null
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数的孤立奇点及其分类(P193) 函数的孤立奇点及其分类(P193)一Δ、函数孤立奇点的概念及其分类
二、函数各类孤立奇点的充要条件
三、用函数的零点判断极点的类型
四*、函数在无穷远点的性态一Δ 、函数孤立奇点的概念及其分类一Δ 、函数孤立奇点的概念及其分类例1是函数的孤立奇点.null解的奇点存在, 函数的奇点为null(5-1-1)null定义1 若Laurent级数(5-1-1)中所含(z-z0)的负幂项的项数分别为
1)零个, 2)有限个, 3)无穷多个,
则分别称z0为f(z)的可去奇点、极点和本性奇点。且当z0为极点时,若级数中负幂的系数c-m≠0
并且cn=0(n=-m-1,-m-2, ∙∙∙), 则称z0为f(z)的m级极点,一级极点又称为简单极点。1 可去奇点1 可去奇点定义二、函数各类孤立奇点的充要条件null可补充定义存在,(由于这个原因,因此把这样的奇点z0叫做 f(z) 的可去奇点。)这样得到下面的结论:null由定义判断:幂项, 由有界性判断:的可去奇点的充要条件为注:函数f(z)的可去奇点z0看作它的解析点,且规定(证明见195页)null解 无负幂项另解 null 由于z=0为函数 的可去奇点,且当z→0时,f(z)→1,因此可补充定义 f(0)=1,使 f(z) 在整个复平面上处处解析。
null如果补充定义:nullSchwarz 引理2 极点2 极点其中关于的最高幂为即的(m级)极点.那末孤立奇点称为函数定义 如果Laurent级数中只有有限多个的负幂项, null则由极点的定义null注意到:由此可得:null的极点的充要条件是为函数例 有理分式函数由此也得:null的Laurent展开式中含有的负幂项为有限项.由定义判别:由定义的等价形式判别:由极限判别:null例如 是函数
的二级极点,这里 null解 注意: 不能以函数的
表
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面形式作出结论 .nullnull解 孤立奇点.上述定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.null例3 求下列函数孤立奇点的类型,并指出极点级数
(2)
解: 显然 和 是函数 的孤立奇点,分别取
和
则可见z=1和z=-1分别是f2(z)的二阶极点和三阶极点。nullnull练习求的奇点, 如果是极点, 指出它的级数.
答案
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3 本质(性)奇点3 本质(性)奇点则孤立奇点称为的本性奇点.若Laurent级数中含有无穷多个的负幂项,例如,含有无穷多个z的负幂项 同时 不存在.null例为f(z)的本性奇点,因为:null魏尔斯特拉斯定理如果a为函数f(z)的本质奇点,则对于任何常数A,不管它是有限数还是无穷,都有一个收敛于a的点列 {z_n} , 使得Picard 定理(203)null综上,当z0为f(z)的孤立奇点时,可用极限
值存在有限、为 、不存在,来区分奇点是可
去奇点、极点还是本性奇点。null综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点Laurent级数的特点存在且为
有限值无负幂项含无穷多个负幂项不存在4 、 解析函数在无穷远点的性质4 、 解析函数在无穷远点的性质定义 如果函数 在区域 内
解析,则称无穷远点 为 的孤立奇点。
在 内, 的罗伦展开式为
作变换 ,则在 内的解析函数
的罗朗展开式为:
null定义 如果 是函数 的可去奇点,
极点或者本性奇点,则 分别称是 的
可去奇点,(m级)极点或者本性奇点.
因此
(1)如果当 时, ,那么称z=∞
为函数 的可去奇点;
(2)如果只有有限(至少有一个)正整数 ,
使得 ,那么称z=∞是函数f(z)的极点。(3)如果有无穷多个正整数 ,使得 ,
那么称z=∞是函数f(z)的本性奇点。null当z=∞是函数 f(z) 的极点时,设对于正整数m, cm≠0, 且当k>m时,ck=0,此时称z=∞是函数 f(z)的m级极点。
特别地,当m=1时,称z=∞是函数f(z)的单极点。
定理3 设函数 在区域: 内解
析,那么 是函数 的可去奇点,极点
或者本性奇点的充分必要条件分别为:
存在着有限极限,无穷极限或者不存在任何极限
(包括无穷)。
推论 设函数 在区域: 内解
析,那么 是函数 的可去奇点的充分必要
条件为:存在着某个数 使得 在
内有界。