三次函数的图像与性质
-----由2007年高考数学全国卷Ⅱ(理科)22
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
引发的研究与思考
甘肃省合水县第一中学 薛树英
形如
的函数,叫做三次函数.由于三次函数的导函数是二次函数,而二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题,已经成为高考命题的一个新的热点和亮点,尤其是文科数学更是如此.我们可以采用类比的方法,结合几何画板软件,较为深入地研究三次函数的图像与性质,以及三次方程的解的个数的问题.
1. 三次函数的图像与性质
1.1当a>0时,
，
.
若
，方程
有两个不相等的实数根,记作
, 则函数
在
上单调递增,在
单调递减,在
上单调递增. 函数
的极大值为
,极小值为
,且
.
结论1:
时,函数
的图像与x轴有且仅有一个公共点;
时,函数
的图像与x轴有且仅有两个公共点;
,即
,
时,函数
的图像与x轴有三个公共点.
若
，则
在R上恒成立, 函数
在R上单调递增,无极值, 图像与x轴有且仅有一个公共点.
1.2当a<0时,
，
.
若
，方程
有两个不相等的实数根,记作
, 则函数
在
上单调递减,在
单调递增,在
上单调递减. 函数
的极大值为
,极小值为
,且
.
结论2:
时,函数
的图像与x轴有且仅有一个公共点;
时,函数
的图像与x轴有且仅有两个公共点;
,即
,
时,函数
的图像与x轴有三个公共点.
若
，则
在R上恒成立, 函数
在R上单调递减,无极值, 图像与x轴有且仅有一个公共点.
2. 2007年高考数学全国卷Ⅱ(理科)22题的解答
根据上述有关结论, 解答2007年高考数学全国卷Ⅱ(理科)22题是非常的简捷方便.原题如下:
已知函数
.
(Ⅰ) 求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ) 设
,如果过点
可作曲线
的三条切线,
证明:
.
解: (Ⅰ)
∴ 过点
处的切线方程 为:
即
(Ⅱ)若切线
过点
,则
.
令
, 则
.
由
得,
,或
;由
得
.
∴ 函数
在
上单调递增,在
单调递减,在
上单调递增.极大值为
,极小值为
.
过点
切线有三条,则三次方程
有三个不同的实数根,即函数
与横轴有三个公共点.
∴
∴
3.由此引发的思考
尽管研究三次方程的解是很困难的,但我们利用几何画板软件可以深入地研究三次函数的单调性、极值以及图像与x轴交点的个数.由于三次函数的导函数是二次函数,因此,考查三次函数能把导数的有关知识和二次函数的问题巧妙地结合起来,具有一定的综合性和很好的区分度,所以三次函数的问题已经成为高考命题的重点、热点和难点,全面认识三次函数的图像与性质,对于备战高考意义重大.
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