第五章方差分析与正交设计研究生《数理统计》课程*方差分析 方差分析是根据试验结果进行分析，鉴别各个因素对试验结果的影响程度。 例如 鉴别小麦的品种对产量的影响作用 环境对生产力的影响（噪声、湿度、温度等）…… 研究三种教学方法对学生的学习效果进行评价。*方差分析又如 美国三大汽车公司(A,B,C)生产有五种不同的车型，试分析汽车的油耗情况。不同公司间产品的油耗量有无差异？汽车型号的油耗量有无差异？ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ A 20.3 21.2 18.2 18.6 18.5 B 25.7 24.7 19.3 19.3 20.7 C 24.0 23.1 20.6 19.8 21.4*一、基本原理 试验指标Y，样本y1,y2,…,yn影响试验指标的因素记A，B，C，…每个因素下又分几种状态(水平)，记为A1,A2,…Ar或B1,B2,…,Bs例如，Y——小麦产品,因素A——温度，有如下状态(4个水平)：40℃(A1)，60℃(A2)，80℃(A3)，100℃(A4)四种状态称为水平。*一、基本原理在每种状态下，又测得n个数据，即样本。以上
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反映的是单因素方差分析的数据结构。 40℃(A1) y11,y12,…,y1n 60℃(A2) y21,y22,…,y2n 80℃(A3) y31,y32,…,y3n 100℃(A4) y41,y42,…,y4n*一、基本原理设Y——小麦产量，A——温度(4)，B——品种(3)，以上表格反映的是双因素方差分析的数据结构。思考：多因素方差分析的数据结构。 AB 40℃(A1) 60℃(A2) 80℃(A3) 100℃(A4) B1 y111,…,y11n y121,…,y12n y131,…,y13n y141,…,y14n B2 y211,…,y21n y221,…,y22n y231,…,y23n y241,…,y24n B3 y311,…,y31n y321,…,y32n y331,…,y33n y341,…,y34n*二、单因素方差分析1、数据结构数据准备水平 A1 A2 … …… Ar *二、单因素方差分析2、数据形态*二、单因素方差分析其中2、数学模型*二、单因素方差分析归纳：数据结构表 A1 y11,y12,…,y1n A2 y21,y22,…,y2n … …… Ar yr1,yr2,…,yrn*3、方差分析对问题H0，提出一种称为方差分析的检验方法。，*()*若SA2显著地大于SE2，说明组间差异显著大于组内差异，那么H0可能不成立。理论上可以证明：当H0成立时，说明：由F分布的定义知：表2.2单因素方差分析表单因素方差分析表算例1：载重汽车销售量分析 某公司为了研究三种内容的广告宣传对载重汽车销售量的影响，他们进行了调查统计。以广告不同内容形式的广泛宣传后，按寄回的广告上的订购数计算，一年四个季度的销售量情况如下表：试分析广告内容对载重汽车销售量的影响，并指出哪一种广告内容最佳？ 季度一季度二季度三季度四 A1A2A3 163176170185184198179190206191218224程序如下：A=[163184206;176198191;170179218;185190224];p=anova1(A)计算结果：查表：F0.95(2,9)=4.26和p=0.0039<0.05结论:拒绝H0. 使用Matlab软件计算 使用excel软件计算 统计分析进一步问：哪一种宣传内容较好呢？因为第i种广告内容效应的计算为：它的估计值为：可以计算：计算结果表明：效应值α3最大，说明广告A3引起的销售量最多。算例2：治疗某疾病的药物疗效比较 设有五种治疗某疾病的药，欲比较它们的疗效。现抽取了30个病人，将他们分成5组，每组6人，同组病人使用一种药，并
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病人从开始服药到痊愈所需的时间(天)，具体数据如下表： 药物A 治疗所需要的天数 A1A2A3A4A5 5，8，7，7，10，84，6，6，3，5，66，4，4，5，4，37，4，6，6，3，59，3，5，7，7，6 使用Matlab软件计算：计算结果：box图形查表：F0.95(4,25)=2.76和p=0.0136<0.05结论:拒绝H0. 统计分析根据方差分析，得出结论是：药物治疗某种疾病有显著差异，进一步问：哪一种药物治疗效果较好呢？ 水平 ni 均值
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差 1 6 7.5 1.6432 2 6 5 1.2649 3 6 4.3333 1.0328 4 6 5.1667 1.472 5 6 6.1667 2.0412三、双因素方差分析1、数据结构(有重复和无重复)交互效应 BA B1 B2 …… Bs A1 y111,…,y11n y121,…,y12n …… y1s1,…,y1sn … …… …… …… …… Ar yr11,…,yr1n yr21,…,yr2n …… yrs1,…,yrsn*三、双因素方差分析2、数学模型*三、双因素方差分析3、问题，*三、双因素方差分析有交互作用的双因素方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方差 F值 p值 因素A 因素B 交互效应A×B 误差 总和*为了提高某种产品的合格率，考察原料用量和来源地对产品的合格率(试验指标)是否有影响。假设原料来源于三个地方：甲、乙、丙。原料的使用量有三种
方案
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：现用量、增加5%、增加8%。每个水平组合各作一次试验，得到如下表的数据，试分析原料用量及来源地对产品合格率的影响在显著水平下是否显著。例无重复方差分析的数据结构。*结论：原料来源地对产品的合格率影响不大，而原料使用量对合格率有显著影响。*说明B2是最优水平，如果乙地最方便且运输距离短，那么最优条件为A2B2。进一步地对因素B进行统计分析，可以根据效应的估计
公式
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：*输入的数据形式：例5.3.2*选择：*输出结果：AB误差*2911230.3311.8119.51F0.95(2,9)=4.256460.67*某个试验用来比较4种不同药品解除外科手术后疼痛的时间长度。结果（小时）表示如下：使用方差分析分析“4种药品解除外科手术后疼痛的时间长度有无显著差异”；*（1）指出方差分析中的因素和水平；（2）指出方差分析中假设检验的原假设；（3）指出上表中的数据应满足的条件；（4）完成下列方差分析表，并据此分析“4种药品解除外科手术后疼痛的时间长度有无显著差异”；3121536.112.8912.5F0.95(3,12)=3.49**222230957117934.336.3313F0.95(2,2)=19****************************
浙公网安备 33021202002483