八 坐标系与参数方程【核心知识必记】1.极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.如图,设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ)(ρ≥0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如下
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:2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么就是曲线的参数方程.3.直线的极坐标方程若直线过点M(ρa,θa),且极轴逆时针旋转直线的角为α,则它的方程为ρsin(θ-α)=ρasin(θa-α).几个特殊位置的直线的极坐标方程:(1)直线过极点:θ=α.(2)直线过点M(a,0)(a>0)且垂直于极轴:ρcosθ=a.(3)直线过M且平行于极轴:ρsinθ=b.4.圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程:(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r.(2)当圆心位于M(r,0),半径为r:ρ=2rcosθ.(3)当圆心位于M,半径为r:ρ=2rsinθ.5.直线的参数方程经过点Pa(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).6.圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为(θ为参数,0≤θ≤2π).(2)椭圆=1的参数方程为(θ为参数).【易错易混提醒】1.参数方程与普通方程的互化中容易出现错误.2.点的极坐标与平面直角坐标的互化中出现错误.3.识别参数方程或极坐标方程表示的曲线时出现错误.4.讨论参数方程或极坐标方程表示的曲线间的关系时出现错误.【易错诊断】1.极坐标方程ρ=cosθ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是 ( )A.直线、直线 B.圆、圆C.直线、圆 D.圆、直线【解析】选D.极坐标方程ρ=cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-x=0,表示圆,参数方程,化为普通方程为3x+y+1=0,表示直线.2.已知点P(1,-),则它的极坐标是 ( )【解析】选C.因为点P的直角坐标为(1,-),所以ρ==2.再由1=ρcosθ,-=ρsinθ,可得结合所给的选项,可取θ=-,即点P的极坐标为3.已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,则圆C的圆心到直线l的距离等于____________. 【解析】已知直线l的参数方程为(t为参数),转化成直角坐标方程为:4x-3y+1=0.圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,整理得:ρ2=2ρcosθ转化成直角坐标方程为:x2+y2-2x=0,转化成
标准
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形式为:(x-1)2+y2=1.所以:圆心坐标为(1,0),半径为1.则:圆C的圆心到直线l的距离为d==1.
答案
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:14.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=-2cos,ρcos+1=0,则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为____________. 【解析】曲线C1的极坐标方程为ρ=-2cos即ρ=2sinθ,两边同乘以ρ,得ρ2=2ρsinθ,化为普通方程为x2+y2=2y,即x2+(y-1)2=1.表示以C(0,1)为圆心,半径为1的圆.C2的极坐标方程为ρcos+1=0,即ρsinθ+ρcosθ+1=0,化为普通方程为x+y+1=0,表示一条直线.如图,圆心到直线距离d=|CQ|=曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为|PQ|=d+r=+1.答案:+15.在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与曲线(t为参数)相交于A,B两点,求线段AB的长.【解析】曲线的普通方程为y=x2+2x.联立所以可取A(0,0),B(-1,-1),所以AB=
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