多层贝叶斯分析在汇率预测中的应用

http://www.paper.edu.cn -1- 多层贝叶斯 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 在汇率预测中的应用 余磊 中国人民大学信息学院，北京（100872） Email：yulei1982321@163.com 摘 要：本文提出了通过多层贝叶斯分析预测短期汇率的思路和 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ,首先介绍了多层贝叶 斯分析的数学模型，然后针对前人的结果利用勒贝格控制收敛定理提出了后验估计的近似计 算公式,最后用实际的历史数据检验了估计的准确性。 关键词：多层贝叶斯分析 汇率 先验分布 后验分布 勒贝格控制收敛定理 1. 引言 汇率就是一国货币相对于另一国货币的价格。一国货币相对于另一国货币来说，可以看 作一种资产，汇率就是这种资产的价格。 关于一国货币相对于另一国货币的价格的决定也就是汇率的决定，国际上有许多不同 的观点，其中主要有三个经典理论：国际借贷理论，购买力平价理论和利率平价理论。国际 借贷理论认为汇率是由外汇的供给和需求决定的，而外汇的供给和需求是由信贷造成的；购 买力平价理论认为两国货币的比价取决于两国货币国内购买力的对比关系；而利率平价理论 认为各国利率水平的差异直接导致短期资本在国际间的流动，从而引起汇率的变化。 汇率对于一个国家，一个公司或者个人都有很重大的意义。对于一个国家来说，汇率的 任何变动都关系着外汇储备价值的缩水或升值以及经常项目收支的增加或减少。对于一个公 司，汇率关系着他的运营成本、原材料价格以及人力资源成本。对于个人，汇率水平变化不 仅直接意味着个人外汇资产价值的变动，还关系着外汇存款的收益率。特别的，对于现今拥 有巨额外汇储备的中国，根据汇率变动情况适当调整外汇储备币种结构，是我国外汇储备的 保值增值的重要策略之一 [5]。 遗憾的是，在现实生活中，汇率和股票价格一样，都是很难预测的。因为他们对“新闻”， 也就是意料之外的经济事件反映强烈 [5]。但是，由于近期之内一国外汇的供给和需求、两 国货币国内购买力的对比关系以及各国利率水平都不会产生很大的变化，所以，由汇率决定 理论，短期的汇率水平就会呈现在一个水平上上下波动的趋势，而这个水平是可以预测的。 要预测这个水平，历史数据就应该充分的被考虑，另外，很明显，时间越近的历史数据在估 计中应该被赋予越大的权重。但是，传统的统计推断方法不能满足既充分考虑历史数据又考 虑到不同时间段历史数据权重应该不同的要求。 而贝叶斯方法作为统计推断的一种形式，该方法与传统方法的本质区别在于是否运用先 验信息，在汇率的预测中，我们将近期的汇率水平作为历史数据，利用这些历史数据，我们 可以得到先验分布以及总体分布，然后以最近的数据作为样本的观察值，我们就可以利用后 验分布推断出未来短期内汇率变化的基本趋势。 2. 未来短期汇率预测的实证分析 2.1多层贝叶斯分析数学模型的建立 贝叶斯方法的关键在于先验的选取，常用的先验分布的确定方法有无信息先验分布、共 轭先验分布、杰弗莱原则、多层先验等等。而已证明性质最稳健的是多层先验分布，应用多 层先验分布确定先验并得出后验分布并进行统计推断的方法就叫做多层贝叶斯分析。大体思 http://www.paper.edu.cn -2- 路如下： 1( , , )ni iX XK 是抽自独立总体 2( , )iN θ σ ( 2σ 已知 )的容量为 n 的样本，设 1 1 , ( 1, , ) n j i i i j X X X i n n = = = =∑ K ， X= t1( , , )pX XK ,则有： iX 为相互独立的随机变量且 服从正态分布 2( , )i fN θ σ ( 2 2 /f nσ σ= )。接下来， iθ 为可交换的模型 2( , )N π πµ σ 的 i.i.d。 2( , )π πλ µ σ= 称为超 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 ，假设超参数 πµ 服从 0( , )N Aβ （ 0β 和 A为已知常量）， πσ 与 πµ 之间假设相互独立。我们有： ( | )f X θ 为 2( , )p fN Iθ σ ，其中 1( , , )tpθ θ θ= K 1( | )π θ λ 为 2( 1, )p fN Iπµ σ ，其中 2( , )π πλ µ σ= ，1 (1, ,1)t= K 2 2 2,1 2,2( ) ( ) ( )π ππ λ π µ π σ= � ，其中 2,1( )ππ µ 为 0( , )N Aβ 。 2 fσ 由估计式 2 2 1 1 1ˆ ( ) ( 1) i p n j f i i j x x n n p σ = = = −− ∑ ∑ 给出。 由[1]4.6.2我们有： 定理一 由以上的 1 2,π π 定义的多层先验π ，其后验均值 ( )Xπµ 、协方差阵 ( )Xπν ， 分别为 ( )Xπµ = 22,2 ( | ) * 2[ ( , )]XE Xππ σ πµ σ (2.1) 2 2,2 4 4 ( | ) 2 2 2 2 2 2 2( ) [ (1)( )( ) X f f f f f f A V X E I I pA ππ σπ π π π σ σσ σ σ σ σ σ σ= − + ++ + + + * 2 * 2( ( , ) ( ))( ( , ) ( )) ]tX X X Xπ ππ πµ σ µ µ σ µ− − (2.2) 其中 (1)为元素皆为一的矩阵， * 2( , )X πµ σ = 2 2 02 2 2 2( 1) ( )1( ) f f f f X X x x pAπ π σ σ βσ σ σ σ− − − −+ + + (2.3) 22 0 2 2 2 2 2 2 2,2 2,22 2 ( 1) / 2 2 2 1/ 2 1/ 2 ( )1exp [ ] 2 ( | ) ( ) ( ) ( ) f f p f f p xs pA X K pA A π π π π π π β σ σ σ σπ σ π σσ σ σ σ− − ⎧ ⎫−⎪ ⎪− +⎨ ⎬+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭= + + + (2.4) (2.4)中， 2 2 1 ( ) p i i s x x = = −∑ ，K为正常化量，可由对 2πσ 的积分为 1确定（假设积分是有 限的，只要 22,2 ( )ππ σ 有界且 3p ≥ 即可证明这一点） [1]。 定理一虽然给出了多层贝叶斯分析后验均值 ( )Xπµ 、协方差阵 ( )Xπν 的计算公式，但 我们发现： 1 0 , Aβ 两个参数的估计式没有给出，当然，我们可以通过求他们的边际分布然后通过 极大似然估计、矩估计或其他方法给出他们的估计值。但是实际上，求关于 0 , Aβ 二者的 X 的边际分布非常困难，基于这一点，我试着用 iX 作为 iθ 的估计，那么 1, , pX XK 就可以作 http://www.paper.edu.cn -3- 为抽自总体: 2 2 2 0 2 2,1 2,20 0 ( ( , )) ( ) ( ) ( )m A d dπ π π π πµ β π λ σ π µ π σ σ+∞ +∞= =∫ ∫ � 的样本，但是，无论我们选取什么样的 22,2 ( )ππ σ ，用极大似然法得到的关于 0 , Aβ 的方程 是一个高次联立方程，有没有解不能肯定。 2 用(2.1)(2.3) 求解后验均值 ( )Xπµ 、协方差阵 ( )Xπν 需要通过积分，而这两个积分 的计算是非常困难的，除非通过高性能计算机。 基于以上两点考虑，我决定通过(2.1)(2.3)寻求后验均值 ( )Xπµ 、协方差阵 ( )Xπν 的近 似公式，并得出以下定理： 定理二 设 { } , 1, 2nA n = +∞L 是任意一个趋于正无穷大的实数序列， 22,2 ( )ππ σ 有界 且 4p ≥ ,定义： * 2( , )n X πµ σ = 2 2 02 2 2 2( 1) ( )1( ) f f f n f X X x x pAπ π σ σ βσ σ σ σ− − − −+ + + (2.5) 22 0 2 2 2 2 2 2 2,2 2,22 2 ( 1) / 2 2 2 1/ 2 1/ 2 ( )1exp [ ] 2 ( | ) ( ) ( ) ( ) f n fn n p f n f n p xs pA X K pA A π π π π π π β σ σ σ σπ σ π σσ σ σ σ− − ⎧ ⎫−⎪ ⎪− +⎨ ⎬+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭= + + + (2.6) 2 2,2 4 4 ( | ) 2 2 2 2 2 2 2( ) [ (1)( )( ) n n X f f n f f f n f A V X E I I pA ππ σπ π π π σ σσ σ σ σ σ σ σ= − + ++ + + + * 2 * 2( ( , ) ( ))( ( , ) ( )) ]tn n n nX X X X π π π πµ σ µ µ σ µ− − (2.7) 2 2 2 0 2 2 2,2 0 2,22 2 ( 1) / 2 1/ 2 1exp 2 ( | ) ( ) ( ) f p f s X K p π π π π σ σπ σ π σσ σ − ⎧ ⎫⎪ ⎪−⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭= + (2.8) 这里 0,nK K 为正常化量，可由(2.7)、(2.8)对 2πσ 的积分为 1确定。 * 2 0 ( , )X πµ σ = 2 2 2 ( 1) f f X X x π σ σ σ− −+ (2.9) 2 2,2 ( | ) * 2( ) [ ( , )] n X n nX E Xπ π σπ πµ µ σ= (2.10) 0 2 2,2 ( | ) * 2 0 0( ) [ ( , )] XX E Xππ σπ πµ µ σ= (2.11) 0 2 2,2 4 ( | ) 2 0 2 2( ) [ X f f f V X E I Iππ σπ π σσ σ σ= − ++ 4 2 2 (1)( ) f fp π σ σ σ+ + 0 0 * 2 * 2 0 0( ( , ) ( ))( ( , ) ( )) ] tX X X Xπ ππ πµ σ µ µ σ µ− − (2.12) 则有 lim n→∞ ( )n X πµ = 0 ( )Xπµ ， limn→∞ ( )nV Xπ = 0 ( )V Xπ 证明：见附录一。 http://www.paper.edu.cn -4- 由定理二可以知道，当 0β 固定，而 A足够大时，X后验均值 ( )Xπµ 、协方差阵 ( )Xπν 可近似的由以下公式给出： 0 2 2,2 2 ( | ) * 2 0 2 2 0 0 2,2 2 20 ( ) ( ) [ ( , )] ( | ) ]( 1)X f f X X E X X X d X xππ σπ π π π π π σµ µ µ σ π σ σσ σ +∞= = = − −+∫ � 2 2 2 2 2 2 0 2,22 2 ( 1) / 2 1/ 2 2 20 1exp 2 ( ) ]( 1) ( ) f f p f f s X K d X x p π π π π π σ σ σ π σ σσ σ σ σ +∞ − ⎧ ⎫⎪ ⎪−⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭= − −+ +∫ � � (2.13) ( )Xπν = 2 2 2 4 2 2 2 0 0 2,22 2 ( 1) / 2 1/ 2 2 20 1exp 2 ( ) ( ) ]( 1) ( ) f f f p f f s V X I K d X x I p ππ π π π π σ σ σσ π σ σσ σ σ σ +∞ − ⎧ ⎫⎪ ⎪−⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭= − − ++ +∫ � � 2 2 2 4 2 2 0 2,22 2 ( 1) / 2 3/ 2 2 20 1exp 2 ( ) ]( 1)(1) ( ) f f p f f s K d X x p π π π π π σ σ σ π σ σσ σ σ σ +∞ − ⎧ ⎫⎪ ⎪−⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭ − ++ +∫ � � 0 0 2 2 2 2 * 2 * 2 2 0 2,2 0 02 2 ( 1) / 2 1/ 20 1exp 2 ( ) [( ( , ) ( ))( ( , ) ( )) ] ( ) f t p f s K X X X X d p π π π π π π π π σ σ π σ µ σ µ µ σ µ σσ σ +∞ − ⎧ ⎫⎪ ⎪−⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭ − −+∫ � � (2.14) 这样，只要 22,2 ( )ππ σ 选的比较合适，(2.8)、 (2.13)以及(2.14)都很容易计算，更重要的 是，我们可以避开对 0β ， A的估计，而且，由于我们对先验分布 0( , )N Aβ 的知识非常少， 所以假定 A足够大是稳妥的也是合适的。由多层先验的稳健性，我们可以知道用 0 ( )Xπµ 、 ( )Xπν 作为后验均值和协方差阵是足够精确的，可以令我们满意。 2.2 假设条件、样本的选取及贝叶斯估计的给出 我们选取 2005年到 2006年间连续 480天之中欧元、港币、日元三种货币对美元汇率水 平(如附录二中表一)作为分析的对象。 首先，假定每种货币相邻十五天或者十六天的汇率水平 1( , , )ni iX XK 属于同一个正态总 体 2( , )iN θ σ ， iθ 可理为短期汇率的真实水平，即 1, , ni iX XK 在短期汇率的真实水平 iθ 的基 础上上下波动。 iθ 服从 2( , )N π πµ σ ， πµ 可以理解为近期汇率真实水平， πµ 服从 0( , )N Aβ ， 0β 为近期该货币对美元的真实价值，并设 2πσ 的密度函数 22,2 ( )ππ σ =1。为了取得统计理论 上的上的支持，我任意选取了三种货币连续十五天以及十六天的数据各一百段进行 K-S 正 态性检验，如附录二表 2。结果，这三百段数据每一段的 p值都是大于 0.05的，所以，认为 这十五、六天的汇率水平属于同一个正态总体这个假设是合适。 另外，我对每种货币任选相邻 75天的数据进行分析，以十五天为界依次作为从五个从 不同的正态总体抽出的样本观察值，可以发现，这五个总体中的任意两个大部分都通过了方 差齐性检验，但大都拒绝了均值相等的原假设。所以，假定相邻十五天或者十六天的汇率水 http://www.paper.edu.cn -5- 平属于同一个正态总体 2( , )iN θ σ ，在 5p = 的情况下是可以被接受的，但 1 5, ,θ θK 应该认 为互不相等。 所以，我们取 22,2 ( )ππ σ =1，代入 p=5。由(2.8)、(2.13)、(2.14)可算出： 2 0 2 22(1 exp )2 f ps K s σ = ⎧ ⎫⎪ ⎪− −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ (2.15) 22 0 2 2 2 ( )= ( ) [1/(1 exp ) ]( 1) 2 f f sX X X X x s π π σµ µ σ ⎧ ⎫⎪ ⎪= − − + −⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ (2.16) 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 exp 2 2 2 ( ) [ ] [1/(1 exp ) ](1) 2 1/(1 exp ) 2 f f f f f f f s sX I s p ss π σ σ σ σν σ σ σ ⎧ ⎫⎪ ⎪− ⎨ ⎬ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭= − − − + −⎨ ⎬⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭− ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ 22 2 2 2 2 2 2 2 4 [1/(1 exp ) (1/ 8 / ) /(1 exp ) ] 2 2 f f f f s ss C s σσσ σ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪− − + − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (2.17) 其中 C为对角线元素为 2( )i iX x− ，其他元素全为 0的对角矩阵(关于这个结果的说明， 请看附录一中的说明) 2.3 三种货币未来短期汇率水平的贝叶斯估计 任选表 1中三种货币连续 75天的数据，对于每一种货币的 75个数据，以十五个为一组 依次分成五组，把第一组数据作为从 21( , )N θ σ 中抽出的十五个样本观察值 1 151 1( , , )x xK ，第 二组作为从 22( , )N θ σ 中抽出的十五个样本观察值 1 152 2( , , )x xK ，依次类推。 5θ 的后验均值 5( )X πµ 就可以作为第 76 天的汇率的估计值，这是因为 5( )Xπµ 是对 5θ 的估计，而连续十 六天的数据来自同一个正态总体，所以，第 76天的汇率值也属于正态总体 25( , )N θ σ ， 5θ 的 估计 5( )Xπµ 就可以看作是对第 76天的汇率值的估计。 然后，去掉第一天的数据，把第二天数据作为第一个数据，把第 76天的汇率值的估计 5( )X πµ 作为第 75个数据。这样，用同样方法就可以得到第 77天的汇率估计值。这样，我 们就可以得到一个月后，也就是第 76到 135天的汇率估计值。然后，把这 30个估计值换成 真实值，再做一个月的估计，如此下去，我对每种货币做了八个月的估计，再把每种货币八 个月的估计与真实值一起绘成线图(对每种货币，第一个图是前四个月的，第二个图是后四 个月的)，得图如下。 http://www.paper.edu.cn -6- Sequence number 115 109 103 97 91 85 79 73 67 61 55 49 43 37 31 25 19 13 7 1 1.32 1.30 1.28 1.26 1.24 1.22 1.20 1.18 欧元真值 欧元预测 Sequence number 115 109 103 97 91 85 79 73 67 61 55 49 43 37 31 25 19 13 7 1 1.24 1.23 1.22 1.21 1.20 1.19 1.18 1.17 1.16 欧元真值 欧元预测 图 1 欧元对美元八个月的汇率预测(实线为真实值，虚线为预测值) 注：横坐标 1表示第 76天，依次类推。 注：横坐标 1表示第 196天，依次类推。 Sequence number 115 109 103 97 91 85 79 73 67 61 55 49 43 37 31 25 19 13 7 1 7.81 7.80 7.79 7.78 7.77 7.76 7.75 7.74 港币真值 港币预测 Sequence number 115 109 103 97 91 85 79 73 67 61 55 49 43 37 31 25 19 13 7 1 8.4 8.2 8.0 7.8 7.6 7.4 7.2 港币真值 港币预测 图 2 港币对美元八个月的汇率预测 Sequence number 115 109 103 97 91 85 79 73 67 61 55 49 43 37 31 25 19 13 7 1 116 114 112 110 108 106 104 102 日元真值 日元预测 Sequence number 115 109 103 97 91 85 79 73 67 61 55 49 43 37 31 25 19 13 7 1 122 120 118 116 114 112 日元真值 日元预测 图 3 日元对美元八个月的汇率预测 由图 1到图 3我们可以看出，每个月的前十天估计值和真实值都很接近，而十天以后到 第三十天估计值和真实值有些时候就差得比较远。这可以理解，因为预测中最近的数据被赋 予了最大的权重，但是预测到十多天以后，最近十五天的数据基本上都是估计出来的，很可 能本身就和真实值相差比较大。但是，这个模型用于未来十天的汇率预测效果还是比较好的。 http://www.paper.edu.cn -7- 3. 结论 贝叶斯分析作为统计推断的一种方法，在汇率的预测中，不仅充分考虑到了历史数据， 还充分考虑了在不同时间历史数据的权重应该不同的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，在十天之内短期汇率的预测中显 示了强大的威力，为短期汇率的预测提供了一种全新的方法,而这种方法，尤其是近似公式 也可以应用到同类问题的处理上。 参考文献： [1]James O.Berger,统计决策论及贝叶斯分析[M].中国统计出版社，1998，0 251� [2]吴喜之.现代贝叶斯统计学[M].中国统计出版,2000,101 152� [3]陈希孺 .概率论与数理统计[M].中国科学技术大学出版社，2002,172 178� [4]朱喜安.统计指数的贝叶斯方法[J].统计研究，2006(2): 59 62� [5]保罗.克鲁格曼.国际经济学[M].中国人民大学出版社, 1996, 308 342� [6]郑维行,王声望.实变函数与泛函分析概要[M] 高等教育出版社, 1986,123 131� The Applying of Hierarchical Bayes Analysis in Inference of Exchange Rate Lei yu School of information, Renmin university，Beijing（100872） Abstract The article offers a new hierarchical bayes analysis method to inference the exchange rate in resent days .Firstly, I bring up the mathematics model ,secondly, I give the posterior estimation using Lebesgue dominated convergence theorem, finally, I discuss the righting of the estimation by using the historical data. Keywords：hierarchical bayes analysis exchange rate posterior Estimation prior Estimation Lebesgue dominated convergence theorem 附录一： 定理二证明： 22 0 2 2 2 2 2 2,22 2 ( 1) / 2 2 2 1/ 2 1/ 2 ( )1exp [ ] 2 | ( ) | ( ) ( ) f n f p f n f n p xs pA pA A π π π π π β σ σ σ σ π σσ σ σ σ− − ⎧ ⎫−⎪ ⎪− +⎨ ⎬+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭ ≤+ + +Q 2 2 2 2 2,22 2 ( 1) / 2 1/ 2 1exp 2 ( ) ( ) f p f s p π π π σ σ π σσ σ − ⎧ ⎫⎪ ⎪−⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭ + 而当 p 4≥ 时 2 2 2 2 2 2,22 2 ( 1) / 2 1/ 20 1exp 2 ( ) ( ) f p f s d p π π π π σ σ π σ σσ σ +∞ − ⎧ ⎫⎪ ⎪−⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭ +∫ 可积， 故由勒贝格控制收敛定理 [6]，可得 22 0 2 2 2 2 2 2 2,22 2 ( 1) / 2 2 2 1/ 2 1/ 20 ( )1exp [ ] 2 lim ( ) ( ) ( ) f n f pn f n f n p xs pA d pA A π π π π π π β σ σ σ σ π σ σσ σ σ σ +∞ − −→∞ ⎧ ⎫−⎪ ⎪− +⎨ ⎬+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭ =+ + +∫ http://www.paper.edu.cn -8- 22 0 2 2 2 2 2 2 2,22 2 ( 1) / 2 2 2 1/ 2 1/ 20 ( )1exp [ ] 2 lim[ ( )] ( ) ( ) f n f pn f n f n p xs pA d pA A π π π π π π β σ σ σ σ π σ σσ σ σ σ +∞ − −→∞ ⎧ ⎫−⎪ ⎪− +⎨ ⎬+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭ =+ + +∫ 2 2 2 2 2 2,22 2 ( 1) / 2 1/ 20 1exp 2 ( ) ( ) f p f s d p π π π π σ σ π σ σσ σ +∞ − ⎧ ⎫⎪ ⎪−⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭ +∫ 所以 22 0 2 2 2 2 2 2 2,22 2 ( 1) / 2 2 2 1/ 2 1/ 20 ( )1exp [ ] 2 1/ ( ) ( ) ( ) f n f n p f n f n p xs pA K d pA A π π π π π π β σ σ σ σ π σ σσ σ σ σ +∞ − − ⎧ ⎫−⎪ ⎪− +⎨ ⎬+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭= →+ + +∫ 2 2 2 2 2 2,2 02 2 ( 1) / 2 1/ 20 1exp 2 1/ ( ) ( ) f p f s d K p π π π π σ σ π σ σσ σ +∞ − ⎧ ⎫⎪ ⎪−⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭ =+∫ ，即 2 0 22,2 2,2lim ( | ) ( | )nn X Xπ ππ σ π σ→∞ = 而 2 2,2 ( | ) * 2( ) [ ( , )] n X n nX E Xπ π σπ πµ µ σ= = 2 2 2,2 2,2 2 2 ( | ) ( | ) 02 2 2 2[ ]( 1) [ ]( )1( ) n nX Xf f f n f X E X x E x pA π ππ σ π σ π π σ σ βσ σ σ σ− − − − =+ + + 2 2 2 2 2 2 2,2 2,2 02 2 2 20 0 [ ( | ) ]( 1) [ ( | ) ]( )1 ( ) f fn n f n f X X d X x X d x pAπ π π ππ π σ σπ σ σ π σ σ βσ σ σ σ +∞ +∞− − − −+ + +∫ ∫� � 故由勒贝格控制收敛定理知： lim n→∞ ( )n X πµ = 2 2 2 2 2 2 2,2 2,2 02 2 2 20 0 lim [ ( | ) ]( 1) [ ( | ) ]( )1 ( ) f fn n n f n f X X d X x X d x pAπ π π ππ π σ σπ σ σ π σ σ βσ σ σ σ +∞ +∞ →+∞ ⎧ ⎫⎪ ⎪− − − − =⎨ ⎬+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫� � 2 2 2 2 2 2 2,2 2,2 02 2 2 20 0 [ lim ( | ) ]( 1) [ lim ( | ) ]( )1 ( ) f fn n n n f n f X X d X x X d x pAπ π π ππ π σ σπ σ σ π σ σ βσ σ σ σ +∞ +∞ →+∞ →+∞− − − − =+ + +∫ ∫� � 0 2 2,2 2 2 ( | )0 2 2 2,2 2 2 2 20 ( | ) ]( 1) [ ( 1)]Xf f f f X X d X x E X X xππ σπ π π π σ σπ σ σσ σ σ σ +∞− − = − − =+ +∫ � 0 2 2,2 ( | ) * 2 0[ ( , )] XE Xππ σ πµ σ = 0 ( )Xπµ 同理可证 lim n→∞ ( )nV X π = 0 ( )V X π ，定理证毕。 说明： Morris在 1983年提出 经验 班主任工作经验交流宣传工作经验交流材料优秀班主任经验交流小学课改经验典型材料房地产总经理管理经验 贝叶斯的后验均值和协方差阵 分别为 [1]： ˆ ( ) ( 1)X X B X xπµ = − − (2.18) 2 21 2ˆ ˆ( ) (1 ) 3f pX B I B C p p πν σ −= − − − (2.19) 其中 C为对角线元素为 2( )i iX x− ，其他元素全为 0的对角矩阵 http://www.paper.edu.cn -9- 这里， 2 2 2 2 2 2 3ˆ ( ) , max{0, } 1 1 f f f p sB p pππ σ σ σσ σ −= = −− + −%% (2.20) 有趣的是当 2 2 1 f s pσ ≥ − 且 p=5时，两种方法得出的 ( )X πµ 、 ( )Xπν 是相等的，这就从另一个侧面证明了 Morris 对(2.18)、(2.19)所作调整的正确性，也说明了 (2.16)(2.17)在实际计算中是可靠的。 如果把 Bˆ看成 2 2 f s σ 的函数 2 2 ˆ ( ) f sB σ ，函数 2 2 ˆ ( ) f sB σ 在 2 2 1 f s pσ ≤ − 的时候是一条直线，这样的话 作为先验信息的 2 2 f s σ 在 ( )X πµ 的计算中就没有充分的被考虑。而应用多层先验的方法得到 的 ( )Xπµ 中 用 22 2 2 2 [1/(1 exp ) ] 2 f f s s σ σ ⎧ ⎫⎪ ⎪− +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ 代 替 了 (2.20) 中 的 Bˆ ， 而 22 2 2 2 [1/(1 exp ) ] 2 f f s s σ σ ⎧ ⎫⎪ ⎪− +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ 是 2 2 f s σ 的连续函数，具有良好的性质，另外，(2.18)对 p 比较小 或中等大的时候对 1( , , )tpθ θ θ= K 的估计在理论上说是不很准确的，而应用多层先验的方法 得到的 ( )Xπµ 就不存在这个问题，这就充分反映出了多层贝叶斯方法的优势。 附录二： 表 1 三种货币对美元汇率 表 2 One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test a Test distribution is Normal. b Calculated from data. 数据来源：美联储官方网站 欧元 港币 日元 1.35 7.78 102.83 1.33 7.79 104.27 1.33 7.79 103.95 1.32 7.79 104.87 1.31 7.79 104.93 1.31 7.79 104.32 1.32 7.8 103.42 1.33 7.79 102.26 1.32 7.79 102.55 1.31 7.8 102.5 1.3 7.8 102.36 1.3 7.8 102.52 1.3 7.8 103.31 1.3 7.8 102.85 1.3 7.8 102.67 1.3 7.8 104.16 1.31 7.8 102.9 1.3 7.8 103.15 1.3 7.8 103.45 1.3 7.8 103.55 1.3 7.8 103.93 1.3 7.8 104.05 1.3 7.8 104.55 1.29 7.8 103.7 1.28 7.8 104.68 欧元 ¸港币 日元ª N 15 15 15 Normal Parameters Mean 1.2709 7.7865 117.4520 Std. Deviation 3.716E-03 3.486E-03 .5357 Most Extreme Differences Absolute .189 .155 .180 Positive .189 .155 .145 Negative -.106 -.152 -.180 Kolmogorov- Smirnov Z .731 .600 .697 Asymp. Sig. (2-tailed) .659 .864 .716