第一讲分数的速算与巧算
1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的能力
2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．
4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．
知识点拨
一、裂项综合
（一）、“裂差”型运算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
形式的，这里我们把较小的数写在前面，即
，那么有
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
，
形式的，我们有：
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）
（2）
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
（3）整数裂项
(1)
(2)
二、换元
解
数学
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题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
三、循环小数化分数
1、循环小数化分数结论：
纯循环小数
混循环小数
分子
循环节中的数字所组成的数
循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差
分母
n个9，其中n等于循环节所含的数字个数
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧
；
；
；
，……
2、单位分数的拆分：
例：
=
=
=
=
=
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
：分数单位的拆分，主要方法是：
从分母N的约数中任意找出两个m和n,有：
=
本题10的约数有:1,10,2,5.。
例如：选1和2，有：
本题具体的解有：
例题精讲
模块一、分数裂项
【例 1】
【巩固】
【例 2】 计算：
．
【巩固】 计算：
【巩固】 计算：
【例 3】
【例 4】
【巩固】
【巩固】
【例 5】
.
【巩固】 计算：
【巩固】 计算：
．
【巩固】 计算：
．
【巩固】
【例 6】
【巩固】 计算：
【巩固】
【例 7】
【例 8】
【巩固】
【例 9】 计算：
【巩固】 计算：
【例 1】
模块二、换元与公式应用
【例 10】 计算：
【巩固】
【巩固】 计算：
【例 11】 计算：
【例 12】 计算：
【巩固】 ⑴
________；
⑵
________．
【巩固】 计算：
【例 13】 计算：
【例 14】
．
【巩固】 计算：
．
【巩固】 计算：
．
【巩固】 计算：
．
【巩固】 看规律
，
，
……，试求
【例 15】 计算：
【巩固】
【巩固】
【巩固】
【巩固】 计算
【巩固】
【巩固】 计算
.
【巩固】 (
)
(
)
(
)
(
)
【巩固】 计算(
)
(
)
(
)
(
)
三、循环小数与分数互化
【例 16】 计算：
，结果保留三位小数．
【巩固】 ⑴
；
⑵
【巩固】 计算：
【巩固】 计算 （1）
（2）
【例 17】 某学生将
乘以一个数
时，把
误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?
【巩固】 将循环小数
与
相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?
【例 18】 有8个数，
，
,
,
,
是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是
，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?
【例 19】 真分数
化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么
是多少?
【巩固】 真分数
化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是
，则
是多少？
【巩固】 真分数
化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则
是多少？
【例 20】
和
化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________.
【巩固】 纯循环小数
写成最简分数时,分子和分母的和是
,则三位数
【例 21】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
（1）
；
（2）
【巩固】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
【例 22】
【巩固】
=
-
=
【例 23】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。
【巩固】 分母为1996的所有最简分数之和是_________。
【例 24】 若
，其中a、b都是四位数，且a
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