导数与微分2.5函数的微分2.5函数的微分首页上页下页返回结束微分的定义微分的几何意义基本初等函数的微分公式与微分运算法则微分在近似计算中的应用*首页上页下页返回结束引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x的线性主部故当x在取变到边长由其2.5.1微分的定义首页上页下页返回结束的微分,定义2-2:若函数(A为不依赖于△x的常数)则称函数记作即定理2-5:函数即在点可微,首页上页下页返回结束定理2-5:函数证:“必要性”已知则故且在点处可导,且即...
2.5函数的微分首页上页下页返回结束微分的定义微分的几何意义基本初等函数的微分公式与微分运算法则微分在近似计算中的应用*首页上页下页返回结束引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x的线性主部故当x在取变到边长由其2.5.1微分的定义首页上页下页返回结束的微分,定义2-2:若函数(A为不依赖于△x的常数)则称函数记作即定理2-5:函数即在点可微,首页上页下页返回结束定理2-5:函数证:“必要性”已知则故且在点处可导,且即首页上页下页返回结束“充分性”已知即则首页上页下页返回结束说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当首页上页下页返回结束函数yf(x)在任意点x的微分，称为函数的微分，求导问题．以后我们将求函数的导数与微分的方法从而，求一个函数的微分的问题便归结为求函数的称为微分法．首页上页下页返回结束的导数．因此，导数也叫做“微商”．函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数一般地，若函数的参数方程为即首页上页下页返回结束例2-38求函数yx2在点x3处的微分．解例2-39求函数当时的微分．解首页上页下页返回结束例2-40求由参数方程所确定的函数解首页上页下页返回结束微分的几何意义则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记2.5.2微分的几何意义首页上页下页返回结束1.基本初等函数的微分公式2.5.3基本初等函数的微分公式与微分运算法则首页上页下页返回结束2、和、差、积、商的微分法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)分别可微,的微分为微分形式不变3.复合函数的微分则复合函数首页上页下页返回结束解法一利用微分形式不变性．解法二利用微分的计算公式．首页上页下页返回结束解法一利用乘积的微分法则．解法二利用微分的计算公式．首页上页下页返回结束例2-43在括号中填入适当的函数，使等式成立．(1)d()xdx(2)d()cos2tdt．解(1)因为d(x2)2xdx，所以即一般地，有(2)因为d(sin2t)cos2tdt，所以一般地，有首页上页下页返回结束2.5.4微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:首页上页下页返回结束例2-44有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为镀铜体积为V在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,*
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