考试要求 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,了解空间向量的正交分解及其坐标表示;2.了解空间向量的线性运算及其坐标表示;3.了解空间向量的数量积及其坐标表示;4.掌握空间两点间的距离公式,会求向量的长度、两向量的夹角.第6节 空间向量及其运算相反相等平行或重合平面相反向量方向______且模______的向量a的相反向量为-a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量a∥b共面向量平行于同一个_______的向量 2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在实数λ,使得_________.b=λaxa+yb1〈a,b〉[0,π]互相垂直|a||b|cos〈a,b〉a·b|a||b|cos〈a,b〉(2)空间向量数量积的运算律①结合律:(λa)·b=_________;②交换律:a·b=_______;③分配律:a·(b+c)=___________.λ(a·b)b·aa·b+a·c4.空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).a1b1+a2b2+a3b3a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)空间中任意两非零向量a,b共面.( )(2)对任意两个空间向量a,b,若a·b=0,则a⊥b.( )(3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.( )(4)若a·b<0,则〈a,b〉是钝角.( )解析 对于(2),因为0与任何向量数量积为0,所以(2)不正确;对于(3),若a,b,c中有一个是0,则a,b,c共面,所以(3)不正确;对于(4),若〈a,b〉=π,则a·b<0,故(4)不正确.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×2.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直∴AB∥CD.答案 B答案 A答案 (-4,3,2)6.已知i,j,k为两两垂直的单位向量,非零向量a=a1i+a2j+a3k(a1,a2,a3∈R),若向量a与向量i,j,k的夹角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=________. 解析 设i,j,k为长方体的共顶点的三条棱的方向向量,因非零向量a=a1i+a2j+a3k(a1,a2,a3∈R),故a可为长方体体对角线的方向向量,则α=∠xEA,β=∠yEA,γ=∠zEA,规律方法 (1)选定空间不共面的三个向量作基向量,这是用向量解决立体几何问
题
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的基本要求.用已知基向量表示指定向量时,应结合已知和所求向量观察图形,将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.(2)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.提醒 空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.答案 B所以M,A,B,C四点共面.从而点M在平面ABC内.【训练2】(1)若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n=________. (2)已知空间四点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),D(1,2,t),若四点共面,则t的值为________.∴m=-7,n=4,∴m+n=-3.∵A,B,C,D四点共面,答案 (1)-3 (2)0则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,解 由极化恒等式的三角形形式得又因为MN是其内切球O的一条直径,E是正方体表面上的动点,