直接证明--数学归纳法

北京高考数学专家 http://blog.sina.com.cn/gaokaoshuxue010 18701476427 霍老师 直接证明--数学归纳法 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 一、选择题 1 ．（山东省新泰一中08-09学年高二下学期期末考试（理））已知命题 (1)当时,左边=1,右边=所以等式成立; (2)假设时等式成立,即成立, 则当时,,所以时等式也成立｡ 由(1)(2)知,对任意的正整数n等式都成立｡ 经判断以上评述 A．命题、推理都正确 B命题不正确、推理正确 C．命题正确、推理不正确 D命题、推理都不正确 2 ．（浙江海宁一中2010届高三暑期考试（理））已知,则等于 ( ) A． B． C． D． 3 ．（选修2-2：数学归纳法及其应用）用数学归纳法证明“”（）时，从 “”时，左边应增添的式子是 （ ） A． B． C． D． 4 ．（选修2-2：数学归纳法及其应用）某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得 （ ） A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立 C．当n=4时该命题不成立 D．当n=4时该命题成立 5 ．（选修2-2：数学归纳法及其应用）用数学归纳法证明时， 由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是 （ ） A． B． C． D． 6 ．（选修2-2：数学归纳法及其应用）设，则 （ ） A． B． C． D． 7 ．（选修2-2：数学归纳法及其应用）已知n为正偶数，用数学归纳法证明 时，若已假设为偶 数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 8 ．（安徽省蚌埠二中2009届高三9月第一次质量检测（理））设n棱柱有f(n)个对角面，则n+1棱柱的对角面的个数f(n+1)等于 （ ） A．f(n)+n+1 B．f(n)+n C．f(n)+n-1 D．f(n)+n-2 9 ．（2009届上海市数学新教材高二第一学期数学月考（数列，向量，矩阵））若命题P(n)对一切的n=2成立，且由P(k)成立可以推证P(k+2)也成立，则一定有（ ） A．P(n)对所有正整数都成立 B．P(n)对所有大于等于2的正整数都成立 C．P(n)对所有正偶数都成立 D．P(n)对所有正奇数都成立 10．（福建省福州八中2009届选修4-5模块）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（浙江省台州中学08-09学年高二上学期第二次统练（文））设正数数列前n项和为,对所有正整数n都有,则通过归纳猜测可得到=___________ 12．（上海市浦东新区2008-09学年度第一学期期末质量抽测高三理）用数学归纳法证明等式：（，），验证 时，等式左边=_________． 13．（选修2-2：数学归纳法及其应用）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，能被整除”，当第二步假设 命题为真时，进而需证 时，命题亦真. 14．（选修2-2：数学归纳法及其应用）用数学归纳法证明“”时，第一步验证为 . 15．（选修2-2：数学归纳法及其应用）平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设条这样的直线把平面分 成个区域，则条直线把平面分成的区域数 . 16．（选修2-2：数学归纳法及其应用）凸边形内角和为，则凸边形的内角为 . 三、解答题 17．（福建省三地09-10学年高二五校联考（理））已知数列满足, (1)计算的值; (2)由(1)的结果猜想的通项公式,并证明你的结论｡ 18．（山东省新泰一中08-09学年高二下学期期末考试（理））已知数列{an}满足(n-1)an+1=(n+1)(an-1)且a2=6, 设bn=n+n(n∈N*).求{bn}的通项公式. 19．（广东省汕尾市08-09学年高二下学期期末考试（理））等差数列中,,为方程的两根,前项和为.等比数列的前项和(为常数). (I)求; (II)证明:对任意,; (III)证明:对任意, 20．（浙江海宁一中2010届高三暑期考试（理））若n为大于1的自然数,求证: 21．（南通市2009届高三第一次调研测试数学参考答案及评分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ）已知．用数学归纳法证明：. 22．（江苏南京市2009届高三第一次调研测试（3月））已知. （1）当时，求的值； （2）设.试用数学归纳法证明：当时，. 23．（山东省聊城市07-08学年度第二学期期末高二(理)）已知函数，且任意的 （1）求、、的值； （2）试猜想的解析式，并用数学归纳法给出证明. 24．（河南省豫南七校2008—2009学年高三上期期中联考（理））设数列满足：， （I）当时，求并由此猜测的一个通项公式； （II）当时，证明对所有的，有 （i）; （ii）. 25．（选修2-2：数学归纳法及其应用）设数列，其中， 求证：对都有 （Ⅰ）； （Ⅱ）； （Ⅲ）. 26．（选修2-2：数学归纳法及其应用）设数列，其中是不等于零的常数， 求证：不在数列中. 27．（选修2-2：数学归纳法及其应用）用数学归纳法证明： （Ⅰ）； （Ⅱ）； 28．（选修2-2：数学归纳法及其应用）用数学归纳法证明： （Ⅰ）能被264整除； （Ⅱ）能被整除（其中n，a为正整数） 29．（选修2-2：数学归纳法及其应用）用数学归纳法证明： ； 30．若数列的前n项和Sn与an满足关系：， 求证：为等差数列. 31．用数学归纳法证明. 32．用数学归纳法证明 33．已知n个圆中每两个圆相交于两点，且无三圆过同一点，用数学归纳法证明：这n个圆将平面划分成块区域. 34．用数学归纳法证明求证：：被133整除. 35．用数学归纳法证明求证：能被6 整除. 36．用数学归纳法证明： . 37．用数学归纳法证明：. 38．（江苏省成化 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 第二学期高二期末模拟 试卷 云南省高中会考试卷哪里下载南京英语小升初试卷下载电路下试卷下载上海试卷下载口算试卷下载 ）数列满足：=1，， （ INCLUDEPICTURE "C:\\DOCUME~1\\ISHUXUE\\LOCALS~1\\Temp\\ksohtml\\wps_clip_image-147.png" \* MERGEFORMATINET ） （1）求实数的值 （2）求的值，根据，，的值，猜想与的关系式，并证明你的猜想 39．（2009届杭州市第一次高考科目教学质量检测数学（理））已知数列{bn}满足条件: 首项b1 = 1, 前n项之和Bn = . (1) 求数列{bn}的通项公式 ; (2) 设数列{an}的满足条件：an＝ (1＋) a n – 1 ，且a1 = 2 , 试比较an与的大小，并证明你的结论. 40．（河南省实验中学2008-2009学年高三第一次月考（理））在数列{an}中，． （1）用数学归纳法证明：an>2（n∈N*）; （2）对于n∈N*，证明 ① ②a1+a2+a3+…+an<2n+1 41．（黑龙江哈尔滨师大附中2009届高三第一次考试(理)）已知数列 （1）若是常数列，求的值； （2）若，用数学归纳法证明： （3）若 直接证明--数学归纳法参考答案 一、选择题 1 ．C 2 ．C 3 ．B 4 ．C 5 ．B 6 ．D 7 ．B 8 ．C 9 ． C．10．D 二、填空题 11．4n-2 12． 13． 14．当时，左边=4=右边，命题正确. 15．， 16．， 三、解答题 17．解:(1)由,当时 时 时 (2)由(1)猜想 证明①当时成立 ②假设时 成立 那么时有 即时成立 综合①②可知 18．当n=1时,由(n-1)an+1=(n+1)(an-1),得a1=1. 当n=2时,a2=6代入得a3=15.同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,,由此猜想bn=2n2. 要证bn=2n2,只需证an=2n2-n ①当n=1时,a1=2×12-1=1成立 ②假设当n=k时,ak=2k2-k成立. 那么当n=k+1时,由(k-1)ak+1=(k+1)(ak-1),得a k+1=(ak-1) =(2k2-k-1)=(2k+1)(k-1)=(k+1)(2k+1)=2(k+1)2-(k+1). ∴当n=k+1时,结论成立｡ 由①、②知an=2n2-n,从而bn=2n2 19．(I)解:由得, ∴, ∵为等比数列 ∴ ∴= (II)证明:方程的两根为3、7, 由知, ∴ 20．数学归纳法 21．【证明】（1）当n=2时，左边－右边＝，不等式成立. （2）假设当n=k（）时，不等式成立，即 因为，所以，于是 当n=k+1时， . 即当n=k+1时，不等式也成立 综合（1），（2）知，对于，不等式总成立. 22．解：（1）当n＝5时， 原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋ a2(x－1)2＋ a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋ a5(x－1)5． 令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243． （2）因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n， 所以a2＝CEQ \* jc0 \* "Font:Times New Roman" \* hps21 \o(\s\up 9(2),n)2n－2． 所以bn＝EQ \* jc0 \* "Font:Times New Roman" \* hps21 \o(\s\up 9(a2),2n－3)＝2CEQ \* jc0 \* "Font:Times New Roman" \* hps21 \o(\s\up 9(2),n)＝n(n－1)（n≥2）． ①当n＝2时，左边＝T2＝b1＋b2＝2，右边＝EQ \* jc0 \* "Font:Times New Roman" \* hps21 \o(\s\up 9( 2－1),3)＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即Tk＝EQ \* jc0 \* "Font:Times New Roman" \* hps21 \o(\s\up 9( k－1),3)， 那么，当n＝k＋1时， 左边＝Tk＋bk＋1＝EQ \* jc0 \* "Font:Times New Roman" \* hps21 \o(\s\up 9( k－1),3)＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝EQ \* jc0 \* "Font:Times New Roman" \* hps21 \o(\s\up 9( k－1),3)＋(k＋1)k ＝k(k＋1)(EQ \* jc0 \* "Font:Times New Roman" \* hps21 \o(\s\up 9(k－1),3)＋1)＝EQ \* jc0 \* "Font:Times New Roman" \* hps21 \o(\s\up 9( k＋2),3)＝EQ \* jc0 \* "Font:Times New Roman" \* hps21 \o(\s\up 9(k＋1－1]),3) ＝右边． 当n＝k＋1时，等式成立． 综合①②，当n≥2时，Tn＝EQ \* jc0 \* "Font:Times New Roman" \* hps21 \o(\s\up 9( n－1),3)． 23．解：（1） （2）猜想： 证明如下： ①当n=1时， ∴猜想正确； ②假设当 那么当 由①②知，对，正确 24．解（I）由，得 由，得 由，得 由此猜想的一个通项公式：（） 。 （II）（i）用数学归纳法证明： ①当时，，不等式成立． ②假设当时不等式成立，即，那么 ． 也就是说，当时， 据①和②，对于所有，有． 。 （ii）由及（i），对，有 …… 于是， 25．三小题都用数学归纳法证明： （Ⅰ）. 当时，成立； . 假设时，成立， ∴当时，， 而； 由知，对都有. （Ⅱ）. 当n=1时，，命题正确； . 假设时命题正确，即， 当时，， ，命题也正确； 由，知对都有. （Ⅲ）. 当n=1时，，命题正确； . 假设时命题正确，即 ∴当时， ，命题正确； 由、知对都有. 26．先用数学归纳法证明；假设与条件矛盾. 27．（Ⅰ）当时，左边 （）=右边，命题正确 （Ⅱ）时，左边 28．（Ⅰ）当时， 能被264整除，命题正确. （Ⅱ）时， 能被整除. 29．当时，左边=. 30．[证明]用数学归纳法证明： . 当时，， ，即成等差数列，命题正确； . 假设时成等差数列，且公差为d， INCLUDEPICTURE "C:\\DOCUME~1\\ISHUXUE\\LOCALS~1\\Temp\\ksohtml\\wps_clip_image-238.png" \* MERGEFORMATINET 当时， ， ①—②得 ， ， 成等差数列（公差为d）， 即时命题成立，由、知成等差数列. 31．解析]记， . 当时，， ∴当时，不等式正确； . 假设时不等式正确，即， 当时， ∵ 而 ， 而， ，即时不等式正确； 根据知对，不等式正确. 32．[证明]. 当n=2时，左边， ∴当n=2时，不等式正确； . 假设当不等式正确，即， ∴当时，左边 ， ∴当时不等式也正确； 根据知对，且，不等式都正确. 33．[证明]. 当时，1个圆将平面分成2部分，而2=12－1+2， ∴当n=1时命题正确； . 假设时命题正确，即满足条件的个圆将平面划分成部分， ∴当时，平面上增加了第个圆， 它与原来的个圆的每一个圆都相交于两个不同 点，共个交点. 而这个点将第个圆分 成段弧，每段弧将原来的一块区域隔成了两 块区域，∴区域的块数增加了块， ∴个圆将平面划分成的块数为 ， 时命题也正确， 根据知命题对都正确. 34．[证明]. 当n=1时，113+123=1331+1728=3059=133×23能被133整除，∴当n=1时命题正确； . 假设当时命题正确，即能被133整除， 时， 能被133整除，即当时命题也正确； 由知命题对都正确. 35．[证明]. 当时，13+5×1=6能被6整除，命题正确； . 假设时命题正确，即能被6整除， ∴当时， ， ∵两个连续的整数的乘积是偶数，能被6整除， 能被6整除，即当时命题也正确， 由知命题时都正确. 36．[证明]. 当时，左边右边，等式成立； . 假设时等式成立，即 ， ∴当时，左边= + 右边，等式也成立； 由知等式对都成立. 37．[证明] . 当时，左边，右边，∴左边=右边，时等式成立； . 假设时等式成立，即 ， ∴当时， 左边 =右边，即时等式成立， 根据，等式对都正确. 38．（1）将a1,a2,a3的值代入an+2= an+1+2an+t得t= - 1 （2）a4=a3+2a2 – 1=3+4 – 1=6 ∴a3+a4=9 由于a1+a2=2＋１, a2+a3=22 +1, a3+a4=23+1 猜测可得：an+an+1=2n+1 证明：n=1时，a1+a2=21+1成立 假设n=k时，ak+ak+1=2k+1成立 则n=k+1时，ak+2+ak+1=ak+1+2ak+ak+1-1=2(ak+1+ak)-1 利用归纳假设得 ak+2+ak+1=2·(2k+1)-1=2k+1+1 ∴ n=k+1时命题也成立 ∴ 对n∈N＊有an+an+1=2n+1成立 （也可以用其他方法证明） 39．(1) 当n >1时, bn = Bn –Bn – 1 = –= 3n－2 令n = 1得b1＝1, ∴bn＝3n－2 （2）由an＝ (1＋) a n – 1 ，得 ∴an＝ 由a1 = 2 ,bn＝3n－2知， an＝(1＋)(1 + )…(1＋)2＝(1＋1)(1＋)…(1＋) 又= = , 设cn= , 当n＝1时，有(1＋1) = ＞ 当n＝2时，有an＝(1＋1)(1＋) = = > = = cn 假设n＝k(k≥1)时an>cn成立，即(1＋1)(1＋)…(1＋)>成立, 则n＝k＋1时， 左边=＝ (1＋1)(1＋)…(1＋)(1＋) >(1＋)= INCLUDEPICTURE "C:\\DOCUME~1\\ISHUXUE\\LOCALS~1\\Temp\\ksohtml\\wps_clip_image-1078.png" \* MERGEFORMATINET 右边= c k + 1= = 由(ak+1)3 – (c k + 1)3 =(3k + 1)–(3k+4) = =>0, 得ak+1 > c k + 1成立. 综合上述, an>cn对任何正整数n都成立 40．（1）证明：当n=1时，a1=>2，结论成立 假设n=k（k≥1）不等式ak>2成立 当时，， 由ak>2得ak+1－2>0即a​k+1>2 说明当n=k+1时，不等式也成立 根据以上，可知不等a​n>2对于n∈N*都成立。 （2）证明：①由（1）可知an>2（n∈N*），∴an+1－2>0 an－2>0 则 ，则，则，即 ②由（1）可知，当n≥2时， 则 当，不等式也成立，故对于任意n∈N*，都有a1+a2+a3+…+an<2n+1 41．（1） （2）（3）略 第 19 页 共 19 页 直接证明--数学归纳法