二维随机变量函数的分布

第三节 二维随机变量函数的分布 在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数.  例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用 和 分别表示一个人的年龄和体重， 表示这个人的血压，并且已知 与 ， 的函数关系式 , 现希望通过 的分布来确定 的分布. 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题. 在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: (i) ; (ii) 和 ，其中 与 相互独立. 注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到 个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异. 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 分布图示 ★ 引言 ★ 离散型随机向量的函数的分布 ★ 例1            ★ 例2            ★ 例3 ★ 连续型随机向量的函数的分布                ★ 例4 ★ 连续型随机向量函数的联合概率密度            ★ 例5 ★ 和的分布                    ★ 例6            ★ 例7 ★ 正态随机变量的线性组合 ★ 例8            ★ 例9            ★ 例10    ★ 商的分布        ★ 例11        ★ 积的分布        ★ 例12 ★ 最大、最小分布            ★ 例13            ★ 例14    ★ 内容 小结 学校三防设施建设情况幼儿园教研工作小结高血压知识讲座小结防范电信网络诈骗宣传幼儿园师德小结                 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3                  内容要点： 一、 离散型随机变量的函数的分布 设 是二维离散型随机变量, 是一个二元函数, 则 作为 的函数是一个随机变量, 如果 的概率分布为 设 的所有可能取值为 , 则 的概率分布为 二、 连续型随机变量的函数的分布 设 是二维连续型随机向量, 其概率密度函数为 , 令 为一个二元函数, 则 是 的函数. 可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求 的分布. a) 求分布函数 其中, b) 求其概率密度函数 , 对几乎所有的z, 有 定理1  设 是具有密度函数 的连续型随机向量. (1) 设 是 到自身的一一映射, 即存在定义在该变换的值域上的逆变换: (2) 假设变换和它的逆都是连续的; (3) 假设偏导数 存在且连续; (4) 假设逆变换的雅可比行列式 , 即 对于在变换的值域中的 是不为0的. 则 具有联合密度 定理2 设 相互独立，且 则 仍然服从正态分布，且 更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,  即有 定理3 若 且它们相互独立，则对任意不全为零的常数 ，有 . 三、 及 的分布 设随机变量 相互独立,其分布函数分别为 和 , 由于 不大于z等价于 和 都不大于z, 故有 类似地, 可得 的分布函数 例题选讲： 离散型随机变量的函数的分布 例1 (讲义例1) 设随机变量 的概率分布如下表 Y X 0 1 2 0.2 0.15 0.1 0.3 2 0.1 0 0.1 0.05           求二维随机变量的函数Z的分布: 解    由 的概率分布可得 0.2 0.15 0.1 0.3 0.1 0 0.1 0.05 (-1,-1) (-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,0) (2,1) （2,2） -2 -1 0 1 1 2 3 4 1 0 -1 -2 -2 0 2 4                   与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同, 把 值相同项对应的概率值合并可得: 的概率分布为 -2 -1 0 1 2 3 4 0.2 0.15 0.1 0.4 0 0.1 0.05     的概率分布为 Z -2 -1 0 1 2 4 0.4 0.1 0.15 0.2 0.1 0.05               . 例2  设 和 相互独立, 求 的分布. 解    这里我们利用第二章中二项分布的直观解释求之. 若 则 是在 次独立重复试验中事件 出现的次数, 每次试验中 出现的概率都为 同样, 是在 次独立重复试验中事件 出现的次数, 每次试验中 出现的概率为 故 是在 次独立重复试验中事件 出现的次数, 每次试验中 出现的概率为 于是 是以 为参数的二项随机变量, 即 例3 (讲义例2) 若 和 相互独立, 它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明 服从参数为 的泊松分布. 解 由离散型卷积公式得 即 服从参数为 的泊松分布. 连续型随机变量的函数的分布 例4 (讲义例3) 设随机变量 与 相互独立, 且同服从 上的均匀分布, 试求 的分布函数与密度函数. 解    先求 的分布函数 于是 的概率密度为 例5 设 的密度函数为 令 试用 表示 和 的联合密度函数. 和的分布：设 和 的联合密度为 , 求 的密度. 卷积公式: 当 和 独立时, 设 关于 的边缘密度分别为 则上述两式化为 以上两个公式称为卷积公式. 解    令 则逆变换为 故由定理1知, 和 的联合密度函数为 例6  设 和 是两个相互独立的随机变量. 它们都服从 分布, 其概率密度为 解    由卷积公式得 即 例7 (讲义例5) 设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度函数为 如果各周的需要量相互独立, 求两周需要量的概率密度函数. 解    分别用 和 表示第一、二周的需求量 则 从而两周需求量 利用卷积公式计算. 当 时, 若 则 若 则 从而 当 时, 若 则 若 即 则 故 从而 例8 (讲义例4)设 与 相互独立, 且均在区间 上服从均匀分布, 求 的密度函数. 解    由卷积公式,对 有 因为 所以 作变量代换, 令 则 它表明 注: 进一步可以证明, 设 且 和 相互独立, 则 例9 设 相互独立且分别服从参数为 的 分布(分别记成 的概率密度分别为 试证明 服从参数为 的 分布. 证明    由卷积公式, 知当 时, 的概率密度 当 时, 的概率密度 记为  其中 再来计算 由概率密度性质, 有 即有 于是 亦即 服从参数为 的 分布, 即 商的分布：设二维随机向量 的密度函数为 , 求 的密度函数. 例10  在一简单电路中, 两电阻 和 串联连接, 设 相互独立,它们的概率密度均为 求总电阻 的概率密度. 解    的概率密度为 易知仅当 即 时上述积分的被积函数不等于零(如图), 由此即得 将 的表达式代入上式得 例11  设X与Y相互独立, 它们都服从参数为 的指数分布. 求 的密度函数. 解    依题意, 知 因 与 相互独立, 故 由商的分布, 知 当 时, 当 时, 故 的密度函数为 积的分布： 设 具有密度函数 , 则 的概率密度为 例12  设二维随机向量 在矩形 上服从均匀分布, 试求边长为 和 的矩形面积 的密度函数 . 解法1    二维随机变量 的密度函数为 令 为 的分布函数, 则 显然 时, 时, 而当 时(如图), 有 于是  从而  解法2    二维随机变量 的密度函数为 于是  因为仅当 时, 所以 其它情形, 例13  设随机变量 相互独立, 并且有相同的几何分布: ， 求 的分布. 解一    解二    例14 (讲义例6) 设系统 由两个相互独立的子系统 联接而成，联接方式分别为串联、并联、备用（当系统 损坏时，系统 开始工作），如图3—3—6所示. 设 的寿命分别为 , 已知它们的概率密度分别为 其中 且 试分别就以上三种联接方式写出 寿命 的概率密度. 解    (1) 串联的情况 由于当 中有一个损坏时, 系统 就停止工作, 所以这时 的寿命为 由题设知 的分布函数分别为 于是 的分布函数为 的概率密度为 (2)    并联的情况 由于当且仅当 都损坏时, 系统 才停止工作, 所以这时 的寿命 于是 的分布函数为 于是 的概率密度为 (3)    备用的情况 由于这时系统 损坏时系统 才开始工作, 故整个系统 的寿命 是 两者寿命之和, 即 故当 时, 的概率密度为 而当 时, 于是 的概率密度为 课堂练习 1. 已知 的分布律为 0 1 2 0 0.10 0.25 0.15 1 0.15 0.20 0.15         求:  （1） （2） （3） （4） 的分布律. 2. 若 和 独立, 具有共同的概率密度 求 的概率密度.