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利用函数的单调性解方程或解(证)不等式
吴厚荣
(北京师范大学厦门海沧附属实验中学，北京361026)
摘要：函数的单调性是中学数学教材中介绍函数的一种重要性质，函数的单调性在解决方程，不等式问题时扮演着重要角色。
关键词：单调性；解方程；解(证)不等式
我们知道函数，方程，不等式三者之间是互
相联系的，函数的单调性是中学数学教材中介
绍函数的一种重要性质，函数的单调性在解决
方程，不等式问题时扮演着重要角色，本文介绍
利用函数的单调性解方程或解(证)不等式。
1用函数的单调性解方程：
题目1：解方程：√i互一2√石j+2：o。
法：令，“)：后花一2靠；+2(一2
o)，则有：
f-：(J)一口+a2+”壶(x>DJ。
利用性质：若函数v=f(x)是单调递增函数，
则函数y=f(x)与它的反函数图象的交点必在直
线y=x上。
’．‘，(x)：(z+口)2+去一口z在x∈(o，+∞)上
是增函数，
”
．·．原方程与方程，(z)=x“>o)同解，即为方
程：J。+2“+京2。“>o’的解。
解玉工：l(1-2a-√—4a2_4—a+32a )；工= )；1厂——_i
x22-2a+、／4a2-4a+亏)。
显然，x2>0又因为
4a2，4a}；o，
故而x。，x：均为原方程的解。
题目3：设奇函数fix)是严格单调递增函数，
(1)证明：方程，(曲+f(ax+b)=0与方程
0+1h+6=o是同解方程；
(2)解方程：(5x+3)3+，十6J+3=o。
法：(1)‘．"fix)是奇函数，．’．，(一曲=-f(x)，
所以，已知寺，(“+b)=一，(曲=，(一x)。又因为￡
(x)是严格单调递增函数，
．ax+b=—x甘f(ax+b)=f(--x)甘·∞+1n+6=0。
(2)(缸+3)3+，+6J+3=o{}(5，+3)3+(缸+3)+一+x=o
令g(z)=x3+z，则g(x)在x∈R上是奇函数且为
严格单调递增函数。又因为g(x)十g(5x+3)=o，
利用(1)结论有：g仁)+g(5x+3)=0甘(5+1h+3=0，
1 1
解之．。2一j。所以原方程解为。～2。
2利用函数的单调性解不等式：
题目l：(1)解不等式：‘j+√不+6丽>9。
(2)解不等式：log，2’+J>4。
(3)解不等式：蚣一10'>n一』。
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法：(1)令，(曲=√；j+√i再+√五可一9(z芝1)，
则函数f(x)在z∈【1，+oo)为递增函数i‘，(5)=o’所
以原不等式解集为x∈(5，+。。)．
(2)令，(x)=log尹2’+z一4(x>一2)，则函数f
fx)在x∈(-2，+。。)为递增函数。
因为，(2)=o，所以原不等式解集为，∈(2，+嘲
(3)4"y(工)=lgx一10。+工一a(x>0)，贝0
函数fix)在x∈(0，+oo)为递增函数。
因为“l酽)=0，所以原不等式解集为xefio。，+耐
3利用函数的单调性证明不等式：
题目1：若n>l求证：
1 1 1 13——+——+⋯···+——>——．
n+1，l+2 2n 24
法：令
f(n)=嘉+南扣叶荔1一嚣(删'2’3，⋯)．
则有：
舳+1)：上+土+⋯-+上+Jt一+—L一旦m+)。壶+南扣‘+寺+丽+二2n+2一兹
于是，他十1)-，∽=i1石+i莉1一鬲1
1 1 (2n+2)一(2n+1)
2n+12n+2(2n+1)(2n+2)
=i—i去_i>0咎，∽+1)>f(n)
(2n+1)(2n+2)一 ’，又
．．．f(2)=j1+i1一i13=瑟1>。，．．．_厂(，z)为递增
函数，即，(n)>f(n一1)>⋯>f0)>o，所以原命
题成立。
题目2：已知：a>0．b>0．n∈N+，求证：
!!竺>f型生r
2
‘
2。。
盟竺 掣
法：令m’2南‘”。4““m，则有m“净i至a+争b。
，研+1) 2∞”+6⋯)于是，酉2≯≮驴耳孑i再’
一2(a“+1+6”+1)一(口”+1+b”+1+如”+口”6)=
an+1+b””一ab”一d”6=(n一6)(口”一6”)≥0，
．·．等>l刚州)>，㈣。
a+b
’f(1)2南51
又—丁一 ，．．“n)为递增函数，所以
，(呻>f(n一1)>⋯>，(1)=1，
即原命题成立。
题目3(2008福建高考理科22题)：已知函
数f(x)=ln(1+x)一x，
(I)求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)记“x1在区间to，nl(n∈N+止的最小值为
b。，令an=In(1+，z)～玩．
(1)如果对一切n，不等式√％<√‰z一手J_
恒成立，求实数C的取值范围；
。‰2
⋯阻、f旦+盟+⋯．+盟竺丝<扛而一1(2)求证：吼。axat。吼⋯q。。”。
法：(I)解“略”，
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
：f(X)的单调递增区间
为(一10)；单调递减区间为(0，3C)：
(Ⅱ)’，(z)在[o'n】∽∈N+)上是减函数，所
以阮=，(n)=lrI(1+n)一n，
贝Ua。=In(1+n)一％=tn(1+n)一In(1+H)+n=n．
(1)扛<√石一告
、，4一+2
，cc√瓦i(√石一√i)=√丽(√莉一打)。
令g(n)：石瓦(√莉一石)：一+2一石丽：，则有：
g(n+1)=n+3-√m+1)2+2m+1)，于是，
g研十1)一g(n)=1+√：j’；五一、厅i；i尹jIi：丽
：l+、—；丝三!
√n2+2n+√m+1)2+2(n+1)
c1+而雨-≮2n-丽3f=lq一两可-2n丽-3面21一l=。
=}g(n+1)1．因此c曼l
即实数c的取值范围是(一o。，1l
(1)令s∽2毒+嚣扣’叶豢等一厨+·
则有：如+1)2：+嚣-⋯紫《；：薏等一厄i再¨。
干旱如删一s栅=i：÷÷豢+扛再一J瓦再一兰2X4；；嵩+于是， 吼‰ ∞十目
√雨一Z．4iZ'gq，【豢篙援卜等等等券；字丽1c赤；篇，丽12n 3 4 67．n 3，丽厕孺南磊．+ 2蜘 +2)√抽+ ．⋯⋯ 一 √2n+】+、f拼3．
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