2009年高考数学基础知识再疏理（第三轮，上海市格致中学数学组）

欢迎光临《中学数学信息网》 zxsx127@163.com 第三轮疏理 数　学 目　　录 第一部分：集合与函数―――――――――――――――1 第二部分：不等式―――――――――――――――――8 第三部分：三角函数――――――――――――――――11 第四部分：复数――――――――――――――――――16 第五部分：数列与极限―――――――――――――――17 第六部分：排列组合与概率―――――――――――――23 第七部分：向量――――――――――――――――――24 第八部分：空间图形――――――――――――――――28 第九部分：直线与圆锥曲线―――――――――――――35 第十部分：解题技巧与应试心理―――――――――――50 上海市格致中学　数学组 前　　言 有人说，数学是科学之母；有人说，数学是人类社会活动的工具；有人说，数学是思维的体操；有人说，数学是上帝用来 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 写宇宙的文字……。不少爱好数学的人说：数学是一种充满智慧的“游戏”，他从破解数学问题的过程中享受到独有的乐趣。他把数学中的概念、定理、法则、运算规律等看作是这种“游戏”的规则，数学问题的解决就要遵循这些“游戏规则”，而解决数学问题的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 则是对这些规则的深刻理解与灵活运用。为了使同学们经过两轮系统复习后在高考前对“数学游戏”的规则有一个更为系统的掌握与规范而灵活地运用，因此有了这本《第三轮疏理――数学》。 《第三轮疏理――数学》不是知识的简单梳理，而是对高中数学中的主要知识点进行了“疏通”与“整理”，对同学们平时考试中容易出错的地方进行了点评与剖析，对容易混淆的概念与相近公式进行了鉴别，在解题方法与技巧上给予指导。配制的例题都给出了分析与解题过程，可减少读者的阅读难度。 《第三轮疏理――数学》由朱兆和老师策划并执笔编写，在成书过程中得到了许多同志的帮助与支持。孙晔、蔡青、李世廷、王国伟、俞志钢、朱逸、林星芳、葛赪、胡琼、陈莉、姚勤等老师参加了校对工作，我校专家视导室的特级教师孙兆桂、柴志洪、刘汉标老师对本书提出了宝贵意见。特别是柴志洪老师对本书作了全面审核，在此一并致谢。 本书的许多问题与方法累积于我们的教学实践，具有一定的可读性。由于时间仓促，所以书中难免会有不足之处，欢迎读者使用过程中给予指正。 上海市格致中学数学组 2009年4月 第一部分　　集合与函数 1、在集合运算中一定要分清代表元的含义. [举例1]已知集 ，求 . 分析：集合P、Q分别表示函数 与 在定义域R上的值域，所以 ， ， . [举例2]函数 ，其中P、M是实数集R的两个非空子集，又规定： .给出下列四个判断： （1）若 ，则 ；（2）若 ，则 ； （3）若 则 ；（4）若 则 . 其中正确的判断有----------------------------------------------------------------------------------（ ） A、1个； B、2个； C、3个； D、4个. 分析：这是一道比较难的题，涉及到函数的概念，集合的意义. 是函数 的值域， 是函数 的值域.取 ， 可知（1）、（3）不正确.由函数的定义可知，函数定义域内的任意一个值只能与一个函数值对应，所以若 ，只能是 ，此时 ，（2）正确.对于命题（4）：设 则 且 ，若 ，显然有 且 ，所以有 ；若 ，由 则 ，由 ，则 .若有 ，则 ，所以 ，则 ，所以 ，则 .同理可证，若 ，则有 .（4）也正确，选B. 2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. [举例]若 且 ，求 的取值范围. 分析：集合A有可能是空集.当 时， ，此时 成立；当 时， ，若 ，则 ，有 .综上知， . 注意：在集合运算时要注意学会转化 等. 3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若 ，则 A是 B的充分条件；若 ，则 A是 B的必要条件；若 且 即 ，则 A是 B的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便. 充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲 乙）”与“甲的充分条件是乙（乙 甲）”，是两种不同形式的问题. ［举例］设有集合 ，则点 的＿＿＿＿＿＿＿条件是点 ；点 是点 的＿＿＿＿＿＿＿条件. 分析：集合M是圆 外的所有点的集合，N是直线 上方的点的集合.显然有 .（充分不必要、必要不充分） 4、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假. ［举例］命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它是＿＿＿＿（填真或假）命题. 5、若函数 的图像关于直线 对称，则有 或 等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数 的图像关于直线 的对称曲线是函数 的图像，函数 的图像关于点 的对称曲线是函数 的图像. [举例1]若函数 是偶函数，则 的图像关于＿＿＿＿＿＿对称. 分析：由 是偶函数，则有 ，即 ，所以函数 的图像关于直线 对称.或函数 的图像是由函数 的图像向右平移一个单位而得到的， 的图像关于 轴对称，故函数 的图像关于直线 对称. [举例2]若函数 满足对于任意的 有 ，且当 时 ，则当 时 ＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由 知，函数 的图像关于直线 对称，因而有 成立. ，则 ，所以 .即 时 . 6、若函数 满足： 则 是以 为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.若函数 满足： 则 是以 为周期的函数.（注意：若函数 满足 ，则 也是周期函数） ［举例］已知函数 满足：对于任意的 有 成立，且当 时， ，则 ＿＿＿＿＿＿. 分析：由 知： ，所以函数 是以2为周期的周期函数. ， ，故意原式值为0. 7、奇函数对定义域内的任意 满足 ；偶函数对定义域内的任意 满足 .注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量 的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称；若函数 是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若 是奇函数且 存在，则 ；反之不然. ［举例1］若函数 是奇函数，则实数 ＿＿＿＿＿＿＿； 分析：注意到 有意义，必有 ，代入得 .这种特值法在解填空、选择题时若能灵活运用，则事半功倍. [举例2]若函数 是定义在区间 上的偶函数，则此函数的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：函数是偶函数，必有 ，得 ；又由 是偶函数，因而 .即 ，所以此函数的值域为 . 8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数 的图像关于直线 对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域. ［举例］若函数 是定义在区间 上的偶函数，且在 上单调递增，若实数 满足： ，求 的取值范围. 分析：因为 是偶函数， 等价于不等式 ，又此函数在 上递增，则在 递减.所以 ，解得 . 9、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数 的图像，作出函数 的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注 的图像. ［举例］函数 的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：函数 的图像是由函数 的图像经过下列变换得到的：先将函数 的图像上各点的横坐标缩短到原来的 （或将函数 的图像向上平移1个单位）得到函数 的图像，再将函数 的图像作关于 轴对称得到函数 的图像，再将函数 的图像向右平移 个单位，得到函数 的图像，再将函数 的图像向下平移1个单位得到函数 ，最后将函数 的图像在 轴下方部分翻折到 轴上方得到函数 的图像.注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化（尤其是与 轴的交点不要搞错），从图像上可以看出此函数的单调递增区间是 与 . 需要注意的是：函数图像变化过程： 与变化过程： 不同.前者是先作关于 轴对称后平移，而后者是先平移后再作关于直线 对称. 10、研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等. ［举例1］已知函数 ，若不等式 的解集不为空集，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：不等式 的解集不为空集，亦即函数 的图像上有点在函数 的图像的上方. 函数 的图像是 轴上方的半 支抛物线，函数 的图像是过点 斜率为 的直线.当 时直线与抛物线相切，由图像知： .（注意图中的虚线也满足题义） [举例2]若曲线 与直线 没有公共点，则 应当满足的条件是 . 分析：曲线 是由 与 组成，它们与 轴的交点为 和 ，图像如图（实线部分）.可以看出 若直线 曲线 的图像没有公共点，此 直线必与 轴平行，所以 ， . 11、一条曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y轴的直线至多只有一个交点. 一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于 轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗？（是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数）.还应注意的是：有反函数的函数不一定是单调函数，你能举例吗？ ［举例］函数 ，（ ），若此函数存在反函数，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应，平行于 轴的直线与函数的图像至多只有一个交点.又由二次函数 图像的对称轴为直线 知： 或 必存在反函数， 或 必不存在反函数.当 时如何讨论？注意到函数在区间 上递减，在 上递增，所以只要 或 即可.亦即 或 .综上知，实数 的取值范围是 . 12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解（关于 的）方程的过程.注意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定. ［举例］函数 的反函数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：令 ，则 .因为 ，所以 ，则 ， .又原函数的值域为 ，所以原函数的反函数为 .（若是从反函数表达式得 求得 就不是反函数的定义域）. 13、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图像关于直线 对称；若函数 的定义域为A，值域为C， ,则有 . .需要特别注意一些复合函数的反函数问题.如 反函数不是 . ［举例1］已知函数 的反函数是 ，则函数 的反函数的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：求函数的反函数是解方程的过程，即用 表示 然后将 互换即得反函数的表达式.由 可得 .所以函数 的反函数为 . [举例2]已知 ，若 ，则 ＿＿＿＿. 分析：由 得 ，所以 . 14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数 的单调性. [举例]已知函数 在 上是单调增函数，求实数 的取值范围. 分析：函数 称为“耐克”函数，由基本不等式知：当 时，函数的最小值是 ，当 时等号成立. 时，函数递减； 时，函数递增.记住此结论在解选择、填空等小题时用起来比较方便.函数 在 上递增，则 ，得 .但若是大题推理就不能这样描述性的说明，必需要按函数单调性的定义有严格的论证. 任设 且 . ，由函数 是单调增函数，则 ，而 ，则 .所以 对于 且 恒成立，因 ，故 . 需要说明的是：在考试中若“小题大做”则浪费时间，因为“小题”只要结果；而“大题小做”则失分，因为“大题”需要严格的论证过程. 15、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值. ［举例］求函数 在区间 的最值. 分析：求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨论，但求开口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间端点与对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即可. ， . 16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是；一般地，不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）. [举例1]已知关于 的不等式 的解集是 ，则实数 的值为 . 分析：若是从解不等式入手，还应考虑常数 的正负进行讨论.如合理利用方程与不等式之间的关系则可迅速得到答案：解集端点值 是方程 的根.则 得 ，知 . ［举例2］解关于 的不等式： . 分析：首先要注意的是此不等式是否是一元二次不等式.当 时，此不等式是恒成立的，则其解集为 .当 时，才是二次不等式.与其对应的方程为 ，根判别式 .当 ，即 或 时，方程两根为 ；当 ，即 时，方程有等根 ；当 ，即 时，方程无实根.结合二次函数的图像知： 时不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 . 第二部分　　不等式 17、基本不等式 要记住等号成立的条件与 的取值范围.“一正、二定、三相等”，“积定和有最小值、和定积有最大值”，利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用. ［举例］已知正数 满足 ，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿. 分析：此类问题是典型的“双变量问题”，即是已知两变量的一个关系式，求此两变量的另一代数式的最值（或取值范围）问题.其解决方法一是“减元”，即由关系中利用一个变量表示另一变量代入到所求关系式中，转化为一元函数的最值问题；另一方法是构造基本不等式.由 ，当且仅当 等号成立，此时 . 18、学会运用基本不等式： . ［举例1］若关于 的不等式 的解集是R，则实数 的取值范围是＿＿； 分析：由不等式的解集为 ，则 大于 的最大值.由绝对值不等式的性质知： ，所以 . [举例2]若关于 的不等式 的解集不是空集，则实数 的取值范围是＿. 分析： ，知 . 19、解分式不等式不能轻易去分母，通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；解绝对值不等式的关键是“去绝对值”，通常有①利用绝对值不等式的性质②平方③讨论.特别注意：求一个变量的范围时，若分段讨论的也是这个变量，结果要“归并”. ［举例］解关于 的不等式： . 分析：原不等式化为： .注意到此不等式二次项系数含有变量，故要讨论.（1）当 时，不等式的解集为 ；（2）当 时，注意到此时对应的二次函数开口向下，对应方程两根 ，而 ，此时不等式的解集为 ；（3）当 时，同样可得不等式的解集为 . 20、求最值的常用方法：①用基本不等式（注意条件：一正、二定、三相等）；②二次函数；③单调性；④逆求法（包括判别式法）；⑤换元法；⑥数形结合.一般而言：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用函数 的单调性；求二次函数（自变量受限制）的值域，先配方、再利用图像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有限制）常用“逆求”（即判别式法）；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、分母同除一个式子，变分子（分母）为常数. ［举例1］已知函数 的最大值不大于 ，又当 时， ，求实数 的值. 分析： ，则 ，又此二次函数开口向下，则有 .知 .注意到：开口向下的二次函数在闭区间上的最小值是区间一端点对应的函数值；同样开口向上的二次函数在闭区间上的最大值也是区间一端点对应的函数值. [举例2]求函数 在区间 上的最大值与最小值. 分析：因为函数的定义域不是一切实数，用判别式法所求的结果不一定是正确.可利用换元转化成基本不等式型的应用.设 ，则 ， .当 时， 取最小值4；当 时， 取最大值 .所以函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .注意：此类函数的值域（最值）问题在解几的最值中经常涉及，要能熟练地掌握其解法. 21、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也可以整体研究函数 的最值.特别注意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数. ［举例］（1）已知不等式 对于 ）恒成立，求实数 的取值范围. （2）若不等式 对于 恒成立，求实数 的取值范围. 分析：（1）由 得： 对于 ）恒成立，因 ，所以 ，当 时等号成立.所以有 . （2）注意到 对于 恒成立是关于 的一次不等式.不妨设 ，则 在 上单调递减，则问题等价于 ，所以 或 ，则 取值范围为 . 第三部分　　三角函数 22、若 ，则 ；角的终边越“靠近” 轴时，角的正弦、正切的绝对值就较大，角的终边“靠近” 轴时，角的余弦、余切的绝对值就较大. ［举例1］已知 ，若 ，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由 且 ，即 知其角的终边应“靠近” 轴，所以 . ［举例2］方程 的解的个数为＿＿＿＿个. 分析：在平面直角坐标系中作出函数 与 的图像，由函数 都是奇函数，而当 时 恒成立.在 时， ，所以两函数图像只有一个交点（坐标原点），即方程 只有一个解. 同样：当 时，方程 只有唯一解 . 23、求某个角或比较两角的大小：通常是求该角的某个三角函数值（或比较两个角的三角函数值的大小），然后再定区间、求角（或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小）.比如：由 未必有 ；由 同样未必有 ；两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如 ；则 ；或 ；若 ，则 ；若 ，则 . ［举例1］已知 都是第一象限的角，则“ ”是“ ”的――（　　） A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件. 分析： 都是第一象限的角，不能说明此两角在同一单调区间内.如 都是第一象限的角， 但 .选D. ［举例2］已知 ，则“ ”是“ ”的―――（　　） A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件. 分析：注意到由 ，则 可以看作是一三角形的两内角.选C. 24、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小，一定要根据角的范围来确定；能熟练掌握由 的值求 的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得. ［举例1］已知 是第二象限的角，且 ，利用 表示 ＿＿＿＿＿； 分析：由 是第二象限的角， 知 ， . ［举例2］已知 ，求 的值. 分析：由 得： ，则 或 .又 ，所以 .由万能公式得 ， .知 . 25、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即： ；引入辅助角（特别注意 ， 经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为 的形式.函数 的周期是函数 周期的一半. ［举例］函数 的最小正周期为＿＿＿＿＿；最大值为＿＿；单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；在区间 上，方程 的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由 EMBED Equation.3 .所以函数 的最小正周期为 ；最大值为2；单调递增区间满足 ， ，即 ；由 ，则 ， 或 得 或 ，又由 得解集为 . 注意：辅助角 的应用： .其中 ，且角 所在的象限与点 所在象限一致. 26、当自变量 的取值受限制时，求函数 的值域，应先确定 的取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定 的取值范围，并注意A的正负；千万不能把 取值范围的两端点代入表达式求得. ［举例］已知函数 ，求 的最大值与最小值. 分析：函数 .由 ，则 ， ，所以函数 的最大 、最小值分别为 与 . 27、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理.有关 的齐次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理转化为三角式；当知道△ABC三边 平方的和差关系，常联想到余弦定理解题；正弦定理应记为 （其中R是△ABC外接圆半径. ［举例］在△ABC中， 分别是 对边的长.已知 成等比数列，且 ，求 的大小及 的值. 分析：由 成等比数列得 ，则 化成 ，由余弦定理得 ， .由 得 ，所以 = . 28、在△ABC中： ； ， ， ， 等常用的结论须记住.三角形三内角A、B、C成等差数列，当且仅当 . ［举例1］（1）已知△ABC三边 成等差数列，求B的范围；（2）已知△ABC三边 成等比数列，求角B的取值范围. 分析：（1）由△ABC的三边 成等差数列，则 ， ，消去 化得 .所以 . （2）同样可以求得 . ［举例2］在△ABC中，若 ，则△ABC的形状一定是――――（　　） A、等腰直角三角形；　　B、直角三角形；　　C、等腰三角形；　　D、等边三角形. 分析：在三角形ABC中： ，则 .所以△ABC是等腰三角形. ［举例3］△ABC中，内角A、B、C的对边分别为 ，已知 成等比数列，且 . （1）求 的值；（2）设 ，求 的值. 分析：（1）先切化弦： .由 成等比， ，所以 .由 得 ，则 . （2）注意到 ，所以 ，则 .又由余弦定理得： ，得 ， ，所以 . 29、 这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的基本关系式，但是它们在求值过程中经常会用到，要能熟练地掌握它们之间的关系式： .求值时能根据角的范围进行正确的取舍. ［举例1］已知关于 的方程 有实数根，求实数 的取值范围. 分析：由 ，令 ，则 ，其中 .则关于 的方程 在 上有解.注意到方程 两根之积为1，若有实根必有一根在 内，只要△ 即可，得 或 . ［举例2］已知 且 ，则 ＿＿＿＿＿. 分析：此类问题经常出现在各类考试中，而且错误率都比较高.原因是不能根据角所在的象限，对函数值进行正确的取舍.由 平方得 ，又由 知 .则有 . ，得 .有 ，所以 . 30、正（余）弦函数图像的对称轴是平行于 轴且过函数图像的最高点或最低点，两相邻对称轴之间的距离是半个周期；正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点，两相邻对称中心之间的距离也是半个周期. 函数 的图像没有对称轴，它们的对称中心为 .两相邻对称轴之间的距离也是半个周期. ［举例1］已知函数 ，且 是偶函数，则满足条件的最小正数 ＿＿； 分析： 是偶函数，则 是它图像的一条对称轴. 时，函数取最大（小）值. ， .所以满足条件的最小正数 . ［举例2］若函数 的图像关于点 成中心对称，则 ＿＿＿. 分析：由 的图像关于点 成中心对称知 ， . 第四部分　　复数 31、复数问题实数化时，设复数 ，不要忘记条件 .两复数 ， ， 的条件是 .这是复数求值的主要依据.根据条件，求复数的值经常作实数化处理. ［举例］若复数 满足： ，则 ＿＿＿＿＿. 分析：设 ，原式化为 ，得 ，求得 . 32、实系数一元二次方程若存在虚根，则此两虚根互为共轭.若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式判断. ［举例］若方程 的两根 满足 ，求实数 的值. 分析：在复数范围内 不一定成立，但 一定成立.对于二次方程，韦达定理在复数范围内是成立的. ， ，则 或 ，所以 或 . 33、 的几何意义是复平面上 对应点之间的距离， 的几何意义是复平面上以 对应点为圆心， 为半径的圆. ［举例］若 表示的动点的轨迹是椭圆，则 的取值范围是＿＿＿. 分析：首先要理解数学符号的意义： 表示复数 对应的动点到复数 与 对应的两定点之间的距离之和等于4.而根据椭圆的定义知，两定点之间的距离要小于定值4，所以有 ，而此式又表示 对应的点在以 对应点为圆心，4为半径的圆内，由模的几何意义知 . 34、对于复数 ，有下列常见性质：（1） 为实数的充要条件是 ；（2） 为纯虚数的充要条件是 且 ；（3） ；（4） . ［举例］设复数 满足：（1） （2） ，求复数 . 分析：由 则 或 .当 时，则 ，由 得 或 （舍去）；当 时，可求得 .综上知： . 第五部分　　数列与极限 35、等差数列{ }中，通项 ，前 项和 （ 为公差， ）.证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证： 是常数 ( =常数， ，也可以证明连续三项成等差（比）数列.即对于任意的自然数 有： （ ）. ［举例］数列 满足： . （1）求证：数列 是等差数列；（2）求 的通项公式. 分析：注意是到证明数列 是等差数列，则要证明 是常数.而 ，所以 .即数列 是等差数列.又 ，则 ，所以 . 36、等差数列前n项和、次n项和、再后n项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n项和（和不为0）、次n项和、再后n项和仍成等比数列.类比还可以得出：等比数列的前n项的积、次n项的积、再后n项的积仍成等比数列. ［举例1］已知数列 是等差数列， 是其前 项的和， ，则 ＿； 分析：注意到 是等差数列的连续4项的和，它们成等差数列.可以得到 ，所以 . ［举例2］已知数列 是等比数列， 是其前 项的积， ，则 ＿. 分析：由 成等比，则 ，所以 . 37、在等差数列 中，若 ，则 ；在等比数列 中，若 ，则 等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质. ［举例］数列 是等比数列， ，且公比 为整数，则 的值为＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由 得 或 ，又此数列的公比为整数，所以 公比 ，则 . 38、等差数列当首项 且公差 ，前n项和存在最大值.当首项 且公差 ，前n项和存在最小值.求等差数列前 项和的最值可以利用不等式组 来确定 的值；也可以利用等差数列的前 项的和是 的二次函数（常数项为0）转化成函数问题来求解. ［举例1］若 是等差数列，首项 ，则（1）使前 项和 最大的自然数 是＿＿；（2）使前 项和 的最大自然数 ； 分析：由条件可以看出 ，可知 最大，则使 最大的自然数为2006；由 知 ， ， ，所以 ，则使 的最大自然数为4012. ［举例2］在等差数列 中，满足 且 是数列前 项的和.若 取得最大值，则 ＿＿＿＿＿. 分析：首项、公差（比）是解决等差（比）数列的最基本出发点.等差（比）数列的运算多可以通过首项与公差（比）来解决.由 知 ，则 .当 时 ，当 时 ，所以 . 39、数列 是等比数列，其前 项的和 是关于 的分段函数 ，在求和过程中若公比不是具体数值时，则要进行讨论. ［举例1］数列 是等比数列，前 项和为 ，且 ，求 的取值范围. 分析：注意到等比数列的公比是不为零的常数，前 项和存在的前提条件是 ，且 ，知 ，则 ，有 ，则 . ［举例2］数列 是等比数列，首项 ，公比 ，求 的值. 分析：涉及到等比数列的前 项和的问题不能直接的应用公式，要考虑到公比的取值情况.当 时， ，此时 ；当 时， ，则 = . 40、等差数列、等比数列的“基本元”是首项、公差（比），当觉得不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决.学会用任意两项关系：若 ｝是等差数列，则对于任意自然数 有 ；若 ｝是等比数列，则对于任意的自然数 ，有 .在这两关系式中若取 ，这就是等差（比）数列的通项公式. ［举例1］已知数列 是等差数列，首项 ，且 .若此数列的前 项和为 ，问 是否存在最值？若存在， 为何值？若不存在，说明理由. 分析：对于本题来说，等差数列的基本性质用不上，可以化归为首项与公差来解决.设此数列的公差为 ，则 ，即 ，由 知 ，所以数列 是递减数列，故 有最大值而无最小值.由等差数列的通项公式知： ，当 时， ，当 时， .所以 最大.综上知，当 时， 最大，不存在最小值. [举例2]已知正项等比数列 中，首项 ，且 .若此数列的前 项积为 ，问 是否存在最值？说明理由. 分析：与举例1联系起来，这是数列中的“类比”问题.其解决的思想方法是一样的.对于单调正项数列，前 项积 最大（小），则应满足 . 设此数列公比为 ，则 ，则 . .由 知： 时， 时， .所以当 时， 最大， 没有最小值. [特别注意]等差数列与正项等比数列之间存在的类比关系实际上是运算上的变化，这种变化可以由等差数列与等比数列的一个性质来揭示.我们知道：若数列 是正项等比数列，记 ，则数列 是等差数列.反之若数列 是等差数列，记 ，则数列 是等比数列. 41、已知数列的前 项和 ，求数列的通项公式时，要注意分段 .当 满足 时，才能用一个公式表示. ［举例］已知数列 的前 项和 .若 是等差数列，求 的通项公式. 分析：证明一个数列是等差数列或是等比数列，要从等差、等比数列的定义出发.等差、等比数列的性质不能作为证明的理由. 由 知， 时， ，当 时， .当 时， ，而 .若数列 是等差数列，则 ，所以 .则 . 42、形如： + 的递推数列，求通项用叠加（消项）法；形如： 的递推数列，求通项用连乘（约项）法. ［举例］数列 满足 ，求数列 的通项公式. 分析：解决这种递推数列的思想方法实质上是等差、等比数列求通项公式的思想方法.等差数列的基本递推关系： ，等比数列的递推关系： . 由题知： 相加得： ，又 ，所以 ，而 满足此式，则 . 43、一次线性递推关系：数列 满足： 是常数）是最重要的递推关系式，可以看出当 时，此数列是等差数列，当 （ 时，此数列是等比数列.解决此递推的方法是通过代换（令 化成等比数列求解. ［举例］已知数列 满足： ，求此数列的通项公式. 分析：由 得： 知数列 是等比数列，首项为2，公比为2，所以 ，知 . 44、在解以数列为模型的数学应用题时，要选择好研究对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻找“项”与“项数”的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系（即数列的递推公式），然后再求通项. ［举例］某企业去年底有资金积累 万元，根据预测，从今年开始以后每年的资金积累会在原有的基础上增长20%，但每年底要留出 万元作为奖励金奖给职工.企业计划用5年时间使资金积累翻一番，求 的最大值. 分析：与年数相关的应用题在解答过程中要注意项数与年数之间的关系，在设数列时就要指明.特别注意年底、年初的不同. 设从今年开始每年底该企业的资金积累为 万元，则 （万元）， ，则 .所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ， .由题知 ，则 ，求得： .即 的最大值大约为8% . 45、常见的极限要记牢： ，注意 存在与 是不相同的； ，特别注意此式的结构形式；若 是关于 的多项式函数，要会求 . ［举例1］求下列各式的值：（1） ；（2） . 分析：对于指数型的分式型极限，一般是分子、分母同除以幂底数绝对值较大的幂，这样可以求出极限. （1）当 时，原式 ；当 时，原式 . （2）与 相关的极限问题要注意其结构形式，注意到括号内是 号相连，且分子为1，幂的指数与括号内的分母相同.当形式不同时，要向此转化. EMBED Equation.3 . ［举例2］若 ，则 ＿＿＿＿； ＿＿＿＿. 分析：对于分子分母是关于 的整式的分式型极限，若分子的最高的幂指数大于分母的最高的幂指数，则此式极限不存在；当分子的最高的幂指数与分母的最高的幂指数相同时，极限是分子、分母的最高次幂的系数比；当分子的最高的幂指数小于分母的最高的幂指数时，极限是零. 注意到此式极限为1是存在的，由上分析知 ，所以 . 46、理解极限是“无限运动的归宿”. ［举例］已知△ABC的顶点分别是 ，记△ABC的外接圆面积为 ，则 ＿＿＿＿＿. 分析：本题若要先求出三角形ABC的面积后再求极限则是“漫长”的工作，注意到当 时A、B、C点的变化，不难看出△ABC被“压扁”成一条长为4的线段，而此线段就是此三角形外接圆的直径.从而有 . 第六部分　　排列、组合与概率 47、解排列组合应用题是首先要明确需要完成的事件是什么，其次要分清完成该事件是分类还是分步，另外要有逐一列举思想、先选后排思想、正难则反（即淘汰法）思想.简单地说：解排列、组合问题要搞清“做什么？怎么做！”分步做时要考虑到每一步的可行性与“步”与“步”之间的连续性.尤其是排列问题，更要注意“特殊元素、特殊位置”之间的关系，一般地讲，从正面入手解决时，“特殊元素特殊照顾，特殊位置特殊考虑.”相邻问题则用“捆绑”，不邻问题则用“插空”.特别提醒：解排列、组合问题时防止记数重复与遗漏. ［举例］对于问题：从3位男同学，5位女同学这8位同学中选出3人参加学校一项活动，求至少有2位女同学的选法种数.一位同学是这样解的：先从5位女同学中选出2名有 种选法，再在剩下的6位同学中任选一位有 种选法，所以共有 种不同的选法.请分析这位同学的错误原因，并给出正确的解法. 分析：这位同学的解法中犯了计数重复的错误.不妨设女同学的编号为A、B、C、D、E，如先选的 为A、B，再选的 为C，和先选的为A、C，再选的为B是同一种选法.本解法中作为两种不同的结果计数，所以重复. 正确解法有两种：方法一：（分类讨论）选出的3人中至少有2名女同学，则为2女1男有 种不同选法，3位都为女同学有 种不同选法.两种结果都能完成这件事，所以有 种不同的选法.方法二：（去杂法）8位同学中选出3人不满足条件和选法为3男与2男1女.所有选法为 ，则满足题义的选法为： . 48、简单地说：事件A的概率是含有事件A的“个体数”与满足条件的事件的“总体数”的比值.现行高考中的概率问题实际上是排列、组合问题的简单应用. ［举例］定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，集合 的真子集可以作为A的“孙集”的概率是＿＿＿＿＿＿. 分析：本例是“即时性”学习问题.要正确理解“孙集”的定义——“真子集的真子集”.元素为 个的集合的真子集有 个，其真子集的元素最多有 个.有 个元素的集合的真子集最多有 个元素.所以有 个元素的集合的“孙集”实际上是原集合中的小于等于 个元素的真子集.故其概率 . 第七部分　　向量 49、向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”， 表示△ABC的边BC的中线向量.向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量）， 表示A、B两点间的距离；以 、 为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量 + 、 （或 ）. ［举例］已知非零向量 满足： ，则向量 的关系是――――（　　） A、平行；　　　　　　B、垂直；　　　　　　C、同向；　　　　　　D、反向. 分析：注意到向量运算的几何意义： 与 表示以 和 为一组邻边的平行四边形的两对角线的长.我们知道：对角线相等的平行四边形是矩形，从而有 .选B. 另一方面，本例也可以利用向量的运算来进行求解. ，化简得： ，有 . 50、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义.与非零向量 同向的单位向量 ，反向的单位向量 . ［举例］已知△ABC，点P满足 则点P的轨迹是（　　） A、BC边上的高所在直线；　　　　　　　　　B、BC边上的中线所在直线； C、 平分线所在直线；　　　　　　　　　　D、BC边上中垂线所在直线. 分析：这是一道很“漂亮”的与向量相关的问题. ，它涵盖了单位向量、向量加法的意义、数与向量乘积的概念等.注意到 分别是 上的单位向量，则 是以 上的单位向量为邻边的菱形的对角线上的向量，所以 所在直线是 平分线所在直线，则P点的轨迹是 平分线所在直线.选C. 51、两向量所成的角指的是两向量方向所成的角.两向量数量积 ；其中 可视为向量 在向量 上的射影. ［举例1］已知△ABC是等腰直角三角形， ＝90°，AC＝BC＝2，则 ＝＿＿； 分析：特别注意的是，向量 与 的夹角不是△ABC的内角B， 与 的夹角是 的外角.（如图）由 ，则 ，则 . ［举例2］P是△ABC边BC的中线AD上异于A、D的动点， AD＝4，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由D是BC的中点知 ， 与 反向，它们所成角为 .设 ，则 .那么 .所以其取值范围为 . 52、向量运算中特别注意 的应用.研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算. ［举例］已知 ，且 的夹角为 ，又 ，求 . 分析： ，则 ，由题知 ，所以 . 注意：有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，本例就可以由作图得解.请同学们自己完成. 53、向量的坐标运算是高考中的热点内容，要熟练掌握.已知 则 .若 ，则 － ，其坐标形式中是向量的终点坐标减去起点坐标.请注意：向量的坐标形式实质上是其分解形式 的“简记”.其中 分别表示与 轴、 轴正方向同向的单位向量.与向量坐标运算最重要的两个结论：若向量 是非零向量则有： ； EMBED Equation.3 . ［举例］设O是直角坐标原点， ，在 轴上求一点P，使 最小，并求此时 的大小. 分析：设 ，则 则 = ，所以当 时， 的最小值为 此时 ， ， 所夹角等于 ，所以 .所以 . 54、利用向量求角时，要注意范围.两向量所成角的范围是 .特别注意 不能等同于 所成角是锐角.当 同向时也满足 . ［举例1］已知△ABC，则“ ”是“△ABC为钝角三角形”的――――（　　） A、充分不必要条件；　　　　　　　　　　B、必要不充分条件； C、充分必要条件；　　　　　　　　　　　D、既不充分又不必要条件. 分析：对于△ABC，由 可知 是钝角，但△ABC为钝角三角形，不一定A是钝角.选A. ［举例2］ 是过抛物线 焦点的直线，它与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点，则△ABO是――――――――――――――――――――――――――（　　） A、锐角三角形；　　B、直角三角形；　　C、钝角三角形；　　D、不确定与P值有关. 分析：由直线 过焦点 ，设其方程为 ，联立得： ，即： ，设 ，则 ，又 = .则 ，则 一定是钝角.选C. 55、关注向量运算与其它知识的联系，与三角函数综合是高考中的常见题型. ［举例］已知向量 .设 . （1）若 且 ，求 的值； （2）若函数 的图像按向量 平移后得到函数 的图像，求实数 的值. 分析： （1）由题知： ，由题： ，又 ，所以 . （2）函数 是由函数 向左平移 ，再向上平移1个单位而得，所以 . 56、关注点、函数图像（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的变化；点 按向量 平移得到点的坐标是 ；曲线C： 按向量 平移得到曲线 的方程为 .在实际应用过程中不必要死记公式，可结合图形将函数图像（曲线）按某向量平移的问题可以先“翻译”成向左（右）、向上（下）平移，再用函数图像变换的规律操作. ［举例1］将椭圆 对应的曲线按向量 平移后得到的曲线的方程为标准方程，则 ＿＿＿＿； 分析：椭圆 的中心为 ，平移后中心为 ，则点 为向量 的起点，点 为向量 的终点，所以 . [举例2]平移坐标轴，将原点按向量 平移后，使椭圆 在新坐标系中化成为标准方程，则向量 ＝＿＿＿＿＿＿＿. 分析：本例与上例平移方向相反.是将原点从 平移到 ，因此 . 注意到曲线（函数图像）的平移坐标系不变，而坐标轴的平移是曲线（函数图像）不变.两者的方向是不同的，即向量的起点与终点恰好相反. 第八部分　　空间图形 57、平面的基本性质是高考中立体几何的重点内容.要掌握平面的基本性质，特别注意：不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时，要注意讨论点在平面的同侧还是两侧，会根据不同的情况作出相应的图形. ［举例1］已知线段AB长为3，A、B两点到平面 的距离分别为1与2，则AB所在直线与平面 所成角的大小为＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 分析：要注意到点A、B是平面 同侧还是在平面 的两侧的情况.当A、B在平面 的同侧时，AB所在直线与平面 所成角大小为 ；当A、B在平面 的两侧时，AB所在直线与平面 所成角为 . ［举例2］判断命题：“平面 上有不共线的三点到平面 的距离相等，则平面 与平面 是平行平面”的真假. 分析：这是一个假命题.只有当这三点在平面 的同侧时，两平面才平行. 58、线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行.线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直. ［举例］已知平面 ，直线 .有下列命题：（1） ；（2） （3） ；（4） .其中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿. 分析：立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点，基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及，要充分理解符号语言所体现的几何意义.（1）体现的是两平面平行的一个性质：若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一平面平行.（2）要注意的是直线 可能在平面 内.（3）注意到直线与平面之间的关系：若两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.（4）根据两平面平行的判定知，一个平面内两相交直线与另一个平面平行，两平面才平行.由此知：正确的命题是（1）与（3）. 59、直线与平面所成角的范围是 ；两异面直线所成角的范围是 .一般情况下，求二面角往往是指定的二面角，若是求两平面所成二面角只 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 出它们的锐角（直角）情况即可. ［举例］设A、B、C、D分别表示下列角的取值范围：（1）A是直线倾斜角的取值范围；（2）B是锐角；（3）C是直线与平面所成角的取值范围；（4）D是两异面直线所成角的取值范围.用“ ”把集合A、B、C、D连接起来得到＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：直线倾斜角的范围是 ，锐角的范围是 .由此： . 60、立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点（二面角的计算文科不要求）.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法（要在方便建立坐标系时用），特别要注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为 时，其所成角的大小应为 . ［举例］正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB中点，则异面 直线DE与BD1所成角的大小为＿＿＿＿＿＿. 分析：取CD中点F，则BF//DE.那么 D1BF是异面直线 DE与BD1所成的角（或补角）.设正方体的棱长为2，可求 得： .在△BFD1中，求得 ，所以异面直线DE与BD1所成角的大小为 . 对于异面直线所成角的计算，在便于建系的立体图形中（垂直关系明显：如正方体、长方体或有一侧棱与底面垂直的棱锥等）也可以利用建系的方法进行求解， 但要注意到空间坐标系的建立方法，确定好坐标轴. 建立如图坐标系，设正方体的棱长为2，则 ， ， . ， ，设向量 与 所成角为 ，则 .所以异面直线DE与BD1所成角的大小为 . 特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是不一样的.本题中的向量 与 所成的角大小是两异面直线DE与BD1所成角的补角. 61、直线与平面所成角的求解过程中，要抓住直线在平面上的射影，转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法，也可以利用三棱锥的体积转化. ［举例］正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，BC1与平面ACC1A1所成角为30°.试求：（1）三棱柱ABC－A1B1C1的体积；（2）点C到平面BAC1的距离. 分析：（1）求三棱柱的体积，只要求出其高即可.由BC1与平面 ACC1A1所成角为30°，则要作出BC1在平面ACC1A1上的射影. 取AC中点E，则BE ，所以 平面ACC1A1，则EC1 是BC1在平面ACC1A1上的射影.有 =30°.由 ， 知 ，所以 .则三棱柱的体积V= = . （2）若直接求点C到平面BAC1的距离，则需要作垂线、定垂足，比较麻烦.利用体积转化则比较简单.注意到三棱锥C—ABC1即为三棱锥C1—ABC，其体积为 ，设C到平面BAC1的距离为 ，则 .容易求得 ，所以点C到平面BAC1的距离为 . 62、长方体、正方体是最基本的几何体，要熟练掌握它们中的线面关系.长方体的长、宽、高分别为 ，对角线长为 ，则 .利用这一关系可以得到下面两个结论：（1）若长方体的对角线与三棱所成角分别为 ，则 ； （2）若长方体的对角线与三面所成角分别为 ，则 . ［举例］长方体ABCD－A1B1C1D1的对角线AC1与过A点的三条棱所成的角分别为 ，若 ，则 ＝――――――――――――――――――――――――（　　） A、 ；　　　　　B、 ；　　　　　C、 、　　　　　D、不确定. 分析：根据 得 ，则 ， .选C. 63、正方体中线面关系可以说是高考中的重点内容，相当一部分的高考题是以正方体作为载体进行命题，或是截取正方体的一部分进行命题.请特别关注正方体表面按不同形式的展开图，会由展开的平面图形想象立体图形. ［举例1］如图是一正方体的平面展开图，在这个正方体中： （1）AF与CN所在的直线平行； （2）CN与DE所在的直线异面； （3）CN与BM成60°角； （4）DE与BM所在的直线垂直. 以上四个命题中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 分析：将此展开图还原成正方体（如图）.可以看出：（2）、（3）、（4）是正确命题. ［举例2］ABCD－A1B1C1D1是单位正方体，黑、白两只蚂蚁从点A出发以相同速度沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是 ，黑蚂蚁爬行的路线是 ，在爬行过程中它们都遵循如下规则：所爬行的第 段与第 段所在直线必须是异面直线（其中 ）.设黑、白两只蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两个蚂蚁的距离是――――――（　　） A、1；　　　　　　　B、 ；　　　　　　　C、 ；　　　　　　　D、0. 分析：注意到它们的运动规律， 都是呈周期运动，运动周期为6. 经过2007次运动， 由 知， 它们运动后所停位置就是 第3次运动后所停位置. 则它们都到达C1点，所 以这两蚂蚁之间的距离为0，选D. 64、三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清楚. 外心：三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等（充要条件）； 内心：三侧面与底面所成的二面角相等（充要条件）； 垂心：相对的棱垂直（充要条件）或三侧棱两两垂直（充分条件）. ［举例］三棱锥的“三侧棱与底面所成的角相等且底面是正三角形”是“三棱锥为正三棱锥”的――――――――――――――――――