2010年第十五届华杯赛初一组初赛试题及答案

2010 年 第十五届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 初一试题 解答 一、 选择题 1. 如果x, y满足2x 3y 15，6x 13y 41，则x 2y的值是( ). (A) 5 (B) 7 (C) 15 2 (D) 9 答案：（B） 解答：2x 3y 15，6x 13y 41两边相加得到8x 16y 56，两边除以8得到 x 2y 7。故答案为（B）。 2. －2 和 2 对应的点将数轴分成 3 段，如果数轴上任意 n 个不同的点中至少 有 3 个在其中一段之中,那么 n 不小于( ). (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 解答. （C） 三个集合包含了所有数, 再有抽屉原理得出（C）是对的. 或者，因为 n 是正整数，要使 n 最小，且满足条件，则要有两个点分别和－2、 2重合，这样左右每段上还分别需要两个点，中间段只需要分布一个点就能满足 条件。总共需要至少7个点。 3. 用甲乙两种饮料按照 x : y（重量比）混合配制成一种新饮料，原来两种饮料 成本是：甲每 500 克 5 元，乙每 500 克 4 元，现甲成本上升10%，乙下降10% 后，而新饮料成本恰好保持不变，则x : y =( ). (A) 2 : 3 (B) 3: 4 (C) 4 : 5 (D) 6 : 7 答: 4 : 5. 解:由 5x 4y 5.5x 3.6y , 得 5x 4y , ∴ x : y 4 : 5 填 4 : 5 . 4. 满足 𝑥 − 1 − 𝑥 － 𝑥 − 1 ＋ 𝑥 的值是（ ） (A) 0 (B) ± 1 4 (C) 3 4 (D) ± 3 4 答案：（C）. 理由或提示: 当x≤0，原方程为 −𝑥 + 1 − −𝑥 －x 1x=1，即1x 1x 1，无解； 当0＜x≤1，原方程为 1 − 𝑥 − 𝑥 (1x) x =1，即| 12x| 12x 1，这种情 况下当0≤x≤ 1 2 时，12x 12x 1无解；当 1 2 ≤x≤1时，2x 112x 1，x= 3 4 ； 当x≥1，原方程为 𝑥 − 1 − 𝑥 (x 1) x =1，即1(x 1) x 1，无解. 5. 一个立方体的每一个面都写有一个自然数，并且相对的两个面内的两数之和都 相等，右图是这个立方体的平面展开图，若20、0、9的对面分别写的是a、b、c， 则𝑎2＋𝑏2＋𝑐2―ab―bc―ca的值为( )。 (A) 481 (B) 301 (C) 602 (D) 962 答案：（B） 解：由题意得：a 9 b 0 c 20， ∴a b 9，b c 20，c a 11， ∴𝑎2＋𝑏2＋𝑐2―ab―bc―ca ＝ 1 2 𝑎 − 𝑏 2 + 𝑏 − 𝑐 2 + 𝑐 − 𝑎 2 ＝ 1 2 81 + 400 + 121 ＝301 6. 乘积为240的不同的五个整数的平均值最大是( ). (A) 11 5 (B) 18 5 (C) 7 (D) 9 答：(D). 解答思路： 假设240 abcd e，a b c d e。 根据240 222235 首先说明a,b, c, d, e中只有一个负数。 如果a,b,c,d,e中只有5 个负数，我们可以选择两个数，改变符号后，乘积不变， 且没有相同的整数，并且5 个数的平均值增大。故最多有3 个负数。 假设有3 个负数。a,b,c为负数，d,e为整数，如果a,b,c中的两个的绝对值与d,e都 不相等，则选择两个数，改变符号后，乘积不变。故a,b,c中任意两个的绝对值至 少有一个与d,e中的数相等。这说明d,e是a,b,c中的两个数。 另外，d,e中至少有一个等于1.因为如果xy z，则z 1x y (x 1)(y 1) 0， 且等号成立时x 1或者y 1。并且a,b,c,1, z为互不相等的整数。 故a,b,c中有一个数等于-1，令a 1，d 1。不妨设b e， 则e 2或者e 4。即a,b, c, d, e为{60,2,1,1,2}或者{15,4,1,1,4}，这五个数 的和比{3,4,1,1,20}小。故最多有一个负数，设为a。 这个负数a一定有a 1.否则，用a乘以最大的整数，满足五个数都不相同。 根据240分解的特点，证明240 (1)12340为和最大的分解。 设a 1,b 1，则240 cd e，c,d,e 1。 我们用一个性质：如果1x y z，则x yz xy z， 因为x yz xy z (1y)(x z) 0。这说明c 2,d 3，因为c d 。 故240 (1)12340为和最大的分解。 二、 填空题 7. 如果x y z 9 , 1 𝑥 ＋ 1 𝑦 ＋ 1 𝑧 ＝0，那么𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2的值为（ ） 答案：81 解答：因为 1 𝑥 ＋ 1 𝑦 ＋ 1 𝑧 ＝0，即 𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑥𝑧 𝑥𝑦𝑧 ＝0，得𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧＝0， 所以 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2＝ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 2－2 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 ＝81 一个特解：x y 6, z 3 8. 如图，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发去往 C 地，在距离 C 地2500 米处甲追上乙；若乙提前10 分钟出发，则在距离 C 地1000 米处甲追上乙. 已 知，乙每分钟走 60 米，那么甲的速度是每分钟（ ）米. 解答：答案为150。 乙提前走 10 分钟，两个人的路程差就增加 10×60=600 米，而甲需要多走2500 －1000=1500米才能追上乙。那就是说，甲走 1500 米的时间里乙可以走1500－ 600=900 米，所以甲乙速度比为1500：900=5：3。甲的速度为每分钟60÷3×5=150 米。 9. 在2001、2002、…、2010 这10 个数中，不能 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成两个平方数差的数有（ ） 个. 答案：3 解 。 一个偶数如果能表示成两个平方数的差，则这两个数一定同时为奇数或者偶数。 而两个奇数（偶数）的平方差一定是4 的倍数，因为2002，2006，2010 不是4 的 倍数，故不能表示成两个平方数的差。 10. 如图，某风景区的沿湖公路AB=3 千米，BC=4 千米，CD=12千米，AD=13 千米，其中AB BC 图中阴影是草地，其余是水面. 那么乘游艇由点C 出发，行 进速度为每小时11 7 13 千米，到达对岸AD 最少要用（ ）分钟. 答：24 分钟。 解：连接AC，由勾股定理容易求得 AC=5 千米。又因为52＋122＝132, 所以三角形 ACD 是直角三角形，ACD 90°。 要乘游艇由点C 出发，行进速度为每小时11 7 13 千米，到达对岸AD 所用时间最少， 游艇行进路线必须最短，即为点C 到AD 的距离，也就是直角三角形ACD 中斜 边AD 上的高线，这个高线＝ 𝐴𝐶×𝐶𝐷 𝐴𝐷 ＝ 5×2 13 ＝ 60 13 （千米），所以游艇行进最少时间 为 60 13 ÷11 7 13 ＝ 2 5 （小时）＝24（分钟）。