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(新)第7章多元函数的微分.ppt

(新)第7章多元函数的微分

中小学精品课件
2019-03-07 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《(新)第7章多元函数的微分ppt》,可适用于高等教育领域

*第七章多元函数微分学空间解析几何的基本知识二元函数的概念二元函数的极限与连续二元函数的偏导数与全微分二元复合函数的求导法则二元函数的极值最小二乘法**定点空间直角坐标系,三条坐标轴的点O叫做坐标原点正方向符合右手规则:即以右手握住z轴,当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向空间直角坐标系坐标系空间解析几何的基本知识*ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空间直角坐标系共有八个卦限*过此点向三条坐标轴分别作垂直的平面交于坐标轴上的点分别记为在各自所在坐标轴上的坐标分别为横坐标纵坐标竖坐标空间的点*特殊点的表示:坐标轴上的点:坐标面上的点:注意:坐标面和坐标轴上的点的特征*为空间两点在直角三角形和中,用勾股定理空间两点间点的距离*若两点分别为特殊地空间两点间距离公式空间两点间距离公式与平面直角坐标系中两点间是平面两点间距离公式距离公式有类似的表达形式的推广*解设P点坐标为所求点为例的距离为到的距离的两倍,求点P的坐标*解设满足条件的点为易得例求到两定点的点的轨迹方程距离相等此即为所求点的轨迹方程平面方程三元一次方程*平面的一般方程任意一个形如上式的x、y、z的三元一次方程都是平面方程平面的截距式方程*解所求方程为例是所求轨迹上任一点,*曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义()曲面S上任一点的坐标都满足方程()不在曲面S上的点的坐标都不满足方程如果曲面S有下述关系:那么,就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程的图形与三元方程曲面与方程*定义平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线C称为柱面的动直线L称为柱面的准线,母线所形成的曲面称为移动的直线L柱面准线母线几种特殊的曲面)柱面*在xOy面上,解现在空间直角坐标系中讨论问题表一个圆C过作平行z轴的直线L,设点在圆C上,对L上任意点的坐标也满足方程沿曲线C,平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点的坐标都满足此方程,在空间,就是圆柱面方程此曲面称为圆柱面截痕法:用平行于xOy的平面去截此平面截痕为圆!*在xOy面上,解表一个圆C在空间,就是圆柱面方程截痕法:用平行于xOy的平面去截此平面截痕为圆!*截痕法去截一个曲面用平面这个平面叫截平面所得曲线叫截曲线即坐标面截痕只有一个点截痕法是研究空间曲面的一种常用方法从几何背景上看截痕为该平面上的一条曲线分析不同截平面所得的截曲线可知曲面的性状例用截痕法研究曲面截平面为截曲线为大圆截平面为截曲线为圆截平面为**其大小随平面位置的变化而变化与各坐标面平行的截平面椭圆所得的截痕均为)二次曲面椭球面*单叶双曲面特点是:平方项有一个取负号,另两个取正号椭圆双曲线*或特点是:平方项有一个取正号,另两个取负号它分成上、下两个曲面双叶双曲面椭圆抛物线双曲线*椭圆抛物面椭圆抛物线*截痕双曲抛物面(马鞍面)双曲线抛物线*二元函数的概念例理想气体的状态方程是称p为两个变量T,V的函数,其中如温度T、体积V都在变化,则压强p依赖(R为常数)其中p为压强,V为体积,T为温度于T,V的关系是二元函数的概念*的每一对值自变量x,y所有取值的集合称为该函数的则称z是x,y的定义若变量z与变量x,y之间有一个依赖关系,如果对x,y对应,记为称x,y为因变量z对应取值的集合称为该函数的二元函数称z为自变量,因变量,定义域,值域都有唯一一个z值与之f为对应关系*邻域设P(x,y)是xOy平面上的一个点,几何表示:P令有时简记为称之为将邻域去掉中心,称之为去心邻域二元函数的定义域:*曲线称为边界线区域不包含边界线的区域称为开区域整个xOy平面或xOy平面上一条或几条曲线围成的一部分平面称为一个平面区域围成这个区域的包含边界线的区域称为闭区域有界开区域有界闭区域**例把下面图中的阴影所示的区域表示出来o有界闭区域无界开区域**例求下面函数的定义域解无界闭区域即定义域为*解定义域是有界半开半闭区域*二元函数的表示法:通常为曲面图像法、表格法、解析式法二元函数的图像***设二元函数的常数A二元函数的极限与连续定义邻域内有定义以任何方式趋于都趋于一个确定记作的极限(x,y)趋向于(x,y)的路径也是多种多样的方向有任意多个,*相同点二元函数的极限与一元函数的极限的一元函数在某点的极限存在的充要定义相同差异为必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而二元函数于P时,相同点和差异是什么条件是左右极限都存在且相等函数都有极限,且相等*设函数讨论当P(x,y)沿x轴的方向当P(x,y)沿y轴的方向也有解:函数的极限是否存在无限接近点(,)时,同样,无限接近点(,)时,例*函数的极限存在且相等当P(x,y)沿直线y=kx的方向其值随k的不同而变化所以,极限不存在.说明函数取上面两个无限接近于点(,)时,事实上,无限接近点(,)时,特殊方向能否做结论极限存在*设二元函数则称函数定义如果连续如果函数f(x,y)在开区域(闭区域)D内的每一点连续,则称函数在D内连续,或称函数是D内的连续函数二元函数的连续性*称为多元初等函数,积、商(分母不为零)及复合仍是连续的同一元函数一样,二元连续函数的和、差、每个自变量的基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合,由一个式子表达的函数连续的在其定义区域内亦是*讨论二元函数是否连续并求这个函数是二元初等函数的区域有定义因此连续例解:在所以**有界闭区域上连续的二元函数的性质一定有最大值和最小值.介于这两个值之间的任何值.()最大值和最小值定理()介值定理在有界闭区域D上的二元连续函数,在D上在有界闭区域D上的二元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它可以在D上取得二元函数的极限、连续的定义及相关性质都可以推广到多元函数上去*、偏导数定义有定义若此函数则称这个导数为函数记为对x的偏导数,二元函数的偏导数与全微分或即*同理,可定义函数即记为或对y的偏导数,*那么这个偏导数仍是的二元函数,它就称为函数如果函数对自变量x的偏导函数(简称偏导数),记作或同理,可定义函数对自变量y的偏导函数,记作或在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在,*偏导数的概念可以推广到二元以上函数求多元函数的偏导数利用一元函数只需将y的求导法对x求导即可看作常量,并不需要新的方法,*解解*证例*、偏导数的几何意义设二元函数在点有如图,偏导数过点作平面此平面与曲面相交得一曲线,曲线的方程为由于为一元函数的导数易知:*偏导数在几何上表示曲线的切线对x轴的斜率简单地说*解例按定义得证明函数二元函数在一点的两个偏导数存在不能保证函数在该点连续*偏微分是函数、全微分设函数的两个偏导数都是连续的,称是函数关于称全微分记作即全微分的意义与一元函数的微分相近它是函数增量的近似值*解例计算函数在点的全微分所以如果函数在某点的全微分存在,则称在这点可微可微由定义知偏导数连续*纯偏导混合偏导定义、高阶偏导数高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为*例的四个二阶偏导数解*多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地,续就与求导次序无关如果函数的两个二阶混合偏在区域D内定理连续那么在导数该区域内两个混合二阶偏导数与求导变量的次序有关相等与否的判断有下述的定理:*例验证函数满足方程:证因由x,y在函数表达式中的对称性,立即可写出即证*二元复合函数的求导法则复合函数为则复合函数偏导数存在,且可用下列公式计算具有连续偏导数,的情形*变量树图*解例*的情形定理且其导数可用下列公式计算:具有连续偏导数,导数称为全导数*复合函数的中间变量多于两个的情况定理推广变量树图*例设求这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便法二yuvx解法一可用取对数求导法计算*例设变量树图z或记解对抽象函数在求偏导数时,设中间变量同理*答案:*、二元隐函数求导法设方程隐函数的求导公式确定函数恒等式两边关于x求导,由全导数公式,得将其代入得或简写:*例设记则解*解令则例*极大值和极小值的定义定义为函数的极大值点类似可定义极小值点和极小值若对于该邻域内一切异于为极大值则称二元函数的极值设函数有定义有*函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的二元函数的极值也是局部的,一般来说:极大值未必是函数的最大值极小值未必是函数的最小值有时,极值极值点的邻域内的值比较是与点(xy)极小值可能比极大值还大*例例例在(,)点取极小值在(,)点取极大值(也是最大值)在(,)点无极值椭圆抛物面下半个圆锥面马鞍面函数函数(也是最小值)函数*极值的必要条件定理(必要条件)则它在该点的偏导数必然为零:均称为函数的驻点极值点仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,驻点如,驻点,但不是极值点如何判定一个驻点是否为极值点*极值的充分条件定理(充分条件)的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:()有极值,有极大值,有极小值()没有极值()可能有极值,也可能无极值*求函数极值的一般步骤:第一步解方程组求出实数解,得驻点第二步对于每一个驻点求出二阶偏导数的值第三步定出的符号,再判定是否是极值*例讨论双曲抛物面解:再求出二阶偏导数在点处所以函数在处不存在极值有无极值点解方程组是驻点**例解又在点(,)处,在点(a,a)处,故故即的极值在(,)无极值在(a,a)有极大值,*其中最大者即为最大值,与一元函数相类似,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值二元函数的最值求最值的一般方法最小者即为最小值将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,*解此时的最大值与最小值驻点得例*例某企业生产两种产品的产量分别为单位和单位利润函数为求两种产品产量各为多少时可获最大利润最大利润是多少?解:由解方程组得唯一驻点实际问题决定最大利润一定存在时取得最大利润因此可断定当此时最大利润为*最小二乘法设观测或实验数据如下:能否找到一个简单易算的p(x)p(xi)yi总体上尽可能小使得f(x)p(x)这时不要求p(xi)=yi,而只要xxx…xmf(x)yy…ym*使最小使最小p(xi)yi总体上尽可能小使最小常见做法最小二乘法*线性模型使偏差的平方和达到最小。*的最小值得到求二元函数利用二元函数求极值方法则所得一次函数为这种利用偏差平方和最小的方法称为最小二乘法最小二乘法****思考如何确定二次多项式?指数函数如何用线性模型?*通过实验数据或观察数据、历史资料来研究两个变量之间的关系最小二乘法找出两个变量之间的函数关系的近似表达式是一种建立数学模型的常用方法设观测或实验数据如下:首先将数据在平面直角坐标系中标出观察数据的分布是否接近**实际实验数据是不可能在任何一条直线上的那么如何确定这条越小越好达到最小时确定的两个参数就是所求直线呢?确定的原则是:数据与待定直线之间的偏差的绝对值的总和由于绝对值不便于利用微分方法所以改用偏差平方和使之最小:****求方程组解时通常借助计算器(一般科学计算器都配有最小二或)解决最小二乘法解方程组的固定模式)或计算机(数学软件如****解:在坐标系中标出实验数据如图近似直线所以设函数形式为序号*********************

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