清北学堂数学讲座-几何部分

清北学堂数学讲座--几何部分刘永明第一讲复数与几何复数的形式，izxy=+,xyR∈，x称为的实部，记作zRe()xz=，y称为的虚部，记作，称为虚数单位，满足zIm()y=z1i2i=−，在直角坐标系OX上每一点Y(,)xy都与一个复数对应，这个坐标平面称为复平面.轴称为实轴，OY轴称为虚轴，O称为原点，用复数0 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示.实数集合是复数集合的子集.izxy=+OX我们还可以把复数看成是平面向量izxy=+OzJJG，把这向量的长度2rxy=+2称为复数的模，把复数写成izxy=+izxy=+(cosisin)zrθθ=+，则当时，0z≠θ就是向量的方向，称满足条件(,]θππ∈−的θ为复数(cosisin)zrθθ=+的幅角，记为argzθ=.两个复数相加就是两个向量的相加:11221212(i)(i)()i()xyxyxxyy+++=+++，满足平行四边形法则.，等式成立当且仅当两向量同方向.1212|||||zzzz+≤+|记ecosisiniθθθ=+，则iezrθ=，这个记号明显地指出了复数的向量性质，r表示长度，θ表示方向.不仅如此，这种记号还有其特殊的优点：以下用exp()表示指数函数.设有复数111111(cosisin)exp(i)zrrθθθ=+=，22222(cosisin)exp(i)zrθθθ=+=，复数加法和乘法法则和实数的类似，只是要注意2i1=−.121212121212[(coscossinsin)i(sincoscossin)]zzrrθθθθθθθθ⋅=⋅−++121212[cos()isin()]rrθθθ=⋅+++θ1212exp(i())rrθθ=+2就像满足指数函数的运算法则一样！112exp(i)exp(i)rrθθ=⋅以上恒等式表示，用模为幅角为rθ的非零复数乘以另一非零复数，其幅角增加θ，模乘以.r因此有棣莫佛定理复数(cosisin)zrθθ=+的次方为n()cosisinnrnnθθ+，*nN∈复数(cosisin)zrθθ=+的个次方根为nn1/22cosisinnkkkzrnnθπθ++⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠π，0,1,...,1kn=−，*nN∈1清北学堂数学讲座--几何部分刘永明当时，{1n>}kz均匀分布在半径为的圆上.且1/nr100nkkz−==∑，其证明可利用复数的指数形式，把{}1/2expinkkzrnθπ⎧+⎛⎞=⎨⎬⎜⎝⎠⎩⎭⎫⎟看成是公比为复数2expinπ⎛⎞⎜⎝⎠⎟的数列，故其和为111/002expinnnkkkkzrnθπ−−==+⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑∑1/2expi1expi02expi1nnnrnnπθπ⎛⎞−⎜⎟⎛⎞⎝⎠==⎜⎟⎛⎞⎝⎠−⎜⎟⎝⎠连线的中点为，以为顶点的三角形的重心为，可推广为以为顶点的多边形的重心为12,zz12()/zz+2)/3123,,zzz123(zzz++1,nzz…11nkkzn=∑.复数的共轭izxy=+izxy=−，22(i)(i)||zzxyxyxyz⋅=+−=+=2，2zzx+=所以非零复数的倒数z2221ii||zxyxyzzzxyz−−===+，112122221||zzzzzzz=⋅=设以为顶点的三角形123,,zzz123zzzΔ：（1）如123zzzΔ的外心位于原点，则三角形的垂心位于12zzz3++（2）123zzzΔ的面积为行列式123123111i4zzzzzz（有正负号）以为端点的直线段的中垂线方程为|12,zz12|||zzzz−=−以为圆心，半径为的圆方程为0z0r>0exp(i)zzrθ=+以为焦点，实轴长为，12,zz2a>0120||2zza<−<，的椭圆方程为12||||2zzzza−+−=以为焦点，实轴长为，12,zz2a>02a12||zz−>，的双曲线方程为12||||2zzzz−−−=a若三不同点共线123,,zzz⇔1232zzkRzz−=∈−，0k≠2清北学堂数学讲座--几何部分刘永明定理：点共圆（特殊情况共线，相当于半径无穷大的圆）的充分必要条件是1234,,,zzzz13241423()()()()zzzzRzzzzλ−−=∈−−（当0λ=时，表示有点重合）例：证明共线存在三个不全为零的实数123,,zzz⇔123,,λλλ满足1230λλλ++=，1122330zzzλλλ++=.证明：必要性：若三不同点共线123,,zzz⇒1232zzRzzλ−=∈−⇒123(1)zzz0λλ−−+=若三点中有两个相同，不妨设，12zz=2zz3≠，则以上论证仍成立。若三个点相同，则12311022zzz−−=满足要求.充分性：不妨设30λ≠，实数123,,λλλ满足1230λλλ++=，解出12(3)λλλ=−+，代入1122330zzzλλλ++=，得331221()()zzzz0λλ−+−=，即312213zzRzzλλ−=−∈−，⇔共线123,,zzz向量与向量平行1zz−243zz−⇔1234,0zzkRkzz−=∈≠−向量与向量垂直1zz−243zz−⇔1234i,,0zzkkRkzz−=∈≠−用复数可以方便地证明平面几何中的三点共线、四点共圆，线共交点的问题例：设三个模为1的复数满足条件123,,zzz1230zzz++=，证明是内接于单位圆的正三角形的三个顶点.123,,zzz证：由，两边除以得1230zzz++=1z21311//zzzz0++=设211/cosisinzz1θθ=+，3122/cosisinzzθθ=+，则由12sinsin0θθ+=，得12θθ=−由121coscos0θθ++=，得112cos0θ+=，即123πθ=±，223πθ=∓，故点是内接于单位圆的正三角形的三个顶点.各点乘以后只是幅角增加同一值，故是内接于单位圆的正三角形的三个顶点.2131,/,/zzzz11z123,,zzz例：设模为1的四个不同的点之和为零，证明这四点是矩形的顶点.1234,,,zzzz3清北学堂数学讲座--几何部分刘永明证明：不妨设这四点在单位圆上按逆时针排列，则1234(zzzz)+=−+，由复数性质知，12zz+，分别在及3zz+412zOz∠34zOz∠的角平分线上，因此12zz+，0，三点成一线，从而三点共线，三点共线，且3zz+4341,0,zz2,0,zz13zz−，2zz4−是圆的直径，因此四点为矩形的顶点.例：证明三个不相等的复数组成一个正三角形的三个顶点的充分必要条件是：123,,zzz22212323311zzzzzzzzz++=++2证明:为正三角形，三个外角都等于123zzzΔ⇔2/3π，即32132132argarg2/3zzzzzzzzπ⎛⎞⎛⎞−−==⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠且三边都相等，即，213212||||||zzzzzz−=−=−⇔32132132zzzzzzzz−−=−−⇔2321321()()()zzzzzz−=−−⇔22212323311zzzzzzzzz++=++2例：求11arctan1arctanarctan23++之值解：所求角度为图上三个角度之和(1i)(2i)(3i)(13i)(3i)10i+++=++=首先，三个角度均大于零但不大于/4π，其和大于/2π，小于3/4π，根据复数相乘，幅角相加的性质，得所求之值为/2π例：证明平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和证明：把平行四边形的一个顶点放在原点，1,OzOz2JJJGJJJG是四条边的两条边，还有一个顶点是，则1zz+22121212||()()zzzzzz+=++22121212||||()zzzzzz=+++2121212||()()zzzzzz−=−−4清北学堂数学讲座--几何部分刘永明22121212||||()zzzzzz=+−+两式相加得222121212||||2(|||zzzzzz++−=+2|)22其中是一条对角线，是另一条对角线.证毕.1zz+1zz−例：设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转，τ表示坐标平面关于轴的镜面反射，用yτσ表示先做σ再做τ的复合,用nσ表示连续做次nσ的变换，求运算432στστστσ的结果解：利用复数的乘法 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，运算σ对复数(cosisin)zrθθ=+的作用是增加幅角/7π−，运算τ对复数(cosisin)zrθθ=+的作用是把幅角改为πθ−，因此，逐步运算幅角的变化是2/7σθθπ→−9/7τπθ→−25/7σπθ→−2/7τπθ→+34/7σθπ→−11/7τπθ→−43/7σπθ→−例：在的ab边外作正方形afeb，在ac边外作正方形acgh，证明abcΔ1.的高ao平分fhabcΔ2.的中线am的长度为fh的一半abcΔ证：(1)选取坐标系，使的底边bc边在实轴上，高ao的垂足o在原点，故可设a=abcΔiλ，0λ>，如图,bc为实数.故()ifaab=+−，(haca)i=+−，,fh连线的中点i=(+)i222fhcbcbqaλ+−−==+在虚轴上，因为高ao也在虚轴上，所以高ao平分fh.(2),|||2|hfbca−=+−2bcm+=,5清北学堂数学讲座--几何部分刘永明||2bcmaa+−=−22bca+−=1|2|2bca=+−1|2hf|=−,证毕例：求的最大值，其中是实数，复数2|zkz++1|kizxy=+位于单位圆||上。1z=解:22|1|||zzkzzkzz++=++||||zzkz=++||zkz=++|2|xk=+2||k≤+得最大值2||k+例：求2221izzz−+−+的最大值，其中||1z=解：，故222(1i)(1izzzz−+=−+−−)222|11izz|ziz−+=−−−+2|1i|1212⎛⎞≤++=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠例：设复数满足，12,zz112|||zzz=+|12(1i3)zza=+，a是非零实数，求21zz解：由|，得112|||zzz=+111212()()zzzzzz=++11211222zzzzzzzz=+++，消去11zz得2112220zzzzzz++=，由12(1i3)zza=+得12(1i3)zza=−，代入上式得222zza=，22211221i2(1i3)zzzazzza−+===−−3例：如果复平面上的动点在半径为的圆||zr0zr=>上运动，求动点1wzz=+的轨迹解：设(cosisin)zrθθ=+，[0,2)θπ∈，则111cosisinwzrrzrrθθ⎛⎞⎛⎞=+=++−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，在复平面上就是iwxy=+1cosxrrθ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠，1sinyrrθ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠，故当时，轨0,1rr>≠6清北学堂数学讲座--几何部分刘永明迹为椭圆，半长轴为，半短轴为|11/r+r|/rr−，焦距为4当1r=时，轨迹为直线段[2,2],0xy∈−=例：设复平面上一个多边形的任一个顶点都存在正整数，该顶点可以写成形式，其中||，证明原点不在这个多边形Σk211...kzzz−++++1z<Σ的边界上.证明:先证明原点不是多边形的顶点，不然，Σ2111...01kkzzzzz−−=++++=−，得1kz=，即||，与||矛盾.1z=1z<再证明原点不在多边形的边上.用反证法，不妨设原点在的边上，则12,zz121()0zzzλ+−=(0,1)，λ∈，设111...mzzz−=+++，，不妨设则121...nzzz−=+++nm>11...1...mmmnmzzzzzzλ++++−=−=−++−nznz即1(1)mzλλ=−+，由于||，故11z<|(1)|(1)1mnzzλλλλ=−+<−+=.矛盾例：求2221zzzi−+−+的最大值，其中复数满足||z1z=解：222(1i)(1i)1i1izzzzzz−+−+−−=−+−+|(1i)z|=−+，在(1i)/2z=−+时达到最大值12+例：在实数范围内把4321xxxx++++作因式分解解：，所以4325(1)(1)xxxxxx−++++=−14321xxxx++++在复数范围内有因子22cosisin55kkxππ⎛⎞⎛⎞−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，1,2,2,1k=−−取互为共轭的因子相乘得因式分解2222cossin55xππ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦2244cossin55xππ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦222cos15xxπ⎡⎤⎛⎞=−+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦242cos15xxπ⎡⎤⎛⎞−+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦7清北学堂数学讲座--几何部分刘永明例：已知||，1z<152zz+=，求||z解：1zzzzzz+=+211||zz=+1||||zz=+52=，故||1/2z=例：已知||，求的最小值1z=2|zz++4|解：设cosisinzθθ=+，则22|4||4|zzzzzz++=++||||14|zzz=++|15cos3sin|iθθ=+−由于22|15cos3sin|(15cos)9sini2θθθ+−=++θ21010cos16cosθθ=++2513564cos41θ⎛⎞=++⎜⎟⎝⎠13516≥故所求的最小值3154在5cos16θ=−时达到例：已知sin，设，求cos1tt+=cosisinst=+t0()nkkfss==∑解：由，得sincos1tt+=sin(/4)2/2tπ+=，解得2tkπ=或tk2/2ππ+∈Z，k，=当2tkπ=时，，1s=()1fsn=+，当2/tk2ππ=+时，is=0()nkkfss==∑111nss+−=−1i1i1n+−=−故当时，；当4nk=−1k()0fs=4n=时，()1fs=；当4nk1=+时，；()1ifs=+当时，4nk=+2()ifs=例：设是实数，使得a2i1iaw+⎛⎞=⎜+⎝⎠⎟的实部为2，求其的虚部w解：2222i(i)(1i)42(1)i1i44aaaaw++−+−⎛⎞===⎜⎟+⎝⎠由实部为2得，所以虚部为2a=3/2−例：求最小的正整数使得n(1/2i/(23)nI=+是纯虚数，并求出I解：1i1(cosisin)262336ππ+=+所以最小的3n=，这时，i33I=8清北学堂数学讲座--几何部分刘永明例：设||，1z>155icossin22zzθθ+=−，求z解：1(1)55icossin22zzzzzzzθθ++==−，故可设(cosisin)zrθθ=+，1r>故得15(cossin)(cossin)2riirθθθ⎛⎞+−=−⎜⎟⎝⎠θ，故2r=，即2(cosisin)zθθ=+例：已知，，，求1||2z=2||3z=12||zz+=412zz解：由得12||4zz+=1122121216zzzzzzzz+++=，将1||2z=，2||3z=代入得12123zzzz+=，把229zz=，114zz=代入122194zzzz3+=，即21122934zzzz⎛⎞0−+=⎜⎟⎝⎠，解得121i156zz±=例：求3z=z的非零解解：两边乘以得到z40zzz=>，故，两边取模可见||2||z=±z1z=，从而得，1z=±iz=±例：若，求的值31z=32222zzz+++0解：由，得，故或31z=2(1)(1)0zzz−++=1z=这时32222025zzz+++=或，这时210zz++=322222012(1)1819zzzzz+++=++++=例：若，求的值11zz−+=−20132013zz−+解:由得，为三次方程11zz−+=−21zz++z310z−=的虚根22cosisin33zππ±±=+因是3的整数倍，故201320132013112zz−+=+=例：设，，求510w−=1w≠2(1)(1www)++的值解：，因54321(1)(1)wwwwww−=−++++1w≠，故32(1wwww)1+++=−故232(1)(1)(1)wwwwwww++=+++=1−例：若有，使得，其中||0a<2220zazaa−+−=1z=，求a解：由，，故2220zazaa−+−=2()zaa−=<0izaa=±−，由||，得1z=9清北学堂数学讲座--几何部分刘永明21aa−=，解得152a−=例：求复平面上点关于直线012iz=+:|22i|||lzz−−=的对称点1z解：设与对称，而已知点1izab=+012iz=+22i+与点对称，故两对称点所成线段的斜率相等：0220120ba−−=−−得到，两线段的中点在直线上：1ba=+i12ii12i22i22abab++++++−−=，把1ba=+代入得3i(1)1i(+3)22aaaa−+−++=，即，化简得222(3)(1)(1)(3)aaaa−+−=−++20a=，故，所以所求对称点为1b=1iz=.例：求复平面上圆|1|2|1i|2zz−=−+的圆心解：设izab=+，则22221(1)[(1)(1)2abab−+=−++]，化简得22(1)(1)2ab−+−=，故得圆心为1i+例：设复数cosisinzαβ=+，sinicoswαβ=+满足32zw=，求sin()βα−解：(cosisin)(sinicos)zwαβα=+−(cossincossin)i(sinβsincoscos)ααββαβα=++−βsin2sin22icos()3αβαβ=+−+=故cos()0αβ+=，3sin2sin22sin()cos()αβαβα=+=+−β所以sin()1αβ+=±，3cos()2αβ−=±，从而1sin()2βα−=±例:复平面上3zzzz++=表示的图像是什么？解:设，则方程表示，即izxy=+222xyx++=3422(1)xy++=，是圆心在，半径为2的圆.(1,0)−另解:因(1)(1)14zzzzzz++=+++=,所以|1|z2+=,即轨迹是一1为圆心半径为2的10清北学堂数学讲座--几何部分刘永明圆.例：若||，求24izz−=−1z的值解:设，则由方程得izxy=+22i24xyxyi+−−=−，故4y=，222216xxyx+=+=+3x，解得=，所以1134i34i2525z==−+例：设复数113i22w=−+，222cosisin55wππ=+，令12www=，求20111kkw=∑解：22expiexpi35wππ=⋅166=expi=expi1515ππ故20112011111kkwwww=⎛⎞−=⎜⎟−⎝⎠∑6exp(2011i)1151wwπ⎛⎞⋅−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟⎝⎠，因201130671=×+，故6expi1151wwπ⎛⎞⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠6expi15wπ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠66cosisin1515ππ=+例：已知是实数，复平面到复平面上的映射,,,abcdzwazbwczd+=+把复平面的上半平面映到复平面的上半平面，求zwadbc−的符号解：2222i(i)(i)i(iababdcbdacadbccdcdcd++−++−==+++)，故0adbc−>例：设在复平面上，动点在连接zz2,2iAB==的线段上，求2wz=的轨迹.解:设,在线段上,izxy=+2()2(2i2)zBAtt=+−=+−[0,1]t∈,2222(222i)4[(1)]8i(1)wztttttt==−+=−−+−故轨迹为4(12),8(1).xtytt=−⎧⎨=−⎩,,或消去t化为抛物线的一部份:[0,1]t∈2128yx=−,[4,4]x∈−11清北学堂数学讲座--几何部分刘永明例：求方程的根322292xkxkxk++++=70))解：虽然三次方程有卡丹求根公式，但不实用，本题可用因式分解来做因为当时有因子(，所以设有一个因子为(30k=3x+?x++，其中?是一个和有关系的量，因式子中有k的一次方，我们可设因子为k(3)xak++，是一个待定数.a把除以(3322292xkxkxk++++)7xak++得到2((2)3)xakx+−−+"，因为常数项为的一次项，为了在余式中不含项，必须取k92k+72k1a=.故分解得32222927(3)((3)9xkxkxkxkxkx++++=+++−+)故得解13xk=−−，22,33(3)2kkx−±−−=36例：设θ是的一个根，令3()310fxxx=−+222θθα+−=，若是一个有理系数的二次多项式，满足条件()hx()hαθ=，求的值.(0)h解:1(1)(22αθθ=−+),222(2)()(1)(2)882xxfxxxx+−=−++=++所以22(2)48()822f2θθαθθθ+−−=−==++,得22(2)αθ=−+,设2()hxaxbxc=++则22()2(2)(2)/2habcabcαααθθθ=++=−+++−+=θ0,整理得2(42)228bbacbaθθ+−−+−−=左边一个关于θ的有理系数的二次多项式.它不是()fx的根因式,因此应恒为零故,所以2,1/2,2bac==−=−(0)2hc==−.12清北学堂数学讲座--几何部分刘永明第二讲向量与几何 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 ：既有大小又有方向的量称为向量，非零向量有一个起点和一个终点，用箭头指向向量的终点.例如用ABJJJG表示起点为A，终点为B的向量，向量ABJJJG的大小称为模，记作ABJJJJG，长度为零的向量称为零向量，记为0，零向量没有确定的方向。长度等于1个单位长度的向量称为单位向量.在直角坐标系中向量ABJJJG的表示方法是平移向量，使得向量起点A与原点重合，把平移后向量的终点的坐标表示该向量，实际上就是终点OB的坐标减去起点A的坐标.向量在平面坐标中用(,)xy,在三维空间坐标中用(,,)xyz表示，其中,,xyz分别是向量的,,xyz轴的坐标.以上定义的向量是自由向量，就是说一个向量可以自由地任意平移仍看作是同一个向量.坐标系中的点的坐标可以看作一个起点为原点的向量，但这个向量不是自由向量设是两个向量，则,ab+ab是一个向量，其坐标各分量为对应分量的和.,ab−ab是一个向量，其坐标各分量为对应分量的差,ab设λ是实数，λa是一个向量，其坐标各分量为a的对应分量与λ的乘积.非零向量a,平行的充要条件是存在非零实数bλ使得λ=ba，当0λ>时两向量同向，0λ<时，两向量反向.⋅ab是一个实数，它等于对应分量相乘的积的和，称为的数量积,ab,ab非零向量a,垂直的充要条件是b0⋅=ab加法法则：向量相加，把相同的首尾点相接；向量反向则改号，记向量AB=aJJJK，，，则向量，BC=bJJJGAD=dJJJGACABBC=+=+abJJJGJJJGJJJGDADA=−=−dJJJGJJJK，DBDAAB=+=+-daJJJGJJJGJJJG，,BAAB=−=−aJJJGJJJKDBABDBBA−=+=−daJJJGJJJGJJJGJJJG两非零向量a,垂直的充要条件是b0⋅=ab其中是向量a,的数量积，有性质⋅abb||||cosθ⋅=abab,θ是把两个向量通过平移，使得起点重合时两向量之间的夹角.设三维空间向量互不平行，则与a,都垂直的非零向量是123123(,,)(,,)aaabbb==a,bbλ×ab，Rλ∈，0λ≠.13清北学堂数学讲座--几何部分刘永明其中123123aaabbb×=ijkab，i,分别是j,k,,xyz轴正方向的单位向量设,，则三向量成右手系，||=×caba,b,c||||sinθ=cab，其中θ为向量之间的夹角,性质；；⋅ab×=−×abba0×=aa×=ijk，轮换得另两个式子.过点，方向为的直线方程的向量形式是pat=+rpa，tR∈，其中(,,)xyz=r过点与向量法线方向为的平面方程是pn()0−⋅=rpn，其中(,,)xyz=r例：求三维空间两异面直线，s=+rpat=+rqb，(,,)xyz=r，,stR∈，之间的最短距离.解：设分别在两直线上两点，10s=+rpa2t0=+rqb间的距离是两直线的最短距离，先考虑两直线方向不平行的情况，这时a,b1200()(st)=−=+−+drrpaqb应与均垂直，所以a,bλ=×dab2)，两式相乘，并利用向量的垂直性得2()()(λλ⋅=×⋅−=×ddabpqab，故解出2()(()λ)×⋅−=×abpqab故得|()()|||||||||λ×⋅−=×=×abpqdabab.故当a,不平行时，最短距离为b|()()|||||×⋅−=×abpqdab，这个公式有明显的几何解释。两直线分别位于垂直于的两个平面上，这两个平面之间的距离就是两直线的最短距离，而这两平面之间的距离等于连接两平面上两点的向量×ab−pq在上的投影.这个公式对于共面不平行直线也是正确的，结果是零.×ab再来考虑两直线方向a,平行的情况，由几何上的考虑，两平行直线之间的距离，等于两直线上两点之间的向量的长度乘以向量b−pq−pq与向量a的交角的正弦，故|()||||×−=apqda|例：（复旦2006）若向量垂直于向量3+ab75−ab，并且向量4−ab垂直于向量，求向量a,的夹角。72−abb解：由题意，22(3)(75)716150+⋅−=+⋅−=ababaabb14清北学堂数学讲座--几何部分刘永明22(4)(72)73080−⋅−=−⋅+=ababaabb上二式消去项得到，故⋅ab2=ab2|2|||⋅=abab，得夹角为/3π例：设两单位向量a,满足b||+=ab3，求(25)(3)−⋅+abab的值.解：由条件，，故2()22+=+⋅=abab31/2⋅=ab，从而(25)(3)11311/2−⋅+=−⋅=−ababab例：设,,ABG为空间任意三点，证明G点到AB的中点M的向量1()2GMGAGB=+JJJJGJJJGJJJG证：AMGMGA=−JJJJGJJJJGJJJG1()2GAGBGA=+−JJJGJJJGJJJG11[]22GBGAAB=−=JJJGJJJGJJGJ，证毕例：在中，若存在一点满足ABCΔG0GAGBGC++=JJJGJJJGJJJG，则G为ABCΔ的重心.证：设的中点为BCM，只要证明2GAGM=−JJJGJJJGJ即可，因为M是的中点，故BC1()2GMGBGC=+JJJJGJJJGJJJG，而，证毕.()2GAGBGCGM=−+=−JJJGJJJGJJJGJJJJG推论：在中，设O为原点，若存在一点，满足ABCΔG1()3OGOAOBOC=++JJJGJJJGJJJGJJJG，则为的重心。GABCΔ证：因GA，GB，GCOAOG=−JJJGJJJGJJJGOBOG=−JJJGJJJGJJJGOCOG=−JJJGJJJGJJJG，代入0GAGBGC++=JJJGJJJGJJJG即得例：（2004年全国 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 数学联赛）设原点O在ABCΔ的内部，且有23OAOBOC0++=JJJGJJJGJJJG求与的面积比。ABCΔOCAΔ解：由条件，我们构造一个三角型23OAOBOC++=JJJGJJJGJJJG0AEFΔ，如图使得它的重心在原点，即，2OEOB=JJJGJJJG3OFOC=JJJGJJJG，所以把,,OAOEOFAEFΔ等分为三个面积相等（记为S）的三角形，OAEΔOEFΔ，OFAΔ，同时把ABCΔ分成三个三角形15清北学堂数学讲座--几何部分刘永明OABΔ，，OBCΔOCAΔ，它们的面积分别为,,263SSS，所以ABCΔ的面积是263SSSS++=，所以与的面积比为3：1ABCΔOCAΔ例：已知凸四边形中ABCD,EF分别为,ABCD的中点，证明2EFADBC=+JJJGJJJGJJJG（梯形性质的推广）证：取不在梯形上的点为原点O，则22()EFOFOE=−JJJGJJJGJJJG22OFOE=−JJJGJJJG()(OCODOAOB=+−+JJJGJJJGJJJGJJJG))中点性质()(ODOAOCOB=−+−JJJGJJJGJJJGJJJGADBC=+JJJGJJJG证毕例：已知给定的是单位向量，互相不平行，是任意实数，求的最小值,,abc,ab12,tt12||tt−−cab解：本题可以看作求空间一点c与a,张成的平面b12tt=+rab的距离，所以就等于该平面上的点原点O到的向量就是c在该平面的法向c×ab上的投影的绝对值:|()||⋅××cabab|.例：设有平面上三角形，O是平面上一定点，ABCΔ0λ≥是变量，证明向量||||ABACOPOAABACλ⎛⎞=++⎜⎟⎝⎠JJJGJJJGJJJGJJJGJJJGJJJG必定通过ABCΔ内心.证明：只要证明向量12||||ABACABAC⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠cJJJGJJJGJJJGJJJGABC与Δ的角平分线向量同方向即可实际上，在AC边上取单位长度的边AC′，在AB边上取单位长度的边AB′组成等腰三角形，在底ABC′′ΔBC′′上取中点M，则cAM=JJJJG，因等腰三角形在底上的中线平分对角。16清北学堂数学讲座--几何部分刘永明故得证本题.例：赛题：对于任意8个实数，证明以下6个数中至少有一个是非负的:,,,,,,,abcdefghacbd+,,aebf+,agbh+,cedf+,cgdh+egfh+证明：考虑平面上四个向量(，如果其中有零向量，则6个数中有零，问题已证，不然则至少有两个向量的夹角不大于90度，它们的数量积是非负的，就是6个数之一.,),(,),(,),(,)abcdefgh例：证明三角形三条中线的长度的平方和等于三边长度和的3/4ABCΔ证明：记，AB=cJJJGBC=aJJJG，CA=bJJJG，故++=abc0，则三条边上的中线向量分别为，求其平方和得()/2,()/2,()/2−−−bacbac2221{2()[222]}4+++−−−αbcabbcca22222221{2()[()()]}4=+++++−++αbcαbcabc2223()4=++αbc证毕.例：给定空间中任意四个点A，B，C,D,设M是AC的中点，N是BD的中点，证明22222242ABBCCDDAACBDMN+++=++证明：记，AB=aJJJGBC=bJJJG，CD=cJJJG，DA=dJJJG，则+++=abcd0，，AC=+abJJJGBD=+bcJJJG，1()222MN++=+−=+bcabaaJJJJGc22)2需证的等式左边等于，右边等于222+++αbcd22()()(+++++αbbcac222222[()222]=++++++⋅+⋅+⋅αbcαbcabbcac因，故++=−abcd222222+++⋅+⋅+⋅=αbcabbcacd所以左边等于右边，证毕.17清北学堂数学讲座--几何部分刘永明第三讲不等式与几何在几何题中，有很大一类是求极值或不等式关系的，所以我们先要介绍一下不等式的知识利用凸函数可以很简洁地证明一些不等式.若不等式的等式可以成立时可以用来求最值.定义：设()fx的定义域为区间I，若对I上任意两点12,xx和实数[0,1]λ∈，总有121((1))()(1)(2)fxxfxfxλλλλ+−≤+−，则称()fx为I上的凸函数，如果上式的不等式改向，则称()fx为I上的凹函数。一般地，凸函数满足性质11()()nnkkkkkkxfλλ==≤∑∑kx，fxI∈0kλ≥，1,...,kn=，（1）11nkkλ==∑当1knλ=，,1,...,kn=1...nxx==时等式成立.对于凹函数，以上不等式改号.凸函数的图像的特点：图像上任意一条弦位于图像的上方.例：()||fxx=是凸函数，所以()111...||...||nnxxxxnnn++≤++，即11...||...||nnxxxx++≤++例：证明三角形的三个角A，B，C满足以下不等式33sinsinsin2ABC++≤，33coscoscos222ABC++≤2证明：因在[0,]π上，sin()x是凹函数，所以31sin(sinsinsin)233ABCABC++⎛⎞=≥+⎜⎟⎝⎠+，因在[0,/2]π上，cos()x是凹函数，所以3/2/2/21cos(coscoscos)23322ABCABC++⎛⎞=≥+⎜⎟⎝⎠2+例：设，,0ab>1ab+=，，证明*nN∈222112nnnab−+≥证明：因2nyx=是凸函数，故222211()222nnnnabab+⎛⎞+≥=⎜⎟⎝⎠，故222112nnn−+≥ab定理：设()fx为区间I上的二次可导，则()fx是凸函数的充要条件是，()0fx′′≥xI∀∈当，()0fx′′>xI∀∈时的凸函数称为严格凸函数.对于严格凸函数，当且仅当1...nxx==18清北学堂数学讲座--几何部分刘永明时（1）的等号成立.例（加权平均不等式）设，0ka≥0kλ≥，1,...,kn=，11nkkλ==∑，则11nnkkkkaλkkaλ==≤∑∏，当且仅当都相等时等式成立(2)ka证明：当中有等于零的时，不等式自然成立，现只需考虑都是正数的情况kaka因exp()x是严格凸函数，所以[]111explnexpln()knnnnkkkkkkkkkaaaλ1kkaλλλ====⎛⎞=≤=⎜⎟⎝⎠∑∑∑∏当且仅当都相等时等式成立，证毕ka当1knλ=，时，（2）式就是非负数的几何平均不大于算术平均.1,...,k=n1/111nnnkkkan==⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠ka∑∏（3）（3）式的最简单的应用就是不等式2abab+≥，.,0ab≥例：求sincos2sincosyθθθθ=++的最小值解：令sincostθθ=+，则因2(sincos)12sincosθθθ+=+θ212(2)tyt−=+2(22)12(2)tt+−−=+2(2)4(2)32(2)ttt+−++=+232322(2)tt2+=+−≥+−（应用2abab+≥）在2t+=3，即32t=−时达到最小值32−例：设，0ika≥1,...,kn=，0iλ≥，1,...,im=，11miiλ==∑，则有不等式1111immnniikikkkiiaaλλ====⎛⎞⎛⎞≤⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠∑∏∏⎟∑（4）证明：当上式右边等于零时，显然左边也等于零。故设上式右边不等于零，利用不等式（2）得19清北学堂数学讲座--几何部分刘永明1111111imniiiknnkiiknmnkiikikkkiaaaaλλλ=======⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎟=⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∏∑∏∑∑∏111nmikinkiikkaaλ===⎛⎞⎜⎟⎜⎟≤⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑∑111nikmkiniikkaaλ===⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑∑∑11miiλ===∑当且仅当个向量，m1(,...,)iiaanm1,...,i=.成比例.证毕.当，，，2m=1pkkax=2qkkay=11pλ=，21qλ=，121λλ+=时就是Hölder不等式1/1/111pqnnnpqkkkkkkkxyxy===⎛⎞⎛⎞≤⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑（5）当且仅当向量1(,...,)ppnxx与成比例时等式成立.1(,...,)qnyyq2在（5）式中取，时，（5）式就是柯西不等式：2m=2pq==1/21/22111nnnkkkkkkkxyxy===⎛⎞⎛⎞≤⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑（6）当且仅当向量1(,...,)nxx与1(,...,)nyy成比例时等式成立.在（5）式中取/(1)kkssaxb+=，/(1)sskkyb+=，则得权方