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高等电磁场讲义.pdf

高等电磁场讲义

晓一
2010-04-24 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高等电磁场讲义pdf》,可适用于IT/计算机领域

=====高等电磁场讲义·第讲==============================华南理工大学电信学院褚庆昕=====第讲场论基础场论是电磁场分析的基础。在本讲中简要地介绍了Ñ算子、并矢的定义、性质和运算规则概括性地给出了积分变换的统一形式最后讨论了电磁场理论中常用的矢径的性质为今后的理论分析奠定基础。一、Ñ算子Ñ算子与微分形式的Maxwell方程密切相关。在曲线坐标中Ñ算子定义为Ñ=$$$vhvvhvvhv¶¶¶¶¶¶()其中$v$v$v分别是坐标轴vvv的单位矢。hhh为坐标系的拉梅系数在几种常用坐标系中hhh的值如表所示。表hhh直角坐标系圆柱坐标系r球坐标系rrsinq函数f的梯度、矢量函数rffvfvfv=$$$的散度和旋度定义如下:Ñ=fvhfvvhfvvhfv$$$¶¶¶¶¶¶()Ñ×=rfhhhvhhfvhhfvhhf()()()¶¶¶¶¶¶()Ñ´=rfhhhhvhvhvvvvhfhfhf$$$¶¶¶¶¶¶()讨论可以看出Ñ算子具有算子和矢量双重性。梯度Ñf可以看成是矢量算子Ñ与函数f的乘积。在直角坐标系散度Ñ×rf和旋度Ñ´rf可看成矢量算子Ñ与矢量函数rf的点乘和叉乘。但在其他坐标系则不然。下面给出一些Ñ算子常用运算公式及其推导过程。lÑ=ÑÑ=ÑÑ()()()()()jfjfjfjfjfcc()lÑ×=Ñ×Ñ×=Ñ×Ñ×()()()()()jjjjjrrrrrfffffcc()lÑ´=Ñ´Ñ´=Ñ´Ñ´()()()()()jjjjjrrrrrfffffcc()lÑ×´=Ñ×´Ñ×´()()()rrrrrrfgfgfgcc利用rrrrrrrrrabcbcacab×´=×´=×´()()()得)()()(gfgfgfrrrrrr´Ñ××´Ñ=´×Ñ()l)()()(gfgfgfccrvvvrr´´Ñ´´Ñ=´´Ñ利用)()()()()(bacbaccabcabcbavvrvvvvvrvvrrrr××=××=´´得Ñ´´=×ÑÑ×()()()rrrvvvfggfgfcPDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建wwwfineprintcn=====高等电磁场讲义·第讲==============================华南理工大学电信学院褚庆昕=====Ñ´´=Ñ××Ñ()()()rrvvvrfgfgfgc所以Ñ´´=Ñ××Ñ×ÑÑ×()()()()()rrvvvrvvvvfgfgfggfgf()lÑ×=Ñ×Ñ×()()()rrvvvvfgfgfgcc利用abcbaccab´´=××()()()vvvvvvvv得Ñ×=´Ñ´×Ñ()()()vvrrrrfggfgfcÑ×=´Ñ´×Ñ()()()vvrrrrfgfgfgc所以Ñ×=´Ñ´´Ñ´×Ñ×Ñ()()()()()vvvvvvvvvvfgfggffggf()在上述推导中下标c表示进行Ñ算子运算时保持常量。总结出Ñ算子的运算原则:()利用矢量公式()Ñ算子始终在作用函数的左边非作用函数的右边。二、并矢(二阶张量)l定义gfAvv=称为并矢也称为二阶张量。设vffxfyfzfffxyzxyzxyz==éëêêêùûúúú$$$$$$vggxgygzgggxyzxyzxyz==éëêêêùûúúú$$$$$$则úúûùêêëéúúúûùêêêëéúúûùêêëéúúúûùêêêëé==¢¢¢==zyxgfgfgfgfgfgfgfgfgfzyxzyxgggfffzyxAzAyAxzAyAxAzzgfyzgfxzgfzygfyygfxygfzxgfyxgfxxgfgfAzzyzxzzyyyxyzxyxxxzyxzyxzyxzyxzzyzxzzyyyxyzxyxxxˆˆˆˆˆˆ=ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ=ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆrrrrrrvv式中xxgfArt=¢yygfArt=¢zzgfArt=¢gfAxxrt=gfAyyrt=gfAzzrt=。所以并矢既可以用矢量表示也可用三阶矩阵表示但并不是任意三阶矩阵都表示并矢。因为并矢只有个独立量而三阶矩阵有个独立量。zzyyxxIˆˆˆˆˆˆ=称为单位张量对应于单位矩阵。aaIrr=×()l并矢运算规则点乘()()()rrrrrrrrabcdabcd×=×()叉乘()()()rrrrrrrrabcdabcd´=´()双重点乘():()()()rrrrrrrrabcdacbd=××()双重叉乘))(()()(dbcadcbarrrrrrrr´´=´´()注意一般情况下AaaA×¹×rr。如果AaaA×=×rr则称A对称。PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建wwwfineprintcn=====高等电磁场讲义·第讲==============================华南理工大学电信学院褚庆昕=====l微分运算规则梯度Ñ=ÑÑÑrffxfyfzxyz()$()$()$散度zAyAxAzAyAxAAzyxzyx¶¶¶¶¶¶=¢×Ñ¢×Ñ¢×Ñ=×Ñrrrrrrˆ)(ˆ)(ˆ)(旋度)(ˆ)(ˆ)(ˆˆ)(ˆ)(ˆ)(yAxAzxAzAyzAyAxzAyAxAAxyzxyzzyx¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶=¢´Ñ¢´Ñ¢´Ñ=´ÑrrrrrrrrrÑ=Ñ×jj()tI()fggfgfrrrrrr×Ñ×Ñ=×Ñ)(()gfgfgfrrrrrr)()()(Ñ××Ñ=×Ñ()可见在张量空间梯度和散度可以互相转换引入二阶张量可以简化一些矢量公式。三、积分变换、三维变换dvdssvÑÛòòr其中s表示包围体积v的闭合曲面dsdsnr=$$n为曲面s的单位外法向矢。例如,dvfdsfsvÑ×=×òòrrr()AsdAdvvs×=×Ñòòr()dvfdsfsvÑ´=´òòrrr()AsdAdvvs´=´Ñòòr()dvdssvÑ=òòjjr()dvfdsfsvÑ=òòrrr()、二维变换lfldfsdslrrrr×=´Ñ×òò()ljjòò=Ñ´slldsdrr()lfndlfsdslrrr×=×Ñòòˆ()其中l表示包围面积s的闭合曲线ldlldˆ=rlˆ为曲线l的单位切向矢$n为曲线l的单位法向矢。$l方向与面积s构成右手螺旋关系。可见二维变换并不象三维变换具有统一的形式。四、矢径rR在电磁场理论中许多问题都涉及矢径rR及其函数。因此研究矢径rR及其函数的梯度、散度和旋度非常有用。如图矢径rR定义为()()()zzzyyyxxxRRrrRˆˆˆˆ¢¢¢==¢=rrr()PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建wwwfineprintcn=====高等电磁场讲义·第讲==============================华南理工大学电信学院褚庆昕=====其中$R表示rR方向的单位矢。$,$,$xyz分别表示直角坐标的x,y,z轴的单位矢。()()()RRxxyyzz==¢¢¢r()表示矢径rR的模。l梯度()()RfRdRdfRfÑ¢==ш()其中¢Ñ表示对源点求梯度。特别有RRˆ=Ñ()RRRˆ=Ñ()()aRavvv=×Ñ其中va为常矢。()()证明设raaxayazxyz=$$$(直角坐标)则()()()vvaRaxxayyazzxyz×=¢¢¢故()Ñ×==vrvaRaxayazaxyz$$$值得注意的是如果设raaRaaR=$$$qjqj(球坐标)则有vaRaRR×=于是()Ñ×=¹vrraRaRaR$问题出在哪里?究其原因:aR不是常数!l散度Ñ×==¢Ñ×()$()()$fRRRfRdfdRfRR()特别有Ñ×=vR()Ñ×=$RR()Ñ×=×()$RaRarrra为常矢()l旋度()()Ñ´=fRR$r()特别有Ñ´=rrR()Ñ´=´()$RaRarrra为常矢()lÑ算子源点场点rrR¢=rrrr¢rrrO图矢径的定义PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建wwwfineprintcn=====高等电磁场讲义·第讲==============================华南理工大学电信学院褚庆昕=====()Ñ=RRpdv()其中Ñ=Ñ×Ñ()()()()ddddvRxxyyzz=¢¢¢以及()dvR定义为()dvrrrrRRR=¥=¹ìíïîï()和d()rrrrrRdvRRvò==¹ìíïîï归一性()容易证明()()òîíìÏ=Î==vvRvRfdvRRf)(rrrrrvvd选择性()()证明如果R=则R®¥。如果R¹则在球坐标)(sinsin)ˆ(=×=×Ñ=Ñ×Ñ=ÑRRRRRRRRq¶¶q再验证归一性Ñ=Ñ×=×òòòRdvRRdvRnRdsvsv($)$$因为dRnRW=×$$为立体角微分并且dRvRvsWò==Î=Ïìíïîïprrrr于是Ñ==Î=ÏìíïîïòRdvRvRvvprrrr故Ñ=òRdvRvpd()r讨论根据()有Ñæèçöø÷=pedeRR()r而静电场电位满足Ñ=jre。可知peR就是单位点电荷产生的位既静电场的Green函数。例在稳态场条件Ñ×=rJ下利用毕奥沙伐定理rrrrBJrRRdvv=¢´¢òmp()证明均匀空间中Ñ´=rrBJm。证:根据()有rrrBJrRdvv=´Ñ¢òmp(')而))(()()()()()()(rrrrrrrrrrr=¢´Ñ¢´Ñ=¢´Ñ¢´Ñ=¢´ÑrJrJRrJRrJRrJR故ABrr´Ñ=PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建wwwfineprintcn=====高等电磁场讲义·第讲==============================华南理工大学电信学院褚庆昕=====其中ò¢=vvdRrJA)(rrrpm于是AAABrrrr)(Ñ×ÑÑ=´Ñ´Ñ=´Ñòòòòò×¢=¢¢×Ñ¢¢×Ñ¢=¢¢×Ñ¢=¢¢×Ñ=¢¢×Ñ=×ÑsvvvvsdrJvdrJRRrJvdrJRvdrJRvdRrJArrrrrrrrrrrrrr)()()()()()()()(pmpmpmpmpm上面的推导中已用到)(,=¢×ѢѢ=ÑrJRRrr。由于电流Jr被限定在v内所以在s面上不存在法向电流即)(=×¢sdrJrrv。于是=×ÑAr。òò¢¢Ñ=¢¢Ñ=ÑvvvdrJRvdRrJA)()()(rrrrrpmpm)()()(rJvdrJRvrrrrrmdm=¢¢=ò故JABrrrm=Ñ=´Ñ习题证明修正矢量Green定理()()()()rrrrrrrrvBAABdvABBAdsvs×Ñ´Ñ´×Ñ´Ñ´=´Ñ´´Ñ´×òòjjj证明fggfgfrrrrrr×Ñ×Ñ=×Ñ)(PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建wwwfineprintcn=====高等电磁场讲义·第讲==============================华南理工大学电信学院褚庆昕=====第讲Maxwell方程在经典、宏观的范围内Maxwell方程是反映电磁场运动规律的基本定理也是研究一切电磁问题的出发点和基础。Maxwell方程的积分和微分形式Maxwell方程的积分形式ïïïïîïïïïíì=×=×׶¶=×׶¶×=×òòòòòòòò高斯定理磁通连续性原理法拉第定律安培环路定理vsslslssdvsdDsdBsdBtldEsdDtsdJldHrvvvvvvvvvvvvvv()以及电流连续性方程ò¶¶=×stQsdJvv()对于连续媒质空间利用积分变换从Maxwell方程的积分形式可以得到其微分形式:ïïïîïïïíì=×Ñ=×Ѷ¶=´Ñ¶¶=´ÑrDBtBEtDJHvvvvvvv()以及tJ¶¶=×Ñrv()从微分形式通过积分变换还可以得到Maxwell方程积分形式的另一种表示形式:ïïîïïí춶=´¶¶=´òòòòòsvsvvdvBtEsddvDtdvJHsdvvrvvvr()lMaxwell方程的实践性Maxwell方程来源于实践主要是几个实验定律:库仑定律、安培定律、毕奥一沙伐定律、法拉第定律。但Maxwell方程又高于实践它是在实验的基础上溶入科学家智慧的结晶。比如库仑定律RRqqFˆpe=v在实验中得到R的指数幂其实并不是而是但库仑分析了实践中可能的误差并与万有引力定律比较大胆地猜测为后来发现这与球面能量守恒有关。lldvSVsdvS图体积分、面积分和线积分示意图PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建wwwfineprintcn=====高等电磁场讲义·第讲==============================华南理工大学电信学院褚庆昕=====由库仑定律可以导出Maxwell方程中的高斯定理由毕奥一沙伐定律可以导出磁通连续性原理但是由实验定律并不能直接导出Maxwell方程中安培环路定律而是JHvv=´D。但是由上式可得=×ÑJv不满足电流连续性方程为此Maxwell大但引入了位移电流tDJd¶¶=v从而构成了完整自洽的Maxwell方程。lMaxwell方程的对称性杨振宁说:对称性决定支配方程。居里(PierreCurie)说:不对称性创造世界。Maxwell方程充分显示了电与磁的对称性但发现这一对称性却是从不对称性开始的。历史上磁学发展最早早在世纪吉尔伯特就著有<<论磁学>>年丹麦学者奥斯特(Oersted)首先发现电流可以产生磁并创造了Electromagnetics一词。法拉弟(Faraday)在十年间根据对称性原理猜测磁铁可以产生电流但多次失败。年月日他发现磁铁在线圈内移动时产生了电流于是领悟到变化的磁场产生电场。Maxwell根据对称性从法拉弟定律猜测到电场变化也可以产生磁场。lMaxwell方程的哲学性深刻揭示了电与磁的相互转化相互依赖相互对立共存在电磁波中正是由于电不断转化成磁而磁又断转化为电才会发生能量交换和储存因此电磁波是一对立统一的整体。电流I磁场H奥斯特发现磁铁电流I法拉弟猜想磁场变化tB¶¶电场E法拉弟发现电场变化tD¶¶磁场HMaxwell发现图对称性发现过程EHEEH图电磁场相互绞链相互转换PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建wwwfineprintcn=====高等电磁场讲义·第讲==============================华南理工大学电信学院褚庆昕=====深刻揭示了电磁场的任意一个地点变化会转化成时间变化反过来时间变化也会转化成地点变化。正是这种地点和时间的相互转化构成了波动的外在形式通俗地说也即一个地点出现的事物经过一段时间后又在另一地点出现。lMaxwell方程的独立性Maxwell方程中四个方程并不是完全独立的。独立的方程有ïïïîïïïí춶=×Ѷ¶=´Ñ¶¶=´ÑtJtBEtDJHrvvvvvv()由上式中第一式可得=×Ѷ¶×ÑDtJvv。代入第三式得Dttv×Ѷ¶=¶¶r即()=×Ѷ¶rDtv即constD=×Ñrv。由于在静态场时(如=t时为静态场)r=×ÑDv故对时变场也有r=×ÑDv。同理由第二式可得=×Ѷ¶Btv由于静态场时=×ÑBv故对时变场也有=×ÑBv。独立方程还可以有其他形式如ïïïîïïïíì=×Ѷ¶=´Ñ¶¶=´ÑrDtBEtDJHvvvvvv()也构成独立方程它可以导出=×ÑBv和tJ¶¶=×Ñrvv。应当注意上述独立性是利用了静态方程。媒质界面上的场方程边界条件在媒质界面上由于媒质的性质有突变(me,有奇异性)Maxwell方程的微分形式不再成立。但积分形式仍然成立。从积分形式可以导出媒质界面上的场方程即边界条件。()sJHHnrvv=´ˆ(a)()ˆ=´EEnv(b)()ˆ=×BBnvv(c)()sDDnr=׈vv(d)证明如图所示跨媒质界面两侧作一小扁盒状的体积®h。应用积分形式的Maxwell方程(a)有ShtDShJhKSHnHn¶¶=´´rrrrr)ˆˆ(ZZT时刻T时刻图电磁波nˆsJr,HErr,HErr媒质媒质图两种媒质的交界面PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建wwwfineprintcn=====高等电磁场讲义·第讲==============================华南理工大学电信学院褚庆昕=====式中Kr表示Hnr´ˆ关于小盒侧面的线积分。当®h时®¶¶®ShtDhKrr则有sJHHnrrr=´)(ˆ其中JhJhslim®=为面电流密度。同理应用电流连续性方程有tQdlnJhSJJnl¶¶=¢××òrrrr)(ˆ式中n¢ˆ为S的周界l的外法向单位矢。当®h时有tJJJnsss¶¶×Ñ=×rrrrr)(式中SdlnJSdlnJhJlsSlShssòò¢×=¢×=×Ñ®®®rrrrrlimlim为面散度sr为面电荷密度。频域电磁场对于时谐场(场量随时间作简谐变化)可采用复函数取时谐因子tjew则上述时域中只须将t¶¶变为wj即可。注意如果时谐因子取为tjew则t¶¶变为wj。因此在研究频域电磁场时一定要事先规定好时谐因子。由于任何时变场都可以应用Fourier变换展开为时谐场分量的叠加所以研究时谐场具有普遍意义。习题.讨论Maxwell方程中四个边界条件的独立性。.验证}exp{ˆjkzEzE=r是否为可能存在的电磁场。.证明边界条件:()ˆ=´EEnv和()sDDnr=׈vv。¨¨¨hSn媒质媒质媒质界面图边界条件的推导PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建wwwfineprintcn=====高等电磁场讲义·第讲==============================华南理工大学电信学院褚庆昕=====第讲媒质本构关系一、真空中的Maxwell方程直接由实验定律获得的Maxwell方程实际为ïïïïîïïïïíì=×Ñ=×Ѷ¶=´Ñ¶¶=´ÑeremmEBtBEtEJBrrrrrrr()式中Fm´=´=peHm´=´=pm分别称为真空中的介电常数和磁导率。如果令îíì==HBEDrrrrme()则()变为ïïïîïïïíì=×Ñ=×Ѷ¶=´Ñ¶¶=´ÑrDBtBEtDJHrrrrrrr()二、媒质中的Maxwell方程媒质中电磁场依然满足Maxwell方程()只是当媒质放在电磁场中后会发生导电、极化和磁化现象。导电产生传导电流。极化产生束缚电荷。交变极化产生极化电流。磁化产生磁化分子电流。这些电荷和电流又反作用于电磁场所以媒质中如果没有其他的源()中的电流Jr和电荷r应为mpfJJJJrrrr=()pfrrr=()式中fJr、pJr和mJr分别表示自由电流密度、极化电流密度和磁化电流密度fr和pr分别表示自由电荷和束缚电荷。自由电流为自由电荷运动所造成的电流包括空间电荷流和传导电流cJr。pr、cJr、pJr和mJr满足Ppr×Ñ=r()tPJp¶¶=rr()MJmrr´Ñ=()PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建wwwfineprintcn=====高等电磁场讲义·第讲==============================华南理工大学电信学院褚庆昕=====EJcrrs=()式中s、Pr和Mr分别为媒质的导电率、极化强度和磁化强度。在实际中自由电荷和自由电流可以直接受实验条件的控制和测定而束缚电荷、极化电流和磁化电流则不然。因此从Maxwell基本方程中消去pr、pJr和mJr比较方便。利用()、()和()有PEfpfrr×Ñ==×Ñrrre即fPEre=×Ñ)(rr定义电感应强度(电位移矢量):PEDrrr=e()则有fDr=×Ñr()利用()、()、()和()可得tEMtPJtEJJJBfmpf¶¶´Ñ¶¶=¶¶=´Ñrrrrrrrrreem于是tDJMBf¶¶=´Ñrrr)(m()定义磁场强度:MBHrrr=m()于是方程变为tDJHf¶¶=´Ñrrr()这样如果略去fr和fJr的下标f媒质中的Maxwell方程与()有相同的形式。()和()都是使用于任何媒质的电磁场方程但是要注意()中的电流和电荷不包含媒质中的束缚电荷、极化电流和磁化电流它们的作用已包含在电感应强度和磁场强度中了。而()中电流和电荷包含了空间和媒质中的所有电流和电荷。三、本构关系Maxwell方程()中独立的方程为两个旋度方程和一个电流连续性方程即个标量方程。但是电磁场量却有Er、Hr、Br、Dr、Jr和r共个标量。因此尚需个标量方程才能完全确定电磁场量。通常引入反映媒质电磁特性的个矢量方程:)(HEfDrrr=())(HEfHrrr=())(HEfJrrr=()()和()称为广义本构方程()称为广义欧姆定律。这些关系的可以通过实验或微观结构分析得到。对于不同媒质()()有着不同的具体形式。PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建wwwfineprintcn=====高等电磁场讲义·第讲==============================华南理工大学电信学院褚庆昕=====l各向同性媒质()()ïîïíì=====EJHBEDmevvrrrrscmmmceee()即极化强度EPevvce=磁化强度HMmvvc=。mecc分别称为极化率和磁化率。对于频域(时谐)情况()变为EjEjjHrvvewweswe~=÷øöçèæ=´ÑHjEvvwm=´Ñ=×ÑHver=×ÑEv式中÷øöçèæ=weseej~。上式中假设了自由电流只有传导电流。复媒质的物理实质表示媒质内位移电流与传导电流的矛盾。当<wes时媒质为绝缘体位移电流占优当<<wes时媒质为半导体当wes<时媒质为导体传导电流占优。l各向异性媒质各向异性媒质的物理实质是Pv和EvHMvv和方向不一致。EDvv×=e()HBvv×=m()下面列出几种常用的各向异性媒质。()晶体旋转坐标使e对角化有úúúûùêêêëé=zyeeeex如果=Izyxeeeeee===则为各向同性。如果eee==yx则为单轴各向异性ee>z称为正单轴ee<z称为负单轴。如果zyxeee,,都不相等则为双轴各向异性。()等离子体úúûùêêëé=zjeeddeej在无外场时等离子体为各向同性。外加电场后成为各向异性电场方向不同各向异性不同。()铁氧体úúûùêêëé=zjmmmmjkk外加磁场是构成各向异性的根源。l双各向异性媒质HEDvvv××=xePDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建wwwfineprintcn=====高等电磁场讲义·第讲==============================华南理工大学电信学院褚庆昕=====HEBvvv××=mxl线性媒质如果算子L满足()mmmmLkLkkkL=则称L为线性算子。如果下式满足则称媒质为线性媒质ELtEtEEDDvLvvvv=¶¶¶¶=eee()HLtHtHHBBvLvvvv=¶¶¶¶=mmm()ELtEtEEJJvLvvvv=¶¶¶¶=sss

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