+b+c,r(abc))在()中已证a+b+cgeeqr()因此要证原不等式成立只需证明eqf(,r(abc))geeqr(a)+eqr(b)+eqr(c)即证aeqr(bc)+beqr(ac)+ceqr(ab)le即证aeqr(bc)+beqr(ac)+ceqr(ab)leab+bc+ca而aeqr(bc)=eqr(abmiddotac)leeqf(ab+ac,)beqr(ac)leeqf(ab+bc,)ceqr(ab)leeqf(bc+ac,)所以aeqr(bc)+beqr(ac)+ceqr(ab)leab+bc+ca(当且仅当a=b=c=eqf(r(),)时等号成立).所以原不等式成立.【点评】分析法是证明不等式的重要方法当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系较难发现条件和结论之间的关系时可用分析法来寻找证明途径使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆..作差比较法是证明不等式最基本、最重要的方法其关键是变形通常通过因式分解利用各因式的符号进行判断或进行配方利用非负数的性质进行判断..综合法证明不等式时主要利用基本不等式、函数的单调性以及不等式的性质在严密的推理下推导出结论综合法往往是分析法的逆过程所以在实际证明时用分析法分析用综合法表述证明推理过程..某些不等式的条件与结论或不等式的左右两边联系不明显用作差法又难以对差进行变形难以运用综合法直接证明这时常用分析法以便发现联系.分析的过程中综合条件、定理等因素进行探索把分析与综合结合起来形成分析综合法..有些不等式从正面证如果不易说清楚可以考虑反证法凡是含有ldquo至少rdquoldquo唯一rdquo或者含有其他否定词的命题适宜用反证法..放缩法是一种常用的证题技巧放缩必须有目标而目标可以从求证的结论中和中间结果中寻找.常用的放缩技巧有添舍放缩拆项对比放缩利用函数的单调性和重要不等式放缩等.【证明】()由|an-eqf(an+,)|le得|an|-eqf(,)|an+|le故eqf(|an|,n)-eqf(|an+|,n+)leeqf(,n)nisinN*所以eqf(|a|,)-eqf(|an|,n)=eqf(|a|,)-eqf(|a|,)+eqf(|a|,)-eqf(|a|,)+hellip+eqf(|an-|,n-)-eqf(|an|,n)leeqf(,)+eqf(,)+hellip+eqf(,n-)因此|an|n-(|a|-).(浙江)设数列{an}满足eqblc|rc|(avsalco(an-f(an+,)))lenisinN*()证明:|an|n-(|a|-)nisinN*()若|an|leeqblc(rc)(avsalco(f(,)))eqsup(n)nisinN*证明:|an|lenisinN*()任取nisinN*由()知对于任意mneqf(|an|,n)-eqf(|am|,m)=eqblc(rc)(avsalco(f(|an|,n)-f(|an+|,n+)))+eqblc(rc)(avsalco(f(|an+|,n+)-f(|an+|,n+)))+hellip+eqblc(rc)(avsalco(f(|am-|,m-)-f(|am|,m)))leeqf(,n)+eqf(,n+)+hellip+eqf(,m-)eqf(,n-)故|an|eqblc(rc)(avsalco(f(,n-)+f(|am|,m)))middotnleeqblcrc(avsalco(f(,n-)+f(,m)middotblc(rc)(avsalco(f(,)))sup(m)))middotn=+eqblc(rc)(avsalco(f(,)))eqsup(m)middotn从而对于任意mn均有|an|+eqblc(rc)(avsalco(f(,)))eqsup(m)middotn①由m的任意性得|an|le否则存在nisinN*有|an|取正整数mlogeqsdo(f(,))eqf(|an|-,n)且mn则nmiddoteqblc(rc)(avsalco(f(,)))eqsup(m)nmiddoteqblc(rc)(avsalco(f(,)))=|an|-与①式矛盾.综上对于任意nisinN*均有|an|leA组题.若ab均为正实数且anebM=eqf(a,r(b))+eqf(b,r(a))N=eqr(a)+eqr(b)则M、N的大小关系为.【解析】∵anebthereeqf(a,r(b))+eqr(b)>eqr(a)eqf(b,r(a))+eqr(a)>eqr(b)thereeqf(a,r(b))+eqr(b)+eqf(b,r(a))+eqr(a)>eqr(a)+eqr(b)thereeqf(a,r(b))+eqf(b,r(a))>eqr(a)+eqr(b)即M>N【答案】M>N.设a+b=b当eqf(,|a|)+eqf(|a|,b)取得最小值时求a的值.【解析】由于a+b=所以eqf(,|a|)+eqf(|a|,b)=eqf(a+b,|a|)+eqf(|a|,b)=eqf(a,|a|)+eqf(b,|a|)+eqf(|a|,b)由于b|a|所以eqf(b,|a|)+eqf(|a|,b)geeqr(f(b,|a|)middotf(|a|,b))=因此当a时eqf(,|a|)+eqf(|a|,b)的最小值是eqf(,)+=eqf(,)当a时eqf(,|a|)+eqf(|a|,b)的最小值是-eqf(,)+=eqf(,)故eqf(,|a|)+eqf(|a|,b)的最小值为eqf(,)此时eqblc{(avsalco(f(b,|a|)=f(|a|,b),a,a+b=))即a=-.已知f(x)=eqr(+x)aneb求证:|f(a)-f(b)||a-b|【证明】|f(a)-f(b)|=|eqr(+a)-eqr(+b)|=eqf(|a-b|,r(+a)+r(+b))=eqf(|a-b||a+b|,r(+a)+r(+b))leeqf(|a-b|(|a|+|b|),r(+a)+r(+b))eqf(|a-b|(|a|+|b|),r(a)+r(b))=|a-b|.ab且a+b=eqf(,a)+eqf(,b)证明:()a+bge()a+a与b+b不可能同时成立.【证明】证明:由a+b=eqf(,a)+eqf(,b)=eqf(a+b,ab)ab得ab=()由基本不等式及ab=有a+bgeeqr(ab)=即a+bge()假设a+a与b+b同时成立则由a+a及a得a同理b从而ab这与ab=矛盾.故a+a与b+b不可能同时成立..已知xyisinR且|x||y|求证:eqf(,-x)+eqf(,-y)geeqf(,-xy)【证明】法一:(分析法)∵|x||y|thereeqf(,-x)eqf(,-y)thereeqf(,-x)+eqf(,-y)geeqf(,r((-x)(-y)))故要证明结论成立只要证明eqf(,r((-x)(-y)))geeqf(,-xy)成立.即证-xygeeqr((-x)(-y))成立即可.∵(y-x)ge有-xyge-x-ythere(-xy)ge(-x)(-y)there-xygeeqr((-x)(-y))there不等式成立.法二:(综合法)∵eqf(,f(,-x)+f(,-y))leeqf(-x+-y,)=eqf(-(x+y),)leeqf(-|xy|,)=-|xy|thereeqf(,-x)+eqf(,-y)geeqf(,-|xy|)geeqf(,-xy)there原不等式成立.B组题.已知an=eqr(times)+eqr(times)+eqr(times)+hellip+eqr(n(n+))(nisinN*)求证:eqf(n(n+),)aneqf(n(n+),)【证明】∵eqr(n(n+))=eqr(n+n)nisinN*thereeqr(n(n+))ntherean=eqr(times)+eqr(times)+hellip+eqr(n(n+))+++hellip+n=eqf(n(n+),)∵eqr(n(n+))eqf(n+(n+),)thereaneqf(+,)+eqf(+,)+eqf(+,)+hellip+eqf(n+(n+),)=eqf(,)+(++hellip+n)+eqf(n+,)=eqf(n(n+),)综上得eqf(n(n+),)aneqf(n(n+),).已知abisin(+infin)a+b=xxisin(+infin).()求eqf(x,a)+eqf(x,b)+eqf(,xx)的最小值()求证:(ax+bx)(ax+bx)gexx【解析】()因为abisin(+infin)a+b=xxisin(+infin)所以eqf(x,a)+eqf(x,b)+eqf(,xx)gemiddoteqr(,f(x,a)middotf(x,b)middotf(,xx))=middoteqr(,f(,ab))gemiddoteqr(,f(,blc(rc)(avsalco(f(a+b,)))sup()))=timeseqr(,)=当且仅当eqf(x,a)=eqf(x,b)=eqf(,xx)且a=b即a=b=eqf(,)且x=x=时eqf(x,a)+eqf(x,b)+eqf(,xx)有最小值()证明:因为abisin(+infin)a+b=xxisin(+infin)所以(ax+bx)(ax+bx)=axx+abxeqoal(,)+abxeqoal(,)+bxx=xx(a+b)+ab(xeqoal(,)+xeqoal(,))gexx(a+b)+ab(xx)=xx(a+b+ab)=xx(a+b)=xx当且仅当x=x时取得等号.所以(ax+bx)(ax+bx)gexx.已知x+y且xyne()求证:x+ygexy+yx()如果eqf(x,y)+eqf(y,x)geeqf(m,)eqblc(rc)(avsalco(f(,x)+f(,y)))恒成立试求实数m的取值范围或值.【解析】()∵x+y-(xy+yx)=x(x-y)-y(x-y)=(x+y)(x-y)且x+y(x-y)getherex+y-(xy+yx)getherex+ygexy+yx()(i)若xy则eqf(x,y)+eqf(y,x)geeqf(m,)eqblc(rc)(avsalco(f(,x)+f(,y)))等价于eqf(m,)geeqf(x+y,xy(x+y))=eqf(x-xy+y,xy)又∵eqf(x-xy+y,xy)=eqf((x+y)-xy,xy)eqf(-xy,xy)=-即eqf(x+y,xy(x+y))-theremge-(ii)若xy则eqf(x,y)+eqf(y,x)geeqf(m,)eqblc(rc)(avsalco(f(,x)+f(,y)))等价于eqf(m,)leeqf(x+y,xy(x+y))=eqf(x-xy+y,xy)又∵eqf(x-xy+y,xy)geeqf(xy-xy,xy)=即eqf(x+y,xy(x+y))getheremle综上所述实数m的取值范围是-.*

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