网络几何(陈省身)

第 卷第理期 年 。月 数 学 进 展 , 网 络 几 何① 陈 省 身 引言 己曹发表过两篇关于平移曲面的文章〔 , 〕, 属于他的少数著名文章之列。 下面 我想说明 , 他所讨论的这个问题 , 是一个吸引人的值得进一步研究的课题。 。 关于双重平移曲面的定理及其发展 “ 中的平移曲面 由下列参数方程组定义 戈 二 “ 盈 公 《 几 这里 二 为 “ 中的坐标 , 了孟 与 三 为任意光滑函数 。 立即可以看 出 , “ 曲线 ” 曲线 的切 线与 口 。 无关 , 而且在无穷远平面上定义了一条曲线 二 。 若平移曲面 还有第二个表达式 , 即也可 由方程组 玉 人几 无几 鑫 几 给出 , 使得方程组 之 孟 一 一 凡‘ 几 中恰有两个是独立的 , 则称 为双重平移曲面 。 年 , 证明 了下述著名定理〔 〕 如果 是 砂中的双重平移曲面 , 则在无穷远平面上 由四簇参数曲线 的 切 线定义的四条 曲线 。 , , , , , , 属于同一条四次代数曲线 这个定理表明 , 在一个曲面上泛函方程组 的解可以 由一种代数构造产生 出 来。 的证明利用 了超定偏微分方程组的可积性条件。 事实上 , 从 我们有 之 百云而 。 这表明两簇参数曲线构成一个共扼网 , 亦即它们在各点的切线方向把渐近方向调和地分开。 若曲面 用非参数形式给出 君 , 夕 , 则相应的条件由下述方程表示 ① 年 月 日收到 原题 译 自 盖‘ 五 , 。 “ 从“ , , ‘ 索“ , ‘ 矛已 夕, 。正 , ‘协石 , 浮旅‘ 碑 夕一 , 一 邸年 月 陈 省身教探曾在北大作过 “ 网络几何 ” 的精采报告 , 其内容基本上取材于这篇文章—译庄 数 学 进 展 第 卷 , 口 , , 玄 共中 名 , 含 , , 公 公 , “ 之 , , 么 含 , , 对于双重平移曲面 , 除了满足 外 , 还要满足另一个方程 , , 叮 产 , 叮 , , 尹 研究方程组 和 尹 的可积性条件会遇到一些冗长而乏味的计算 , 特别是要处理 二 的 四阶偏导数。 这个工作是一项具正的 力气活儿—译注 , 但 是 达 到 了 他的目标。 很快认识到 的 工 作的重要性 , 而且他还敏锐地看出 的工作与 函 数之间的联系。 在〔 , 习中 , 他对 的定理给出了两个证明 , 但不是基于偏微 分 方程 , 而是根据 玩 函数和代数几何① 。 尽管这些证明也许不够完善 , 但 是 ‘ 却 引 进了 一些有创见的想法和新的观点。 作为 己 工作的一个推论 , 双重平移曲面可以通过使 函数等于零来定义 。 因此 , 曲面 一 就是一双重平移曲面 , 这里 泣 , , 为常数 利用留数 理 论 , 对 的定理 给出了最好的证明 , 应当注意 , 研究平移曲面是通过他关于极小曲面的工作 而 开 始 的。 。鳍 已 经知 道 , 解析极小 曲面就是一张平移曲面 , 其参数曲线为极小曲线或迷向曲线 。 继续研究了高维的情形 ’ ’中的平移流形是 由参数方程组 ‘ 艺 ‘ 久 ” ‘ ‘ ‘ 定义的超曲面 , 上式中 为 “ 争‘ 中的坐标 , 了’ 为各个变元的光滑函数 曹 试图决定所 有的双重平移超曲面 , 而且在一篇长文 中解决了 的情形。 在同一篇文章中 , 他 说过 要回到一般的情形。 他的遗作中有几篇关于这一问题的文章 , 但井没有获得 命 人 满 意的结 论 也曹考虑过高维的情形。 是 在 年应用射影簇的周 炜 良 坐标 才完全解决了这个问题 今 。 下面我们将说明 , 网络几何为使这个课题能够充分展开 提供 了 广阔的场所。 泛面方程组蕴含一个代数结构 , 这是一个强有力的结论。 年 利 用 这个 结论给 出了 定理的一个新证明 该定理说 , 紧致 面 由它的周 期 或者 , 更 精确地说由它的极化 簇 所决定 , 至多可能相差一同构 ① 对 亡 的括足感到不悦 他说 “ 这位作者 指 的 在其它领域内的成就 , 投有任何人比我更了 解 , 遗憾 的是他却没有能理解我 的研究工作 。 我 只能说 , 他关于平移曲面及平移流形的工作中所论述 的结论 , 完全是找的 一般定理 的特殊情形” , , 五, 耳, 了 —原注 期 陈省身 网 络 几 何 一 的网络几何 网络几何是 一 年在意大利海 滨初露头 角 的 , 那 时 与 认识到 , 由曲线构成的平面三叶 状构形具有局部不变量。 在这种情形 , 出 色的几何图形是六边形 图 。 对于任 一点 以及过 的第一条曲线上任何邻近 的点 , 当所有这样的六边形都封闭时 , 这种网络称为六边形网络。 曹证 明六边形网络局部同胚于三簇平行线。 这个课题与代数几何的 关 系 是 显然 的。 在 与 开 始搞他们 的网络几何工 作 之 前 , 与 在 年曹证明了一个定理 , 用网络几何的 语言可以表述如下 若六边形网络的曲线均 为直线 , 则必为同一条三次代数 曲线的切线 。 一般而言 , 平面上的 己一网络定义为该平面的一个邻域中由曲线构成的 个叶状 构 形 。 使得通过每一点 , 这 个叶的切线彼此不同 。 若 , 为平面上的坐标 , 一网络可以 由 。 , 梦 二 。 《 该 定义 我们将假定函数 , 力是光滑的 , 井且满足 , 牛 的条件 形如 艺 , , ‘ 二 ” “ ‘ 沙 的方程哄做 方程 线性无关的 方程的最大个数 , 称为该网络的秩 , 记为“ 可以 证明 二、合 一 , , 一 , 容易看到 , 二 时秩为 的网络恰为六边形网络。 一网络满足三个线性无关的 人 方程 习 幸。 。 二 若合 对于 , 我们有“ 镇 , 而且秩 为 的 〔 几 二 , , 一 ‘· 丁, , 一 ‘一尹‘ 一 ‘一 夕“ 一 ,‘一 “ 镇“毛 , “ , 就得到 “ 中的双重平移曲面 。 的定理可以解释为 秩为 的 一网络局部等价于一个 由直 线构成的网络 因而后者必为一条四次代数曲线的切线 深刻的‘ 题乃是 是否有最大秩 一 一 的任何 一网络 皆局部等价于其叶状物 皆为直线的网络 曹给出过秩为 的 一网络的例子 , 说明情况井不尽 然 , 的 例子是 数 学 进 展 第 卷 由无兰个顶点共线的四个线束以及第五组是过四个顶点的二次 曲线所构成的 。 六 个 方 程中有一个含有超越函数 , 即 的 五二 函数① 这个函数在一些 近 代 数学的 研究 中 , 例如奇数维的非欧氏空间中单形的体积 , 组合四维流形的 数 , 以及更一 般地 , 在代数 理论中都起一定作用 , 主耍的理 由谅必是它满足 “ 方程这 一 事实。 关于 最近的工作 , 请参阅巨 〕。 高维的网络几何 片中的 一 无维 一网络就是 中的一个邻域 中由 一 凡维 子流 形 构 成 的 记个叶状 物 左畔 做这一个网络的余维数 。 作为例子 , 考虑 , 维射影空间 ” 中的 无维 己次代数簇 。 一个 。 一 无维线性子空间 一‘ 与 相交于 个点 , 过其中每一点有 舌‘ ’ 一‘ ’个 ” 一 七。 这就在 , 中由所有 ’ 一 正构成的 流形 。 一 叱, 中给出了 己个 左 一 左维叶状物。 由于 琳 一 无, 琳 左 邢 一 左 , 代数簇 产生 一 左, 拼 中的 己个余维数为 左的叶状物 , 仇 一 无, 局部而言就 是 ‘ , 。 二 , 一 左 。 为了放眼于代数几何 , 我们将基于这个例子 , 只考虑 中 余 维 数 为 左的网 络 , 这里 无。。 即使如此 , 这一课题也是射影代数簇的几何的一种广泛的推广 正如内蕴 代数簇推广为 盈 流形与复流形一样 , 这样推广到网络几何看来是合理的。 过点 任 正 的‘ 个叶的切空间 , 给出 否’ 在 处的切空间 二 中的 己个余维数为 左的线 性子空间 , 或者也可以说 , 给出余切空间 全中‘ 个 无维线性子空间 , 。 我们假定 , 这‘ 个 线性子空间处于一般位置 。 对于 左 来说 , 其意义是清楚的 竺的那‘ 条直 线 中 任 何 凡 二 条都不在 的同一超平面上。 对于 左 , 必须引进正确的概念。 在〔 〕中 , 我们引进了 ① 所谓 五 函数系指 函数 , , , 、 令 二 ‘ 。 二 , · ‘ 二 ‘ 二六 乙 苦 。 , 它是 在 年首先发现 的 , 后来 , , 及 等人对 它 都 做 过 深 入 的 研 究 , 而且 ‘ ” 恒等式 ‘ 二 二 “ 就是 比“ 后 来根据 上式中最后 一等号 , 即 乙, ‘” ” 。丁」 。 两 , 而命名的 · 二 ‘ ‘ 一了 一 一 ‘ 一 口 几 , 给出了 更为精确 的关系式 , 式中 《幻 是 甲 函数 , 它的定义 由下式给出 《。卜 · 二 ‘一令二‘弩些 但实际 上 , 最为有用的乃是 月 口 二 乏一 ‘ 引 份 乙画不下 五 , , 上式中 二十 , 。 命 , ⋯为 。 欲知其详 , 请参阅 , 的文章 , · 。 , , , 。 , , 。一 有关 的进一步知识可参阅 , 苦 了 心 韶 ‘ 卫‘ ‘ ‘ ‘ 名‘ 邢 “ 旅‘ 了‘ ‘ , ‘ , ‘ ‘解 韶‘ 邵犯 心泥 , , ‘ ‘ ‘ 。 , 月‘ , , , , ‘ , , ‘ 名‘ 踌 ‘ , 。 , “ ‘ 多,‘ , 。‘ , , 每 , —译注 期 陈省身 网 络 几 何 这样的概念 , 仍然是根据射影代数簇的例子 用分析的语言来说 , 我们假定此网络的第 个叶状物由方程 。 , ⋯ , ,‘ , 汇 , 任 舌 ” 定义 。 我们将假定诸 。 是光滑函数 , 满足条件 二 。 八⋯ 八 。 , 、牛。 对于固定的 , 函数 脚 , ⋯ , ‘ 是确定的 , 至多差一微分同胚 , 而 。也是 确 定 的 , 至多差 一因子 这样选择的记号就确定了上面引迸的线性子空间 , 士, 称它为第 诬个 网 络法空 间 。 人 方程乃是形如 万 , , , ⋯“ ‘ , 二“ 『‘ 的方程。 线性无关的 方程的最大个数哄做网络的秩 。 在口〕中 , 我们证明 了这个秩有一 只依赖子 , , 的上界 ” , 。 , 幼 。 这个上界是精确的 特别是在 化二 时 , 我们有 兀 , 八 万 区 , 作 , 万不万一下又弋 一 一 弋 一 万 一 少 乙 、 , ‘ 一 夕 式中 定义为 一 一 镇 一 数 万 , 心在代数几何中具有重耍意义 , 事实 。 曹证明‘ , 心 是 中不 属于任何超平面 一 的 止次代表曲线的最大亏数。 任对偶空间 ’ 中取这样一条曲线 , 通过 ’ 的每一点 , 我们有‘ 个属于 的超平面 , 井且从 定 理 可以推出 , 如此构造的 一网络有秩 二 , 心 谈到网络几何与代数几何的关系时 , 应当指出这里的 网 络几何是就实 数域考虑的 , 而代数几何中相应的概念则与复数域有关。 这种过渡不是垂手可得的 , 不过却 是做得到的 , 主要因为我们研究的是网络几何的局部性质。 显然 , 一个重要问题是要决定出 ’ 中具有余维数为 和最大秩是 ” , 心 的 一网 络。 如 果网络的叶全是超平面 , 则答案由 定理〔 」 一 与 定理的推广 的下述逆 定理给出 考虑 ’的一个邻域中余维数为 的 一网络 , 其叶状物均为超平面 , 使得 方程 万 , 。 , 。‘ 一 一 “ ‘ 、 成立 , 且诸 。 。 , 牛 则这些叶属于对偶射影空间中的同一 条 己次代数曲线 对于这一定理来说 , 只须有一个 方程就可以了。 因此 , 决定性的问题 乃 是下述线 性化问题 ’ 中余维数为 且秩为 ” , 心的 一网络是否可以线性化 , 亦即它 是 否 等价于一 个以超平面为叶的网络 , 在 夸 中 的例子说明 , 当 或 儿 二 时 , 这个问题的答案是否 定的。 下面我们考虑 的情形。 对子 。 十 镇 一 , 我们得“ , 一 。 有些简单的 例子表明 , 存在不可线性化的秩为 一 ” 的 一网络 , 它依赖于任意 函 数 , 的双重平移超 数 学 进 展 第 卷 曲面的情形相应于 ” 这时我们得到“ , ” 十 对 于 秩 为 ” 的 一网 络 , 其 方程组 习 圣。 , 。 , 几 “ 二 可以表示为 习 , , 一 ‘一 恩 ‘ , 一 ‘一 ‘, “、二 , , “ ‘ ” 作为 的推广 , 这些共同的表达式可以看作是双重平移超曲面在 , 中的坐标。 证明关于双重平移超曲面的 卜 计 定理的重要一步 , 是证明 中余维数为 、 秩为 。 的 一网络是可线性化的 , 从而根据 玩 定理的逆定 理 可 得 到 一 定 理。 对于这种特殊情形 , 利用 “ ‘ 的一个想法 , 线性化向题经过简单的论 证 可 解决如 下 对于 〔 仁 , 设 。 是“ 一 维射影空间中的点 , 它的齐次坐 标 为 〔 李价 , ⋯ , 打 。 。 〕 。 将 〔 映入由诸 。张成的空间 , , 一 , 尸‘ 一 , 的映射 哄 做 ‘ 映 射 。 若将 。 , , ⋯ , 气看作 中的局部坐标系 , 由 我们得到 全。 习 ‘ 礴‘ , , 一 会 。 、“、 二 , 由此推出 , 为 , 十 , ⋯ , 的线性组合 , 由于对任意 , 替代 乙 类似的方程亦成立 , 我 们有 , ⋯ , 一 ” 一 ① 在 ” , 才 的情形 , , 色映射将 中的点映入 “ 的超平面 , 使得第 诬个叶 变为点 ‘ 经过 映射后 , 再施行 ‘ 中的对偶 , 就把 中的点变为对偶空间 ‘ 中 的点 , 使得此网络的所有叶变为超平面 这就证明了线性 化 , 从 而 推 出 一 定 理 。 对于 二 的情形 , 曹证得了一个著名定理 和中余维数为 且秩为“ , 的 己一网络是可线性化的。 和我曹试图将 定理推广至 ’〔 〕 但到 目前为止 , 我们只 是 在 附加 了正 规性的假定下证明了这个定理 。 确切的叙述是 中余维数为 且秩为“ , 心 时的正规 一网络是可线性化的。 有关正规性的定义 , 请见文献〔 〕。 最近几年 , 苏联的 。 与 也做了些有关网络几何 方 面的工作 。 但 是我不清楚这些工作与 已的工作有多少联系。 进一步的信息 , 请读者参阅〔 〕。 从 。 , 曹推广 的想法去研究关于任意 群 代替平移群 存在非本原系的 曲面〔 〕据我所知 , 这方面的推广井没有得到进一步的研究。 。 一些未解决的问题 以下我想列举几个最道接的、 未解决的问题 ① 原式左端误为 、, ⋯ , 。 一译注 期 陈省身 网 络 几 何 ⋯⋯ , 二 , , 一 , , 子 , ‘ , 、 , , 、 , , , , 一 , , ‘ 试厌足牛曲 上 , 由 曲线构成的具有板大袄下协 一 八区 一 却 砰多冲附脚有 一 列 阶。白 如不假定正规性 , 中的上述线性化定理是否亦其 问题 对于 砂 七中 七维 一网络 , 六边形条件是有意义的 。 从 尸卜 中的一 个三次超曲面出发 , 用 县 开始时所讲过的作法 七 , 从而 , 定 义 舌中 的一 个 趁维 一网络 可以证明 , 这种网络是六边形的 其逆是否亦真 亦即 砂 舌中每个 六边 形 左 维 一网络是否都可以用这种作法产生 可以差一局部微分同胚 附注 感谢 对这一 问题给 出了否定回答 。 的论证中 , 曹大量地使用 了超定偏微分方程组的理论 试利用偏微分 方程证明 一 定理 。 刘书麟译 , 仁嘉禾校 参 考 文 献 〔 〕 “ 〕 」 〔 〕 〕 〔 〕 〕 〔 〕 〔 」 〔 〔 〕 〔 〕 〔 〕 〔 〔 〕 〔 〕 , , 血 恤 , , 。 , 了。, 从‘ 一 刀。正 , “ 沈 了 玩 甜 。 五 , , , , , 姻 , 罗 , 且 ‘ 旋 , , , 从‘ 一‘ , 一 , , 的 皿 , , , 一 , 了 址 软 住 , 刁 ‘ , 邢 , ‘ , , , , 一 奴 , , 在。 , , 了 , , ‘ , 透 , 一‘ 。 抽 , 成 皿 化 , , , 从‘ 几 。了 , 一 , 。 , 远 蕊 , 五 址 的 , 代 , 。 , 从‘ , ‘ , , 一 , , , 。 一 。 , 玩 一皿 , 以 , , 一 , 双 罗 , , , , 一 。。 , 罗 ‘ , , ‘ , , , , , 通户户 , , , 一 峨, , 魂一 , 。 巍 , 。‘ , , , 一 , 一 。 斌一 , 心亡 ‘ ‘ , , 一 址 , 巨 刀 址 巨 峨 罗 , 址 卫 五 , , ‘ 从‘ 几 一 , 一 弓 , 就址 示 , 龙。 ‘ , , , , 匆‘ 几少, 月 , 盛一 。 , , , , 旋 , , 。 肚 叨 ’ , 五 , 士了,