对函数周期性中容易混淆的若干问题探讨

对函数周期性中容易混淆的若干问题探讨 浙江衢州教委教研宣 李世杰上海崇明民本中学吴卫国 上海师大张方盛 各种中学数学教学书刊已有不少函数周期 性问题的论述，其中有些似是而非且易迷惑．今 选具有典型性问题，分三个方面进行探讨． 一、片面理解或盲目引伸定义问题 全国及各省市中学数学课本对函数周期性 采用如下定义1： 对于函数，，=．厂(菇)，如果存在一个不为零 的常数r，使得当龙取定义域内的每一个值肘， “菇+r)=八z)都成立，那么厂(髫)叫做周期函 数，r叫做这个函数的周期⋯⋯． 一些中学数学教学书刊曾引伸出一些命 题，今归纳出如下六个： 1．若r(≠0)是．厂(菇)的周期，则±凡r(陀∈ 』＼『‘)是“戈)的周期；2．若，(戈)有最小正周期 r。，则．厂(戈)的所有周期r=±nr’(n∈Ⅳ+)； 3．周期函数．厂(戈)的定义域必两端无界；4。周 期函数．厂(菇)的定义域必对称于原点；5．若函数 “搿)有正周期、无最小正周期，则必有任意小 的正周期；6．若函数“茗)的图像或函数值重复 出现，则厂(戈)为周期函数；反之亦真． 必须指出，对满足定义l的周期函数厂(菇) 来说，上述六个命题都是假的．下面举出反例： ①厂(菇)=sill茹，茗∈(0，+∞)仅有正周期 2凡丌(n∈Ⅳ+)，可知命题1、3、4均不真；④厂(石) =l，菇∈{0}U[1，+∞)，易证最小正周期r。 =1且[1，+∞)中任一个数都是，(名)的周期． 即命题2不真；⑧厂(菇)=1，茹∈{o}U(1，+∞)， 易知八省)的周期集合为(1，+∞)，却无r’．即 命题5不真；至于命题6不真，请见参考文献 [1]尸123． 将上述命题都看作真命题，是由于对定义 1的片面理解(特别是误认定厂(戈一r)有意义) 或盲目地将一类特殊的周期函数——基本三角 函数所具有的共性引伸到一般的周期函数所造 成． 通常《高等数学》采用周期函数定义2与定 义l不同．(将定义l中等式改为“厂(石+r)=， (菇)=．厂(石一r)”)，对满足定义2的周期函数来 说，命题1q及命题6的逆命题均为真；但命 题4仍不真，例厂(菇)=√sin茗一l为周期函数， 但定义域却不对称于原点．命题6的正命题仍 不真． 二、定义1和定义2的等价性问题 下面研究函数．厂(戈)具备什么条件时定义 1、定义2等价，这是有现实意义的．有人在探索 中提出了下列命题： 命题1若函数厂(茗)的定义域为左右两端 无界的某一实数集，则两定义一致． · 31 · 万方数据 命题2当且仅当．厂(菇)的定义域D关于 原点对称时，这两定义等价． 我们指出命题1不真．反例：．厂(菇)=1，菇∈ AuB，其中A=孽Ⅲ+爱]，肚。夏，[聘，AUB，其中A=u[凡，，l+旦{{]，B=u[聘，n2U ，‘T厶 n=一l 厅一i与]，可知在定义1意义下，厂(菇)是以l 为周期的函数，却不是定义2下的周期函数，详 见[1]P．127；命题2中“D对称于原点”仅是两 定义等价的充分条件．上面提到的厂(z)= ~／sin菇一二l是同时满足定义1、2的周期函数，其 D却不对称于原点．故命题2应修正为：“若函 数．厂(戈)的定义域对称于原点，则这两定义等 价．” 下面给出有关两定义等价的两个定理： 定理1若函数．厂(并)的定义域D关于某 点菇=菇。对称时，则两定义等价． 证满足定义2显然满足定义1，只需证 满足定义l时也满足定义2． 在定义l下，对任意菇∈D，都有厂(石+r) =，(茗)．因D关于菇=菇。对称，故有2石。一石∈ D且，(2石。一菇+F)=，(2石。一茹)恒成立．这表 明2石。一髫+r∈D．从而2搿。一(2龙。一菇+r)= 龙一r∈D，即定义2的条件也满足． 定理2若定义1下的周期函数厂(戈)(戈∈ D)同时有正、负周期n、死，且rl／死为有理 数，则两定义等价． 证证rl／死=一p／g(p、9∈Ⅳ‘且(p，g) =1)，于是gn+p易=O，(g—1)rl+p易=一 乃．不论g=l或g>1，对任意戈∈D，都有 ＆二功=厂(z+(g一1)n+p砭]=贼 地上射．故两定义等价． 三、周期丁与最小正周期丁’相混问题． 据了解，有不少课本、教学参考书都提到： ·32· “我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角 函数的最小正周期．”我们认为将两者随便相 混，会带来以下弊病． 1．不利于概念教学 尽管r与r’密切联系，但毕竟是不同的 两个基本概念．如丁有正、有负，而r。却是正 的、且是所有正周期中最小的一个；周期函数必 有周期且有无数个，而r。未必存在，即使存在 必只有一个．把这两个不同的基本概念随便相 混，怎能搞好概念教学呢?!还有可能得出“周 期函数都有最小正周期”、“研究函数周期性就 是求周期函数的最小正周期”等片面观点． 2．在教学中会带来不必要麻烦 有些课本、教学参考书，仅从“siIl2菇= sin2(戈+7r)、唔(菇+7r)=瞎Ⅳ成立，立即分别得 出r。=丌”，这不能说与r、r。相混无关；又如 某些省市仍在使用的全国通用课本，将“求'，= 3c0S搿的最小正周期”写成“求y=3cos戈的周 期”，而求解一开头，就写上“因为cos菇的最小 正周期是2丌”，而到得出最后结论：“周期是 2丌”时，又担心读者误解，编者特地在“周期”之 后添上“(即最小正周期，下同)”．这种前后说法 不一，似乎是自讨苦吃． 3．给研究周期函数的和、差、积、商制造混 乱 研究两周期函数的和、差、积、商问题，有一 定的理论与实际价值，而且与当前中学、中专的 函数周期性教学有一定联系． 当两个周期函数具备一定条件时得出其 和、差、积、商仍为周期函数．那时，结果的周期 丁或最小正周期丁。，一般是不允许混淆．否则 难免不出错．如函数sh戈、cos髫的r’=2丌，且 它们之积或商的r。=7r．如将r与r+相混，写 上：“函数血菇、cos省之积或商的周期r=7f”是 万方数据 错的；除非改写“函数sin菇、cos石之积或商的周 期r=h，(．|}∈z但J}≠0)”才是对的．又如，函 数s岔菇、cos2戈的F。=7f，但它们之和却是没有 最小正周期的周期函数，显然，它们之和的周期 存在且为一切非零实数．如果此时将丁与r’ 相混，岂不闹成笑话． 关于建立周期(或非周期)函数之和差积商 的命题中容易混淆的问题，[1]已有详述，这里 从略． 从上述探讨引起注意的是：在进行函数周 期性的教学、科研时，宜以课本的函数周期性定 义为基础，未经严格论证，不能想当然地将特殊 周期函数所具有的性质搬到一般的周期函数中 去． 参考文献 [1]函数中容易混淆的典型个例剖析(张方 盛、李世杰等编著上海大学出版社1999年12 月) [2]谈谈函数周期性问题(张方盛、林纬华 北京《数学通报》1980(10)． [3]对周期函数课本定义的商榷与建议(李 世杰上海师大《中学数学教学》1988(3))． 在数学教学中如何发挥其美育功能 天津师范学校张春美 数学是研究数量关系和空间形式的科学， 不仅是已知其存在的关系和形式，而且是可能 存在的关系与形式；数学美即蕴涵于数学所特 有的抽象概念，公式符号，命题模型，结论系统， 推理论证、思维方法⋯⋯之中的简单、和谐、严 谨、奇异等形式，它是数学创造的自由形式，它 提示了规律性，是科学与人类的理论、意志和情 感共同构筑的美． 在中学数学教学中，人们只重视基础知识 和基本技能的传统和训练，而忽视了发掘数学 本身所特有的美，不注意用数学美来感染学生， 培养学生的求知欲望，激发他们的学习兴趣，不 重视引导学生发现数学美，鉴赏数学美，更谈不 上引导学生创造数学美，以致使不少学生感到 数学抽象枯燥，失去学好数学的信心． 数学教师在教学中如何发挥数学的美育功 能呢?本文就这个问题作初步探讨． 一、展示数学的美，激发学习兴趣． 没有兴趣的强制性学习，将会扼杀学生探 求真理的欲望．兴趣是强烈而又持久的学习动 机，只有学生热爱数学，才能产生积极而又持久 的求学劲头．因此，教师应充分发挥数学美的诱 发力引起学生浓厚的学习兴趣、强烈的求知欲 · 33· 万方数据 对函数周期性中容易混淆的若干问题探讨 作者： 李世杰， 吴卫国， 张方盛 作者单位： 李世杰(浙江衢州教委教研室)， 吴卫国(上海崇明民本中学)， 张方盛(上海师大) 刊名： 上海中学数学 英文刊名： SCHOOL MATHEMATICS IN SHANGHAI 年，卷(期)： 2001，(2) 引用次数： 0次 参考文献(2条) 1.张方盛.李世杰 函数中容易混淆的典型个例剖析 1999 2.李世杰 对周期函数课本定义的商榷与建议 1988(3) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_shzxsx200102009.aspx 下载时间：2009年11月12日