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高考数学一轮复习北师大版直接证明与间接证明、数学归纳法名师精编课件.ppt

高考数学一轮复习北师大版直接证明与间接证明、数学归纳法名师精编…

Miss杨
2019-04-14 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高考数学一轮复习北师大版直接证明与间接证明、数学归纳法名师精编课件ppt》,可适用于高中教育领域

第节 直接证明与间接证明、数学归纳法最新考纲了解直接证明的两种基本方法:综合法和分析法了解分析法和综合法的思考过程和特点了解反证法的思考过程和特点了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题知识链条完善考点专项突破解题规范夯实知识链条完善把散落的知识连起来【教材导读】综合法和分析法有什么区别与联系提示:()分析法的特点是从ldquo未知rdquo看ldquo需知rdquo,逐步靠拢ldquo已知rdquo,其逐步推理,实际上是寻求它成立的充分条件()综合法的特点是从ldquo已知rdquo看ldquo可知rdquo,逐步推向ldquo未知rdquo,其逐步推理,实际上是寻找它成立的必要条件()分析法易于探索解题思路,综合法易于过程表述,在应用中视具体情况择优选之用反证法证明问题的一般步骤有哪些提示:()反设(否定结论):假定所要证的结论不成立,而结论的反面成立()归谬(推导矛盾):将ldquo反设rdquo作为条件,由此出发,经过正确的推理导出矛盾mdashmdash与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾()定论(肯定结论):矛盾产生的原因在于ldquo反设rdquo的谬误,既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立数学归纳法两个步骤有什么关系提示:数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,两个步骤缺一不可,否则就会导致错误第一步中,验算n=n中的n不一定为,根据题目要求,有时可为或等知识梳理直接证明()综合法定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出的证明方法()分析法定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法间接证明mdashmdash反证法一般地,假设原命题(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明,从而证明了,这样的证明方法叫做反证法所要证明的结论成立判定一个明显成立的条件不成立假设错误原命题成立数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:()归纳奠基:证明当n取第一个值n(nisinN*)时命题成立()归纳递推:假设时命题成立,证明当时命题也成立只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法n=k(kgen,kisinN*)n=k夯基自测命题ldquo对于任意角theta,costhetasintheta=costhetardquo的证明:ldquocosthetasintheta=(costhetasintheta)(costhetasintheta)=costhetasintheta=costhetardquo过程应用了(  )(A)分析法(B)综合法(C)综合法、分析法结合使用(D)间接证法解析:在证明过程中使用了大量的公式和结论,有平方差公式,同角的关系式,所以在证明过程中,使用了综合法的证明方法B解析:应选择分析法B要证明,可选择的方法有下面几种,其中最合理的是(  )(A)综合法(B)分析法(C)特殊值法(D)其他方法unknownunknownunknown用反证法证明命题ldquo若a,bisinN,ab可被整除,那么a,b中至少有一个能被整除rdquo时,假设的内容应该是(  )(A)a,b都能被整除(B)a,b都不能被整除(C)a,b不都能被整除(D)a能被整除解析:ldquo至少有一个rdquo的反面应是ldquo一个都没有rdquo故应选BB答案:k用数学归纳法证明ldquohellipn(nisinN*,n)rdquo时,由n=k(k)不等式成立,推证n=k时,左边应增加的项数是    unknownunknownunknown解析:左边的特点:分母逐渐增加,末项为由n=k,末项为,到n=k,末项为=,所以应增加的项数为kunknownunknownunknownunknown答案:b已知函数f(x)=lg,若f(a)=b,则f(a)=    (用b表示)unknown解析:因为f(x)=lg=lg=f(x),所以f(x)为奇函数,所以f(a)=f(a)=bunknownunknown考点专项突破在讲练中理解知识考点一综合法【例】已知a,b,c为正实数,abc=,求证:abcgeunknown证明:法一 因为abc=,所以(abc)=abcabacbcleabcabacbc=(abc),所以abcge(教师备用)法二 设a=alpha,b=beta,c=gamma则由abc=可知alphabetagamma=,所以abc=(alpha)(beta)(gamma)=(alphabetagamma)alphabetagamma=alphabetagammageunknownunknown反思归纳()综合法是ldquo由因导果rdquo的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证结论的真实性()综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理【即时训练】设a,b,c,证明:geabcunknownunknownunknown证明:因为a,b,c,根据基本不等式,有ageccgeb,bgea,三式相加得abcge(abc),即geabcunknownunknownunknownunknown考点二分析法证明:因为m,所以m,所以要证原不等式成立,只需证明(amb)le(m)(amb),即证m(aabb)ge,即证(ab)ge,而(ab)ge显然成立,故原不等式得证【例】已知m,a,bisinR,求证:()leunknownunknown反思归纳()分析法是ldquo执果索因rdquo的证明方法,它是从结论入手,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证()用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用ldquo要证(欲证)helliprdquoldquo即要证helliprdquoldquo就要证helliprdquo等分析到一个明显成立的结论,再说明所要证明的数学问题成立【即时训练】已知a,,求证:unknownunknownunknownunknown证明:由已知,及a可知b,要证只需证,只需证abab,只需证abab,middot即,即这是已知条件,所以原不等式得证unknownunknownunknownunknownunknown反证法考点三【例】已知f(x)=axbxc,若ac=,f(x)在,上的最大值为,最小值为求证:ane且unknownunknown证明:假设a=或ge()当a=时,由ac=,得f(x)=bx,显然bne由题意,得f(x)=bx在,上是单调函数,所以f(x)的最大值为|b|,最小值为|b|由已知条件,得|b|(|b|)==,这与|b|(|b|)=相矛盾,所以aneunknownunknownunknown()当ge时,由二次函数的对称轴为直线x=,知f(x)在,上是单调函数,故其最值在区间的端点处取得所以或又ac=,则此时b无解,所以由()(),得ane且unknownunknownunknownunknown反思归纳()当一个命题的结论是以ldquo至多rdquo、ldquo至少rdquo、ldquo唯一rdquo或以否定形式出现时,宜用反证法来证()利用反证法进行证明时,一定要对所要证明的结论进行否定性的假设,并以此为条件进行归谬,得到矛盾,则原命题成立【即时训练】已知二次函数f(x)=axbxc(a)的图象与x轴有两个不同的交点,若f(c)=,且xc时,f(x)()证明:是函数f(x)的一个零点unknown证明:()因为f(x)图象与x轴有两个不同的交点,所以f(x)=有两个不等实根x,x,因为f(c)=,所以x=c是f(x)=的根,又xx=,所以x=(是f(x)=的一个根,nec),所以即是函数f(x)的一个零点unknownunknown()试用反证法证明cunknown证明:()假设,由xc时,f(x),c,又知f(),与f()=矛盾,所以cnec,所以gec,又因为unknown数学归纳法考点四【例】已知f(n)=hellip,g(n)=,nisinN*()当n=,,时,试比较f(n)与g(n)的大小关系unknownunknownunknownunknownunknownunknown解:()当n=时,f()=,g()=,所以f()=g()当n=时,f()=,g()=,所以f()g()当n=时,f()=,g()=,所以f()g()unknownunknownunknownunknown()猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明解:()由()猜想f(n)leg(n),下面用数学归纳法给出证明①当n=,,时,不等式显然成立②假设当n=k(kge,kisinN*)时不等式成立,即hellip,那么,当n=k时,f(k)=f(k),因为==,所以f(k)=g(k)由①,②可知,对一切nisinN*,都有f(n)leg(n)成立unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown反思归纳()利用数学归纳法可以证明与n有关的命题,也可以解决与正整数n有关的探索性问题,其基本模式是ldquo归纳mdash猜想mdash证明rdquo证明的关键是假设当n=k(kisinN*,kgen)时命题成立,由归纳假设推证n=k时命题成立()证明n=k(kisinN*,kgen)时命题成立的常用技巧①分析n=k时命题与n=k时命题形式的差别,确定证明目标②证明恒等式时常用乘法公式、因式分解、添拆项配方等证明不等式常用分析法、综合法、放缩法等【即时训练】用数学归纳法证明:hellip=(nisinN*)unknownunknownunknownunknownunknown证明:()当n=时,左边==,右边==左边=右边,所以等式成立unknownunknownunknownunknown()假设n=k(kisinN*且kge)时等式成立,即有hellipQUOTE=,则当n=k时,hellip=====所以当n=k时,等式也成立,由()()可知,对于一切nisinN*,等式都成立unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown备选例题【例】(高考北京卷)对于数对序列P:(a,b),(a,b),hellip,(an,bn),记T(P)=ab,Tk(P)=bkmax{Tk(P),aahellipak}(leklen),其中max{Tk(P),aahellipak}表示Tk(P)和aahellipak两个数中最大的数,()对于数对序列P:(,),(,),求T(P),T(P)的值解:()T(P)==,T(P)=max{T(P),}=max{,}=()记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和Pprime:(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T(P)和T(Pprime)的大小()在由五个数对(,),(,),(,),(,),(,)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T(P)最小,并写出T(P)的值(只需写出结论)解:()T(P)=max{abd,acd},T(Pprime)=max{cdb,cab}当m=a时,T(Pprime)=max{cdb,cab}=cdb,因为abdlecdb,且acdlecbd,所以T(P)leT(Pprime)当m=d时,T(Pprime)=max{cdb,cab}=cab,因为abdlecab,且acdlecab,所以T(P)leT(Pprime)所以无论m=a还是m=d,T(P)leT(Pprime)都成立()数对(,),(,),(,),(,),(,)的T(P)最小T(P)=,T(P)=T(P)=,T(P)=,T(P)=【例】(高考江苏卷)设a,a,a,a是各项为正数且公差为d(dne)的等差数列()证明:,,,依次构成等比数列unknownunknownunknownunknown()证明:因为==d(n=,,)是同一个常数,所以依次构成等比数列,,,unknownunknownunknownunknownunknownunknown()是否存在a,d,使得a,,,依次构成等比数列并说明理由unknownunknownunknown()解:不存在,理由如下:令ad=a,则a,a,a,a分别为ad,a,ad,ad(ad,ad,dne)假设存在a,d,使得a,依次构成等比数列,则a=(ad)(ad),,,且(ad)=a(ad)令t=,则=(t)(t),且(t)=(t)(t,tne),化简得tt=(*),且t=t,将t=t代入(*)式,得t(t)(t)=tt=tt=t=,则t=显然t=不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在a,d,使得a,依次构成等比数列,,unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown()是否存在a,d及正整数n,k,使得,,,依次构成等比数列并说明理由unknownunknownunknownunknown()解:不存在,理由如下:假设存在a,d及正整数n,k,使得,,,依次构成等比数列,则(ad)nk=(ad)(nk),且(ad)nk(ad)nk=(ad)(nk)分别在两个等式的两边同除以及,并令t=(t,tne),则(t)nk=(t)(nk),且(t)nk(t)nk=(t)(nk)将上述两个等式两边取对数,得(nk)ln(t)=(nk)middotln(t),且(nk)ln(t)(nk)ln(t)=(nk)ln(t)化简得kln(t)ln(t)=nln(t)ln(t),且kln(t)ln(t)=nln(t)ln(t)再将这两式相除,化简得ln(t)ln(t)ln(t)ln(t)=ln(t)ln(t)(**)unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown令g(t)=ln(t)ln(t)ln(t)ln(t)ln(t)middotln(t),则gprime(t)=令(t)=(t)ln(t)(t)ln(t)(t)middotln(t),则prime(t)=(t)ln(t)(t)ln(t)(t)middotln(t)令(t)=prime(t),则prime(t)=ln(t)ln(t)ln(t)令(t)=prime(t),则prime(t)=由g()=()=()=()=,prime(t),知(t),(t),(t),g(t)在(,)和(,infin)上均单调故g(t)只有唯一零点t=,即方程(**)只有唯一解t=,故假设不成立所以不存在a,d及正整数n,k,使得,,,依次构成等比数列unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown【例】是否存在常数a,b,c使等式middot(n)(n)hellipn(nn)=anbnc对一切正整数n成立证明你的结论解:分别取n=,,代入等式,得解之,得猜想:存在常数a,b,c使等式middot(n)(n)hellipn(nn)=anbnc对一切正整数n成立下面用数学归纳法证明这个猜想:()当n=时,可知等式成立unknownunknown()假设当n=k(kisinN*,且kge)时,等式成立,即middot(k)(k)hellipk(kk)=kk则当n=k时,左边=middot(k)(k)hellipk(k)k(k)middot(k)(k)=middot(k)(k)hellipk(kk)middot(k)(k)hellipk(k)=kk(k)(k)hellipk(k)=(k)(k)所以当n=k时,等式成立由()(),得存在常数a,b,c使等式对一切nisinN*均成立unknownunknownunknown解题规范夯实把典型问题的解决程序化正确选用合理的数学证明方法【典例】函数f(x)=xx定义数列{xn}如下:x=,xn是过两点P(,),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标()证明:lexnxn()求数列{xn}的通项公式审题点拨关键点所获信息函数f(x)f(x)=xx数列{xn}x=,xn是直线PQn与x轴交点的横坐标解题突破:()数学归纳法()构造法满分展示:()用数学归纳法证明lexnxn①当n=时,x=,直线PQ的方程为y=(x),令y=,解得x=,所以lexxhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip分unknownunknown②假设当n=k时,结论成立,即lexkxk直线PQk的方程为y=(x),helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip分令y=,解得xk=由归纳假设知xk===,xkxk=,helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip分即xkxk所以lexkxk,即当n=k时,结论也成立由①②知对任意的正整数n,lexnxnhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip分unknownunknownunknownunknownunknownunknown()由()及题意得xn=设bn=xn,则=,即=(),helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip分所以数列{,公比为的等比数列,}是首项为因此middotn,=即bn=helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip分故数列{xn}的通项公式为xn=helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip分unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown答题模板:第一步:使用数学归纳法证明第一问,先验证n=时结论成立第二步:在归纳假设下,证明当n=k时结论也成立,根据数学归纳法原理作出命题对一切正整数都成立的结论第三步:通过构造辅助数列的方法解决第二问第四步:把问题转化为等比数列的通项,并求出其通项公式第五步:把辅助数列的通项公式转化为所求数列的通项公式点击进入课时训练点击进入阶段检测试题

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