2010广州二模理科数学答案

广 州 教 研 网 ww w. gu an gz tr .e du .c n 2010 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 参考答案及评分标准 说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法 供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 主要考查的知识点和能力比照评 分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变 该题的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分 正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C C B B D D 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．其中 14～15 题是选做题，考生只能选做一题． 9．1 10. 2 2 1 8 2 x y+ = 11. 乙 12. 23 3n n 1− + 13. 180 14． 8 5 5 15. 2 5 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分 12 分） (本小题主要考查两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求 解能力) （1）解法 1：∵ tan 2 4 π α⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ， ∴ tan tan 4 2 1 tan tan 4 + = − π α π α . …2 分 ∴ 1 tan 2 1 tan α α + =− . 解得 1tan 3 α = . …4 分 1 广 州 教 研 网 ww w. gu an gz tr .e du .c n 解法 2：∵ tan 2 4 π α⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ， ∴ tan tan 4 4 π πα α⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ tan tan 4 4 1 tan tan 4 4 π πα π πα ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠= ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠ …2 分 2 1 1 2 1 −= + × 1 3 = . …4 分 （2）解: ( ) ( ) sin 2sin cos 2sin sin cos α β α β α β α + − + + β sin cos cos sin 2sin cos 2sin sin cos cos sin sin α β α β α β α β α β α β + −= + − …6 分 cos sin sin cos cos cos sin sin α β α β α β α β −= + ( ) ( ) sin cos β α β α −= − …8分 ( )tan β α= − tan tan 1 tan tan −= + β α β α …10 分 1 1 2 3 1 11 2 3 − = + × 1 7 = . …12 分 17. （本小题满分 12 分） (本小题主要考查空间线面关系、空间角等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法， 以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 方法一: (1) 解:在图 4 中, ∵ 90 , 30 , 1,ABC DAB CAB BC° °∠ = ∠ = ∠ = = 2 广 州 教 研 网 ww w. gu an gz tr .e du .c n ∴ 1 3 tan 30 3 3 BCAB °= = = , 1 21sin 30 2 BCAC °= = = , . 60DAC °∠ = ∵ , AD CD= ∴△DAC为等边三角形. ∴ . …2 分 2AD CD AC= = = D B C A 在图 5 中, ∵点E为点 在平面 上的正投影, P ABC ∴ 平面 . PE ⊥ ABC ∵ 平面 , BC ⊂ ABC ∴ . PE ⊥ BC ∵ , 图 4 90CBA °∠ = ∴ . BC AB⊥ ∵ 平面 , ,PE AB E PE= ⊂∩ PAB AB ⊂平面 , PAB ∴ 平面 . BC ⊥ PAB 图 5 F E P B CA ∴ 为直线 与平面 所成的角. …4分 CPB∠ PC PAB 在 Rt△CB 中, , P 1, 2BC PC DC= = = ∴ 1sin 2 BCCPB PC ∠ = = . ∵0 9 , 0CPB° °< ∠ < ∴ . 30CPB °∠ = ∴直线 与平面 所成的角为 . …6 分 PC PAB 30° (2) 解:取 的中点 , 连接 ,AC F PF EF . ∵ , =PA PC ∴ . ⊥PF AC ∵ 平面 , 平面 , PE ⊥ ABC AC ⊂ ABC ∴ . PE AC⊥ ∵ 平面 , 平面 , ,= ⊂∩PF PE P PF PEF PE ⊂ PEF 3 广 州 教 研 网 ww w. gu an gz tr .e du .c n ∴ 平面 . AC ⊥ PEF ∵ ⊂EF 平面 , PEF ∴ . ⊥EF AC ∴ 为二面角 的平面角. …8分 PFE∠ P AC B− − 在 Rt△EFA中, 1 1 3 2 °= = ∠ =AF AC , FAE 0 , ∴ =EF AF tan 30°⋅ 3 3 = , 2 2 2 3 3 = + =AE EF AF . 在 Rt△ 中,PFA 2 2 2 22 1 3= − = − =PF PA AF . 在 Rt△ 中，PEF 3 13cos 33 ∠ = = =EFPFE PF . ∴二面角 的大小的余弦值为P AC B− − 1 3 . …12 分 方法二: 解:在图 4 中, ∵∠ = 90 , 30 , 1,ABC DAB CAB BC° °∠ = ∠ = = ∴ 1 3 tan 30 3 3 BCAB °= = = , 1 21sin 30 2 BCAC °= = = , ∠ . 60DAC °= ∵ , AD CD= ∴△DAC为等边三角形. ∴ . …2 分 2AD CD AC= = = D B C A 在图 5 中, ∵点E为点 在平面 上的射影, P ABC ∴ 平面 . PE ⊥ ABC ∵ 平面 , BC ⊂ ABC ∴ . PE ⊥ BC ∵∠ , 图 4 90CBA °= ∴ . BC AB⊥ 4 广 州 教 研 网 ww w. gu an gz tr .e du .c n ∵ 平面 , ,PE AB E PE= ⊂∩ PAB AB ⊂平面 , PAB 图5 z y x E C B A P ∴ 平面 . …4 分 BC ⊥ PAB 连接 , EC 在 Rt△ 和 Rt△ 中,PEA PEC 2,PA PC PE PE= = = , ∴Rt△ Rt△ . PEA ≅ PEC ∴ . EA EC= ∴∠ = . 30ECA EAC °∠ = =∴∠ . 60CEB ° 在 Rt△ 中，CBE 1 3 tan 60 33 BCEB °= = = . ∴ 2 3 3 AE AB EB= − = . 在 Rt△ 中，PEA 2 2PE PA AE= − = 2 6 3 . …6分 以点E为原点,EB所在直线为 x轴,与 平行的直线为 轴,BC y EP所在直线为 轴,建立空 z 间直角坐标系E xyz− ,则 ( )0,0,0E , 2 3 ,0,0 3 A ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ , 3 ,0,0 3 B ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ , 3 ,1,0 3 C ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ , 2 60,0, 3 P ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ . ∴ ,( )0,1,0BC =JJJG 2 60,0, 3 EP ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ JJJG , ( )3,1,0AC =JJJG , 3 2 6,1,3 3PC ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ JJJG . (1)∵cos , BC PCBC PC BC PC = = JJJG JJJGJJJG JJJG iJJJG JJJG 1 2 , ∴ , 3BC PC °=JJJG JJJG 0 . ∴ 直线 与平面 所成的角为30 . …9 分 PC PAB ° (2) 设平面 的法向量为 nPAC ( ), ,x y z= , 5 广 州 教 研 网 ww w. gu an gz tr .e du .c n 由 得 0, 0. ⎧ =⎪⎨ =⎪⎩ JJJGiJJJGi n AC n PC 3 0, 3 2 6 0 3 3 x y x y z ⎧ + =⎪⎨ + − =⎪⎩ . 令 1x = , 得 3y = − , 2 2 = −z . ∴n 21, 3, 2 ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 为平面 的一个法向量. PAC ∵ 2 60,0, 3 EP ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ JJJG 为平面 的一个法向量, ABC ∴cos , =JJJGn EP JJJGiJJJGn EP n EP 1 3 = − . ∵二面角 的平面角为锐角, P AC B− − ∴二面角 的平面角的余弦值为P AC B− − 1 3 . …12 分 18. （本小题满分 14 分） (本小题主要考查古典概型、二项分布等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理 能力、运算求解能力和应用意识) (1)解:依题意设 (kp s = k 为常数 ,由于) ( )( )15 1 0 4s t t= + ≤ ≤ , ∴ ( ) (015 1 kp t = ≤+ )4t ≤ . …2 分 当 时, 0.5t = 1 45p = , 则 ( ) 4 5 15 0.5 1 k= × + ,解得 18k = . ∴ ( ) ( ) ( 18 6 0 15 1 5 1 p t t = = ≤+ + )4t ≤ . …4 分 当 时, 1t = 2 6 35 2 5p = =× . ∴该运动员第二次射击命中飞碟的概率为 3 5 . …6 分 (2) 解:设“该运动员第一次射击命中飞碟”为事件 A，“该运动员第二次射击命中飞碟”为事 件B，则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件： A AB+ . …7 分 ∵ ( ) ( )4 3, 5 5 P A P B= = ， 6 广 州 教 研 网 ww w. gu an gz tr .e du .c n ∴ ( ) ( ) ( ) ( )P A AB P A P A P B+ = + 4 4 31 5 5 5 ⎛ ⎞= + − × =⎜ ⎟⎝ ⎠ 23 25 . ∴第一个飞碟被该运动员命中的概率为 23 25 . …10 分 (3) 解:设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为ξ , 则 233 25 B ,ξ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∼ . ∴至少命中两个飞碟的概率为 ( ) ( )2P P Pξ ξ= = + = 3 …12 分 C= ( )2 23 1p p− + C 3 33 p 2 323 2 233 25 25 25 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × × +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 15341 15625 . …14 分 19. （本小题满分 14 分） (本小题主要考查直线、圆、抛物线、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与 方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:设点 A、B的坐标分别为 ( )1 1,x y 、 ( )2 2,x y ， ∵ 、 分别是抛物线C在点1l 2l A、B处的切线， ∴直线 的斜率1l 1 ' 1 1 x x xk y p= = = ，直线 的斜率2l 2' 22 x x x k y p= = = . ∵ , 1 2l l⊥ ∴ , 得1 2 1k k = − 21 2x x = − p . ① …2 分 ∵ A、 B是抛物线C上的点, ∴ 2 2 1 2 1 2, .2 2 x xy y p p = = ∴ 直线 的方程为1l ( 2 1 1 12 x xy x p p − = − )x ,直线 的方程为2l ( ) 2 2 2 22 x xy x p p − = − x . 7 广 州 教 研 网 ww w. gu an gz tr .e du .c n 由 ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 2 , 2 , 2 x xy x p p x xy x p p ⎧ − = −⎪⎪⎨⎪ − = −⎪⎩ x x 解得 1 2 , 2 . 2 x xx py +⎧ =⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩ ∴点 的纵坐标为D 2 p− . …4 分 (2) 证法 1：∵ 为抛物线 的焦点， ∴ F C 0, 2 pF ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . ∴ 直线 AF 的斜率为 2 1 2 21 1 1 1 2 22 0 2AF x ppy 1 x ppk x x p −− −= = =− x ， 直线BF 的斜率为 2 2 2 22 2 2 2 2 22 0 2BF x ppy 2 x ppk x x p −− −= = =− x . ∵ 2 2 2 2 1 2 1 22 2 AF BF x p x pk k px px − −− = − …6 分 ( ) ( )2 2 2 22 1 1 2 1 22 x x p x x p px x − − −= ( ) ( )21 2 1 2 1 2 1 22 x x x x p x x px x − + −= ( ) ( )2 21 2 1 2 1 22 p x x p x x px x − − + −= . 0= ∴ . AF BFk k= ∴ A、 B、 三点共线. …8 分 F 证法 2：∵ 为抛物线C的焦点， ∴ F 0, 2 pF ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . ∴ 2 2 1 1 1 1, ,2 2 2 2x p xpAF x x p p ⎛ ⎞ ⎛ −= − − = −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ JJJG ⎞⎟⎠ ， 2 2 2 2 2 2, ,2 2 2 2x p xpBF x x p p ⎛ ⎞ ⎛ −= − − = −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ JJJG ⎞⎟⎠ . 8 广 州 教 研 网 ww w. gu an gz tr .e du .c n l F O y x E D B1A1 B A ∵ 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 p x 1 2 p x x x xp p x x p x x x x p − − − −= = =− − − − x , …6 分 ∴ //AF BF JJJG JJJG . ∴ A、 B、 三点共线. …8 分 F 证法 3：设线段 AB 的中点为 E , 则 E的坐标为 1 2 1 2, 2 2 x x y y+ +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . 抛物线C的准线为 : 2 pl y . = − ⊥作 , 垂足分别为 . 1 1,AA l BB l⊥ 1 1,A B ∵ 由(1)知点 的坐标为D 1 2 , 2 2 x x p+⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ , ∴DE l⊥ . ∴ 是直角梯形 的中位线. DE 1 1AAB B ∴ ( 112DE AA BB= + )1 . …6 分 根据抛物线的定义得: 1 1,AA AF BB BF= = , ∴ ( ) ( )1 11 12 2DE AA BB AF BF= + = + . ∵ AD DB⊥ ,E为线段 AB 的中点, ∴ 1 2 DE AB= . ∴ ( )1 1 2 2 AB AF BF= + ,即 AB AF BF= + . ∴ A、 B、 三点共线. …8 分 F (3)解: 不存在. 证明如下： 假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M ， 依题意得 ,MA AD MB BD⊥ ⊥ ，且 MA MB= ， 由 l ，得1 2l⊥ AD BD⊥ . ∴ 四边形MADB是正方形. 9 广 州 教 研 网 ww w. gu an gz tr .e du .c n ∴ AD BD= . …10 分 ∵点 的坐标为D 3 , 1 2 ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠， ∴ 1 2 − = −p ,得 . 2p = 把点D 3 , 1 2 ⎛ ⎞−⎜⎝ ⎠⎟的坐标代入直线 , 得1l 2 1 1 1 31 4 2 2 x x x⎛ ⎞− − = × −⎜ ⎟⎝ ⎠ 解得 或 , 1 4x = 1 1x = − ∴点 A的坐标为 ( )或4,4 11, 4 ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ . 同理可求得点 B的坐标为 ( )或4,4 11, 4 ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ . 由于 A、 B是抛物线C上的不同两点，不妨令 11, 4 A⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ , ( )4,4B . ∴ 2 23 1 121 1 2 4 1 AD ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 6 , ( )2 23 1254 4 1 2 4 BD ⎛ ⎞= − + + =⎜ ⎟⎝ ⎠ . …13 分 ∴ AD BD≠ , 这与 AD BD= 矛盾. ∴经过 A、B两点且与 、 都相切的圆不存在. …14 分 1l 2l 20. （本小题满分 14 分） (本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识, 考查函数与方程、化归与转化的数学 思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:∵ ( ) 3 2f x x x ax= − + +b , ∴ ( )' 23 2f x x x= − + a . ∵ ( ) 3 2f x x x ax= − + +b的一个极值点为 1x = , ∴ . ( )' 21 3 1 2 1 0f a= × − × + = ∴ . …2 分 1a = − ∴ ( ) ( )( )' 23 2 1 3 1 1f x x x x x= − − = + − , 10 广 州 教 研 网 ww w. gu an gz tr .e du .c n 当 1 3 x < − 时, ( )' 0f x > ;当 1 1 3 x− < < 时, ( )' 0f x < ;当 1x > 时, ( )' 0f x > ; ∴函数 ( )f x 在 1, 3 ⎛ ⎤−∞ −⎜ ⎥⎝ ⎦上单调递增, 在 1 ,1 3 ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦上单调递减,在[ )1,+∞ 上单调递增. ∵方程 的两个实根为2 0ax x b+ + = ,α β , 即 2 0x x b− − = 的两根为 ,α β ( )α β< , ∴ 1 1 4 1 1 4, 2 2 b bα β− + + += = . ∴ 1, bα β αβ+ = = − , 1 4bα β− = − + . …4 分 ∵ 函数 ( )f x 在区间[ ],α β 上是单调的, ∴区间[ ],α β 只能是区间 1, 3 ⎛ ⎤−∞ −⎜ ⎥⎝ ⎦ , 1 ,1 3 ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ ,[ )1,+∞ 之一的子区间. 由于 1,α β+ = α β< ,故[ ] 1, , 3 α β 1⎡ ⎤⊆ −⎢ ⎥⎣ ⎦ . 若 0α < ,则 1α β+ < ,与 1α β+ = 矛盾. ∴[ ] [ ], 0α β ⊆ ,1 . ∴方程 的两根2 0x x b− − = ,α β 都在区间[ ]0,1 上. …6 分 令 , 的对称轴为( ) 2g x x x b= − − ( )g x [ ]1 0,1 2 x = ∈ , 则 解得 ( ) ( ) 0 0 1 0 1 4 0. g b g b b = − ≥⎧⎪ = − ≥⎨⎪Δ = + >⎩ , , 1 0 4 b− < ≤ . ∴实数b的取值范围为 1 ,0 4 ⎛−⎜ ⎥⎝ ⎦ ⎤ . …8 分 说明:6 分至 8 分的得分点也可以用下面的方法. ∵ 1 1 4 1 1 1 4 1, 2 2 2 b bα β− + + += ≤ = 2 ≥ 且函数 ( )f x 在区间[ ],α β 上是单调的, ∴ [ ] 1, , 3 α β ⎡ ⎤⊆ −⎢ ⎥⎣ ⎦1 . 11 广 州 教 研 网 ww w. gu an gz tr .e du .c n 由 1 , 3 1, 1 4 0.b α β ⎧ ≥ −⎪⎪ ≤⎨⎪Δ = + >⎪⎩ 即 1 1 4 1 , 2 3 1 1 4 1, 2 1 4 0. b b b ⎧ − + ≥ −⎪⎪⎪ + +⎪ ≤⎨⎪ + >⎪⎪⎪⎩ …6分 解得 1 0 4 b− < ≤ . ∴实数b的取值范围为 1 ,0 4 ⎛−⎜ ⎥⎝ ⎦ ⎤ . …8 分 (2)证明:由(1)可知函数 ( )f x 在区间[ ],α β 上单调递减, ∴函数 ( )f x 在区间[ ],α β 上的最大值为 ( )f α , 最小值为 ( )f β . ∵ [ ]1 2, ,x x α β∈ , ∴ ( ) ( ) ( ) ( )1 2f x f x f fα β− ≤ − ( ) ( )3 2 3 2b bα α α β β β= − − + − − − + ( ) ( ) ( )3 3 2 2α β α β α β= − − − − − ( ) ( ) ( )2 1α β α β αβ α β⎡ ⎤= − + − − + −⎣ ⎦ ( )1 4 1b b= − + × − (1 4 1b )b= + × − . …10 分 令 1 4t b= + , 则 ( )21 14b t= − , ( )1 4 1b b+ × − ( )31 54 t t= − . 设 ( ) ( )31 54h t t t= − , 则 ( ) ( )' 21 5 34h t t= − . ∵ 1 0 4 b− < ≤ , ∴0 1t< ≤ . ∴ ( ) ( )' 21 5 34h t t= − 0> . ∴函数 ( ) ( )31 54h t t t= − 在 ( ]0,1 上单调递增. …12 分 ∴ . ( ) ( )1 1h t h≤ = 12 广 州 教 研 网 ww w. gu an gz tr .e du .c n ∴ ( ) ( )1 2 1f x f x− ≤ . …14 分 21. （本小题满分 14 分） (本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思 想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:∵对任意 N 都有 ,n∈ * 1n na b+ = 1 21 n n n n a b a a + = − , ∴ 1 2 2 1 1 1 1 1 n n n n n n a b a a a a + −= = =− − + na . ∴ 1 1 1 1 n na a+ = + ,即 1 1 1 1 n na a+ − = . …2 分 ∴数列 1 na ⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭ 是首项为 1 1 a ,公差为 1 的等差数列. ∵ , 且 , 1a b= 1 1 1 1a b+ = ∴ 1 1a b= 12= . ∴ ( )1 2 1 n n n a = + − = +1. …4 分 ∴ 1 1n a n = + , 1 1n n nb a n = − = + . …6分 (2)证明: ∵ 1 1n a n = + , 1n nb n = + , ∴ 1n n a b n = . ∴所证不等式 ( )3 1 32 4 1 2 2 3 4 1 1 2 3 ln 1n n n n a a aa a a an b b b b b b b b + + + + + + < + < + + + +" " a , 即 ( )1 1 1 1 1 1 1ln 1 1 2 3 4 1 2 3 n n n + + + + < + < + + + ++" " . ① 先证右边不等式: ( ) 1 1 1ln 1 1 2 3 n n + < + + + +" . 令 ( ) ( )ln 1f x x= + − x , 则 ( )' 1 1 1 1 xf x x x = − = −+ + . 当 时, 0x > ( )' 0f x < , 所以函数 ( )f x 在[ )0,+∞ 上单调递减. ∴当 时, , 即0x > ( ) ( )0 0f x f< = ( )ln 1 x x+ < . …8分 13 广 州 教 研 网 ww w. gu an gz tr .e du .c n 分别取 1 1 11, , , , 2 3 x n = " . 得 ( ) 1 1 1 1 1ln 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 1 2 3 2 3n n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + + + < + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠" " 1 . 即 ( ) 1 1 1 1 1ln 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3n n ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + < + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦i i i"i " 1 . 也即 3 4 1 1 1 1ln 2 1 2 3 2 3 n n n +⎛ ⎞× × × × < + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠" " . 即 ( ) 1 1 1ln 1 1 2 3 n n + < + + + +" . …10 分 ② 再证左边不等式: ( )1 1 1 1 ln 1 2 3 4 1 n n + + + + < ++" . 令 ( ) ( )ln 1 1 xf x x x = + − + , 则 ( ) ( ) ( ) ' 2 2 1 1 1 1 1 xf x x x x = − =+ + + . 当 时, , 0x > ( )' 0f x > 所以函数 ( )f x 在[ )0,+∞ 上单调递增. ∴当 时, , 即0x > ( ) ( )0f x f> = 0 ( )ln 1 1 xx x + > + . …12 分 分别取 1 1 11, , , , 2 3 x n = " . 得 ( ) 1 1 1 1 1ln 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 2 3 2 3n n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + + + > + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 11+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠" " . 即 ( ) 1 1 1ln 1 1 1 1 1 2 3 n ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎠+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦i i i"i 1 1 1 2 3 1 n > + + + +" . 也即 3 4 1 1 1 1ln 2 2 3 2 3 1 n n n +⎛ ⎞× × × × > + + +⎜ ⎟ +⎝ ⎠" " . 即 ( ) 1 1 1ln 1 2 3 1 n n + > + + + +" . ∴ ( )3 1 32 4 1 2 2 3 4 1 1 2 3 ln 1n n n n a a aa a a an b b b b b b b b + + + + + + < + < + + + +" " a . …14 分 14