海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）2012.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集，集合，则 A． B． C． D．2．下列函数中，在定义域内是减函数的是 A． B． C． D．3．在平面直角坐标系中，已知，，，则的值为 A． B． C． D．4．已知数列的前项和，则 A． B． C． D．5．的值为 A． B． C． D．6．“”是“函数在内存在零点”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知函数则不等式的解集为 A． B． C． D．8．已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”．给出下列4个集合：①②③④其中所有“好集合”的序号是 A．①②④ B．②③ C．③④ D．①③④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．．10．设，，，则从大到小的顺序为．11．函数的值域为．12．在中，点为边的中点，若∥，且，则．13．已知函数的图象由的图象向右平移个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则．14．数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值．（Ⅰ）若，则的峰值为；（Ⅱ）若，且不存在峰值，则实数的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知等差数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求使不等式成立的的最小值．16．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期及单调递减区间．17．（本小题满分13分）在中，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积．18．（本小题满分13分）如图所示，已知边长为米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中米，米．为了合理利用这块钢板，将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上．（Ⅰ）设米，米，将
表
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示成的函数，求该函数的解析式及定义域；（Ⅱ）求矩形面积的最大值．19．（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）若在处取得极大值，求实数的值；（Ⅱ）若，直线都不是曲线的切线，求的取值范围；（Ⅲ）若，求在区间上的最大值．20．（本小题满分14分）已知数集……具有性质P：对任意的，，使得成立．（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）求证：…；（Ⅲ）若，求数集中所有元素的和的最小值．海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理）参考
答案
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及评分
标准
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2012．11说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B D C A D B二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9． 10． 11． 12．1 13． 14．10；三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I）设的公差为，依题意，有………………2分联立得解得………………5分所以………………7分（II）因为，所以………………9分令，即………………11分解得或又，所以所以的最小值为………………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为………………2分 ………………4分………………6分所以………………7分（Ⅱ）因为所以………………9分又的单调递减区间为，………………10分所以令………………11分解得………………12分所以函数的单调减区间为，………………13分 17．（本小题满分13分）解：（I）在中，因为………………1分所以………………3分因为，所以………………4分又解得………………5分因为所以………………6分（II）因为，所以解得………………8分因为所以………………9分由正弦定理，代入得到………………11分所以………………13分18.（本小题满分13分）解：（I）作于，所以………………2分在中，所以………………4分所以，定义域为………………6分(II)设矩形的面积为，则………………9分所以是关于的二次函数，且其开口向下，对称轴为所以当，单调递增………………11分所以当米时，矩形面积取得最大值平方米………………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 ………………2分令，得，所以，随的变化情况如下表： 0 0 极大值 极小值 ………………4分所以………………5分（II）因为………………6分因为，直线都不是曲线的切线所以对成立………………7分只要的最小值大于所以………………8分(III)因为所以当时，对成立所以当时，取得最大值………………9分当时，在时，，单调递增在时，，单调递减所以当时，取得最大值………………10分当时，在时，，单调递减所以当时，取得最大值………………11分当时，在时，，单调递减在时，，单调递增又，当时，在取得最大值当时，在取得最大值当时，在，处都取得最大值.………………14分综上所述，当或时，取得最大值当时，取得最大值当时，在，处都取得最大值当时，在取得最大值.20.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)因为3，所以不具有性质P.因为，所以具有性质P………………4分(Ⅱ)因为集合具有性质P：即对任意的，使得成立，又因为，所以所以，所以即，………………6分将上述不等式相加得所以………………9分(Ⅲ)最小值为首先注意到，根据性质P,得到所以易知数集A的元素都是整数.构造或者，这两个集合具有性质P,此时元素和为147.下面，我们证明147是最小的和假设数集，满足最小（存在性显然，因为满足的数集只有有限个）.第一步：首先说明集合中至少有８个元素:由(Ⅱ)可知又，所以，所以第二步：证明：若，设，因为，为了使得最小，在集合中一定不含有元素，使得，从而；假设，根据性质P，对，有，使得显然,所以而此时集合中至少还有5个不同于的元素，从而，矛盾，所以，进而，且；同理可证：（同理可以证明：若，则假设.因为根据性质P，有，使得显然,所以，而此时集合中至少还有４个不同于的元素从而，矛盾，所以，且同理可以证明：若，则假设因为根据性质P，有，使得显然,所以而此时集合中至少还有３个不同于的元素从而，矛盾，所以，且）至此，我们得到了.根据性质P，有，使得我们需要考虑如下几种情形：①,此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素，才能得到元素8，则；②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素，才能得到元素7，则；③，此时集合的和最小，为147；④，此时集合的和最小，为147.………14分2/11
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