电磁场与电磁波答案习题3章

第三章  静电场 重点和难点 介绍电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程，对于方程的定解条件，以及解的存在、稳定和惟一性问题应予说明，至于求解方法及惟一性证明可以从简。 镜像法应重点讲解。强调镜像法的依据是惟一性定理，镜像法的理念是以镜像电荷代替边界的影响，从而把一个非均匀空间变为均匀空间。此外，还应说明仅在待求的场区等效。 三种坐标系中求解拉普拉斯方程的方法，可以根据学时多少，适当取舍。若学时允许，建议介绍圆柱坐标系或球坐标系中的分离变量法。因为第九章中求解矩形波导中电磁波时还要使用直角坐标系中分离变量法。 重要公式 电位方程： 有源区中电位满足泊松方程： 无源区中电位满足拉普拉斯方程： 泊松方程的积分解： 自由空间格林函数： 泊松方程的自由空间解： 题  解 3-1 已知在直角坐标系中四个点电荷分布如习题图3-1所示，试求电位为零的平面。 解 已知点电荷q的电位为 ，令 ， ， ， ，那么，图中4个点电荷共同产生的电位应为        令 ，得        由4个点电荷的分布位置可见，对于x=1.5cm的平面上任一点， ，因此合成电位为零。同理，对于x=0.5cm的平面上任一点， ，因此合成电位也为零。所以，x=1.5cm及x=0.5cm两个平面的电位为零。 3-2   试证当点电荷q位于无限大的导体平面附近时，导体表面上总感应电荷等于 。 证明 建立圆柱坐标，令导体表面位于xy平面，点电荷距离导体表面的高度为 ，如图3-2所示。那么，根据镜像法，上半空间的电场强度为 电通密度为        式中        ；    那么， 已知导体表面上电荷的面密度 ，所以导体表面的感应电荷为 则总的感应电荷为 3-3 根据镜像法，说明为什么只有当劈形导体的夹角为的整数分之一时，镜像法才是有效的？当点电荷位于两块无限大平行导体板之间时，是否也可采用镜像法求解。 答 根据镜像法，如果劈形导体的夹角不为 的整数分之一时，则镜像电荷不能最终和原电荷重合，这样将会产生无限多个镜像电荷，每个镜像电荷都会产生一定的电位，导致合成电位无限大，因而无解。 当点电荷位于两块无限大导体板之间时，可采用镜像法求解。此时虽然也会产生无限多个镜像电荷，但是远处的镜像电荷对于两板之间的场点贡献越来越小，因 此可以获得一个有限的解。 3-4  一根无限长的线电荷平行放置在一块无限大的导体平面附近，如习题图3-4所示。已知线电荷密度 ，离开平面的高度 m，空间媒质的相对介电常数 。试求：① 空间任一点场强及能量密度；② 导体表面的电荷密度；③ 当线电荷的高度增加一倍时，外力对单位长度内的线电荷应作的功。 解 ①建立圆柱坐标，令导体表面位于xz平面，导体上方场强应与变量z无关。根据镜像法，上半空间中任一点 的场强为 电场能量密度为 已知导体表面的电荷面密度 ，那么 单位长度内线电荷受到的电场力可等效为其镜像线电荷对它的作用力，即 可见，线电荷受到的是吸引力。所以，当线电荷的高度 增加一倍时，外力必须做的功为 （J）。 3-5 在无限大的导体平面上空平行放置一根半径为a的圆柱导线。已知圆柱导线的轴线离开平面的距离为h，试求单位长度圆柱导线与导体平面之间的电容。 解 根据镜像法可知，无限大的导体平面与无限长圆柱导线之间的场分布与两根无限长平行圆柱导线之间的一半空间的场分布完全相同。因此，圆柱导线与导体平面之间的单位长度内的电容是两根平行圆柱导线的单位长度内的电容一倍。由教材3-3节获知两根平行圆柱导线的单位长度内的电容为 式中D为两根圆柱导线轴线之间的距离，a为圆柱导线的半径。因此，对于本题的圆柱导线与导体平面之间的单位长度内的电容为 若高度h>>a，上式还可进一步简化为 3-6  一根无限长线电荷平行放置 在夹角60的导电劈的中央部位， 离开两壁的距离为h，如习题图3-6(a) 所示。若线电荷的线密度为 ，试 求其电位分布函数。 解 根据镜像法，正如原书3-3节所述，需要引入5个镜像电荷， ， ， ， 和 ，它们离场点P的距离分别为r1，r2，r3，r4，和r5，其位置如习题图3-6(b)所示。 已知，无限长的线电荷产生的电场强度为 可见，空间某点r对于任一参考点r0的电位为 对于本题，若取坐标原点作为电位参考点，因为原线电荷 离坐标原点的距离为2h，离场点P的距离为r0，那么该线电荷在P点产生的电位为 因为全部镜像电荷离坐标原点的距离均为2h，那么，劈间任一点P以坐标原点作为电位参考点的电位为 即        3-7 已知点电荷q位于两块 无限大的接地的平行导体板之 间，如习题图3-7所示。两板 间距为d，点电荷位于 处， 试求两板间的电位分布。 解  选用圆柱坐标系，令下底板位于z=0平面，点电荷q位于 轴，则导体板之间任一点电位与角度无关。 根据镜像法，必须在 轴上引入无限多个镜像电荷， 它们的位置分别为： 正 轴上： ， ， ，．．． 负 轴上： ， ， ，．．． 则两板之间任一点 的电位为： 3-8 试证位于无限大导体平面上半球形导体上空的点电荷q受到的力的大小为 式中a为球半径，d为电荷与球心的间距， 为真空介电常数，如习题图3-8(a)所示。 证明 应用镜像法，将半球变为一个整球。那么，为了保证无限大导体平面和球面形成的边界电位为零，必须引入三个镜像电荷：q，q，q，其中q和q，以及q和q保证无限大平面边界的电位为零，q和q，以及q和q保证球面边界的电位为零。那么，根据镜像法，求得镜像电荷q和q分别为 ， 其位置分别位于 及 处。因此，点电荷 所受到的力应为三个镜像电荷产生的电场力的矢量和。由于三种电场力的方向均位于一条垂线上，矢量和变为标量和，即 将上式整理后，即得        3-9  当孤立的不带电的导体球位于均匀电场 中，使用镜像法求出导体球表面的电荷分布。（提示：利用点电荷与导体球之间的镜像关系。） 解  当导体球和点电荷之间的距离远远大于其半径时，可以认为该导体球附近的电场是均匀的， 设 由点电荷 产生， 到球心的距离为 ，球半径为a。根据镜像法，必须在球内距球心 处引入的镜像电荷 。由于球未接地，为了保持总电荷量为零，还必须引入另一个镜像电荷q，且应位于球心，以保持球面为等电位。那么球外任一点的电位为 式中 ， ， 分别为该点到球心，电荷 以及电荷 的距离，即 式中为线段r和f之间的夹角。已知导体表面的电荷密度 ，将电位函数代入得 因为 ，即 ，代入上式，考虑到 ，即当 时，取上式极限，求得 3-10 试证位于半径为a的导体球外的点电荷q受到的电场力大小为 式中f为点电荷至球心的距离。若将该球接地后，再计算点电荷q的受力。 证明 根据镜像法，必须在球内距球心 处引入的镜像电荷 。由于球未接地，为了保持总电荷量为零，还必须引入另一个镜像电荷q，且应位于球心，以保持球面为等电位。那么，点电荷 受到的力可等效两个镜像电荷对它的作用力，即， （N） （N） 合力为    （N） 当导体球接地时，则仅需一个镜像电荷 ，故 所受到的电场力为F1。 3-11 在半径为a的接地导体球附近，沿径向放置一根长度为l的线电荷，如习题图3-11(a)所示。已知线电荷密度为 ，近端离球心的距离为D，试求镜像电荷及其位置。 解 采用镜像法，应在球内径向位置引入一个镜像线电荷 ，离球心最近的一端对应原先的线电荷 离球心的最远端，而 的最远端对应 的最近端。设 上任一点距离球心为 ， ， 上任一点距离球心为 ，则根据点电荷与导体球面的镜像规律，获知镜像线电荷的长度范围为 位置x与x的关系为 。因此， ， 。 再根据电量关系 ，即可求得镜像电荷的分布函数为            3-12 在半径为a的接地导体球附近，横向放置一根长度为l的线电荷，如习题图3-12(a)所示。已知线电荷密度 为 ，线电荷中心离球心的距离为D，试求镜像电荷及其位置。 解 求解方法与上题类似。对应于点电荷 的镜像线电荷为 ，如图3-12(b)所士示。设点电荷 距离球心为 ，则其镜像电荷 离球心的距离为 由图可知 因此， ，即镜像电荷分布函数为 3-13 已知一个不接地的半径为a的导体球携带的电荷为Q，若电荷为Q的点电荷移向该带电球，试问当点电荷受力为零时离球心的距离。(当点电荷所带电荷与导体球所带电荷相反时，点电荷肯定受到引力，即其受力不可能为零)。 习题图3-10 解 如习题题3-10所示，如前所述，根据镜像法，若导体球原先不带电，对于点电荷Q，必须在球内距离球心 处引入一个镜像电荷 ，而在球心处再放置另一个电量为 的点电荷，以保持电荷守恒及导体球为等位体。本题中导体球已带有电量为Q的电荷，因此在球心处放置的另一个镜像电荷的电量应为(Q )。那么，点电荷 将受到的镜像电荷的作用力为 要使点电荷受力为零，则 应满足下列方程 求解此高次方程可用作图法。为此，先将上式化简为 再化为关于 的方程即 若 ，则上面的方程又可写为 令 ， ，分别作图求得y1和y2的交点，即是所要求的解。根据题意可知 ，由下图可见 的解位于 =1.5~2之间。其值近似为 ，即 时，点电荷q受力为零。 3-14  试证位于内半径为a的导体球形空腔中的点电荷q受到的电场力大小为 式中d为点电荷离球心的距离。再计算腔中电位分布以及腔壁上的电荷分布。 证明 根据点电荷与导体球的镜像关系，可知点电荷 在腔外的镜像电荷为 ， 距球心 ；如下习题图3-14所示。则 所受到的力可等效为镜像电荷 对它的电场力，其大小为 显然，腔内任一点 电位与 无关，它可表示为 已知导体表面的电荷密度 求得            3-15  半径为a的不接地的 导体球中含有半径为b的球 形空腔，如习题图3-15(a)所示。 若在导体球外，离球心f处 放置一个电量为q的点电荷， 在空腔中离腔心d1处放置另 一个电量为 的点电荷，腔心与球心间距为 ，且腔心、球心、点电荷q及 均在一条直线上。试求腔中、导体球内外任一点场强。 解 由于导体球的屏蔽作用，球外点电荷 以及球面上的感应电荷对于腔中的场强没有贡献。因此，计算腔中场强仅需考虑腔内的点电荷 以及空腔内壁上感应电荷的作用。为了考虑腔壁上感应电荷的影响，可以应用镜像法，以一个腔外镜像电荷等效腔壁上感应电荷的影响。此时可以直接利用点电荷与导体球的镜像关系，导出腔外镜像电荷的位置与电量。如图3-15(b)所示，球外镜像电荷 的位置及电量分别为 ；        计算腔外场强也可应用镜像法，此时导体球的半径为a，如习题图3-15(b)所示。但是腔中必须引入两个镜像电荷q0和q，其中q0位于球心，q的位置和电量，以及q0的电量分别为