课题学习最短路径问题课件第1页，共21页。“将军饮马”--相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl第2页，共21页。 将A，B两地抽象为两个点，将河流l抽象为一条直线．B··Al 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？第3页，共21页。（1）从A地出发，到河流l边饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时， AC与CB的和最小（如图）．第4页，共21页。 思考1：如何将点B转“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？ 如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小呢？B·lA·思考2：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？第5页，共21页。 作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求． 如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C第6页，共21页。 问题3 你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C第7页，共21页。 证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴ AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴ AC+BC＜AC′+BC′． 即 AC+BC最短． 问题3 你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′第8页，共21页。 若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．B·lA·B′CC′ 思考：证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？第9页，共21页。变式1：已知直线m、l和点B，在直线m、l上分别取点A、点C，使点B到点C再到点A的距离之和最小。第10页，共21页。变式2：如图，有两条直线m、l和一点B，在直线m、l上分别取点A、点C，使△BAC的周长最小。第11页，共21页。变式3：如图，有两条直线m、l和点B、点D，在直线m、l上分别取点A、点C，使四边形DACB的周长最小。第12页，共21页。如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）ABMNab第13页，共21页。问题2：你能证明一下如果在不同于MN的位置造桥M/N/，距离是怎样的，能证明我们的做法AM+MN+NB的和是最短距离吗？试一下。ABMNabA′第14页，共21页。ABMNabA′M′N′证明:取不同于,M，N的另外两点M/，N/由于M/N/=MN=AA/；由平移的性质可知：AM=A/N,AM/=A/N/又根据“两点之间，线段最短”可知A/N/+N/B>A/B所以，AM/+N/B＞AM+NB,所以，AM/+N/B+M/N/>AM+NB+MN.问题2第15页，共21页。问题3：还有其他的方法选两点M,N，使得AM+MN+NB的和最小吗？试一试。ABMNab第16页，共21页。 如何在四边形ABCD内取一点O，使得点O到四边形四个顶点的距离和最小。第17页，共21页。 如何在四边形ABCD内取一点O，使得点O到四边形四个顶点的距离和最小。证明：如果存在不同于点O的交点P，连接PA、PB、PC、PD，那么PA+PC＞AC，即PA+PC＞OA+OC，同理，PB+PD＞OB+OD，∴PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，即点O是线段AC、BD的交点时，OA+OB+OC+OD之和最小．第18页，共21页。变式4：如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥变式练习第19页，共21页。 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”．同问题2是一种类型，自己在练习本上独立完成ABCPQ山河岸大桥第20页，共21页。2.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。第21页，共21页。
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