差错控制

第六章 差错控制 1.差错控制的基本概念 1.1 差错的特点 由于通信线路上总有噪声存在，噪声和有用信息中的结果，就会出现差错。 噪声可分为两类，一类是热噪声，另一类是冲击噪声，热噪声引起的差错是一种随机差错， 亦即某个码元的出错具有独立性，与前后码元无关。 冲击噪声是由短暂原因造成的，例如电机的启动、停止，电器设备的放弧等，冲击噪声引起 的差错是成群的，其差错持续时间称为突发错的长度。衡量信道传输性能的指标之一是误码率PO。PO=错误接收的码元数/接收的总码元数目前普通电话线路中，当传输速率在600~2400bit/s时，PO在 INCLUDEPICTURE "../jds/资料/图书/《数字电视与有线电视综合网》教材/www.bbnc.com.cn/dig_library/images/formulas/1.gif" \* MERGEFORMAT 之间，对于大多数通信系统，PO在之间，而计算机之间的数据传输则要求误码率低于。 1.2 差错控制的基本方式 差错控制方式基本上分为两类，一类称为“反馈纠错”，另一类称为“前向纠错”。在这 两类基础上又派生出一种称为“混合纠错”。  (1)反馈纠错  这种方式在是发信端采用某种能发现一定程度传输差错的简单编码方法对所传信息进行编码 ，加入少量监督码元，在接收端则根据编码规则收到的编码信号进行检查，一量检测出(发 现)有错码时，即向发信端发出询问的信号，要求重发。发信端收到询问信号时，立即重发 已发生传输差错的那部分发信息，直到正确收到为止。所谓发现差错是指在若干接收码元中 知道有一个或一些是错的，但不一定知道错误的准确位置。图6－1给出了“差错控制”的 示意方框图。  (2)前向纠错  这种方式是发信端采用某种在解码时能纠正一定程度传输差错的较复杂的编码方法，使接收 端在收到信码中不仅能发现错码，还能够纠正错码。在图6－1中，除去虚线所框部分就是前 向纠错的方框示意图。采用前向纠错方式时，不需要反馈信道，也无需反复重发而延误传输 时间，对实时传输有利，但是纠错设备比较复杂。  (3)混合纠错  混合纠错的方式是：少量纠错在接收端自动纠正，差错较严重，超出自行纠正能力时，就向 发信端发出询问信号，要求重发。因此，“混合纠错”是“前向纠错”及“反馈纠错”两种 方式的混合。  对于不同类型的信道，应采用不同的差错控制技术，否则就将事倍功半。  反馈纠错可用于双向数据通信，前向纠错则用于单向数字信号的传输，例如广播数字电视系统，因为这种系统没有反馈通道。 1.3 误码控制基本原理  我们先举一个日常生活中的实例。如果你发出一个通知：“明天14：00~16：00开会”，但在通知过程中由于某种原因产生了错误，变成“明天10：00~16：00开会”。别人收到这个错误通知后由于无法判断其正确与否，就会按这个错误时间去行动。为了使收者能判断正误，可以在发通知内容中增加“下午”两个字，即改为：“明天下午14：00~16：00开会”， 这时，如果仍错为：“明天下午10：00~16：00开会”，则收到此通知后根据“下午”两字即 可 判断出其中“10：00”发生了错误。但仍不能纠正其错误，因为无法判断“10：00”错在何处，即无法判断原来到底是几点钟。这时，收者可以告诉发端再发一次通知，这就是检错重发。为了实现不但能判断正误(检错)，同时还能改正错误(纠错)，可以把发的通知内容再增 加“两个小时”四个字，即改为：“明天下14：00~16：00两个小时开会”。这样，如果其 中“14：00”错为“10：00”，不但能判断出错误，同时还能纠正错误，因为其中增加的“ 两个小时”四个字可以判断出正确的时间为14：00~16：00”。  通过上例可以说明，为了能判断传送的信息是否有误，可以在传送时增加必要的附加判断数 据；如果又能纠正错误，则需要增加更多的附加判断数据。这些附加数据 在不发生误码的情况之下是完全多余的，但如果发生误码，即可利用被传信息数据与附加数 据之间的特定关系来实现检出错误和纠正错误，这就是误码控制编码的基本原理。具体地说 就是：为了使信源代码具有检错和纠错能力，应当按一定的规则在信源编码的基础上增加 一些冗余码元(又称监督码)，使这些冗余码元与被传送信息码元之间建立一定的关系，发信 端完成这个任务的过程就称为误码控制编码；在收信端，根据信息码元与监督码元的特定关 系，实现检错或纠错，输出原信息码元，完成这个任务的过程就称误码控制译码(或解码)。 另外，无论检错和纠错，都有一定的误别范围，如上例中，若开会时间错为“16：00~18：0 0”，则无法实现检错与纠错，因为这个时间也同样满足附加数据的约束条件，这就应当增 加更多的附加数据(即冗余)。我们已知，信源编码的中心任务是消去冗余，实现码率压缩， 可是为了检错与纠错，又不得不增加冗余，这又必然导致码率增加，传输效率降低；显然这 是个矛盾。我们分析误码控制编码的目的，正是为了寻求较好的编码方式，能在增加冗余不 太多的前提下来实现检错和纠错。 再者，经过信源编码，如果传送信道容量与信源码率相匹配，而且 信道内引入的噪声较小，则误码率一般是很低的。例如，当信道的信杂比超过20dB时，二元 单极性码的误码率低于，即误码率只分之一，故通过信道编码实现检错 和纠错是可以做到的。 1.4 误码控制编码的分类 随着数字通信技术的发展，研究开发了各种误码控制编码方案，各自建立在不同的数学模型 基础上，并具有不同的检错与纠错特性，可以从不同的角度对误码控制编码进行分类。  按照误码控制的不同功能，可分为检错码、纠错码和纠删码等。检错码仅具备识别错码功能 而无纠正错码功能；纠错码不仅具备识别错码功能，同时具备纠正错码功能；纠删码则不仅 具备识别错码和纠正错码的功能，而且当错码超过纠正范围时可把无法纠错的信息删除。  按照误码产生的原因不同，可分为纠正随机错误的码与纠正突发性错误的码。前者主要用于 产生独立的局部误码的信道，而后者主要用于产生大面积的连续误码的情况，例如磁带数码 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 中磁粉脱落而发生的信息丢失。 按照信息码元与附加的监督码元之间的检验关系可分为线性码与非线性码。如果两者呈线性 关系，即满足一组线性方程式，就称为线性码；否则，两者关系不能用线性方程式来描述， 就称为非线性码。  按照信息码元与监督附加码元之间的约束方式之不同，可以分为分组码与卷积码。在分组码 中，编码后的码元序列每n位分为一组，其中包括k位信息码元和r位附加监督码元，即n=k+r ，每组的监督码元仅与本组的信息码元有关，而与其他组的信息码元无关。卷积码则不同， 虽然编码后码元序列也划分为码组，但每组的监督码元不但与本组的信息码元有关，而且与前 面码组的信息码元也有约束关系。  按照信息码元在编码之后是否保持原来的形式不变，又可分为系统码与非系统码。在系统码中，编码后的信息码元序列保持原样不变，而在非系统码中，信息码元会改变其原有的信号序列。由于原有码位发生了变化，使译码电路更为复杂，故较少选用。  根据编码过程中所选用的数字函数式或信息码元特性的不同，又包括多种编码方式。对 于某种具体的数字设备，为了提高检错、纠错能力，通常同时选用几种误码控制编码方式。 在 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 6－1中，列出了常见的几种误码控制编码方式。以下，以线性分组码为例，对几种简单 的编码方式进行介绍。   1.5 有关误码控制编码的几个基本概念 (1)信息码元与监督码元  信息码元又称信息序列或信息位，这是发端由信源编码后得到的被传送的信息数据比特，通 常以k表示。由信息码元组成的信息组为：  在二元码情况下，每个信息码元m的取值只有0或1，故总的信息码组数共有个，即不同信息码元取值的组合共有组。  监督码元又称监督位或附加数据比特，这是为了检纠错码而在信道编码时加入的判断数据位 。通常以r表示，即为：  n=k+r或r=n－k  经过分组编码后的码又称为(n,k)码，即表示总码长为n位，其中信息码长(码元数)为k位， 监督码长(码元数)为r=n－k。通常称其为长为n的码字(或码组、码矢)。 (2)许用码组与禁用码组  信道编码后的总码长为n，总的码组数应为，即为。其中被传送的信息码组 有个，通常称为许用码组；其余的码组共有()个，不传送，称为禁用码组。 发端误码控制编码的任务正是寻求某种规则从总码组()中选出许用码组；而收端译码的 任务则是利用相应的规则来判断及校正收到的码字符合许用码组。通常又把信息码元数目k 与编码后的总码元数目(码组长度)n之比称为信道编码的编码效率或编码速率，表示为：  R=k/n=k/k+r  这是衡量纠错码性能的一个重要指标，一般情况下，监督位越多(即r越大)，检纠错能力越 强，但相应的编码效率也随之降低了。  (3)码重与码距  在分组编码后，每个码组中码元为“1”的数目称为码的重量，简称码重。两个码组对应位置上取值不同(1或0)的位数，称为码组的距离，简称码距，又称汉明距离，通常用d表示。 例如：000与101之间码距d=2；000与111之间码距d=3。对于(n,k)码，许用码组为个， 各码组之间距离最小值称为最小码距，通常用表示。码距又称汉明距。  最小码距的大小与信道编码的检纠错能力密切相关。以下举例说明分组编码的最小码距 与检纠错能力的关系。  设有两个信息A和B，可用1比特表示，即0表示A，1表示B，码距=1。如果直接传送信息 码，就没有检纠错能力，无论由1错为0，或由0错为1，收端都无法判断其错否，更不能纠正 ，因为它们都是合法的信息码(许用码)。这可用图6－2来说明。由图中看出，A与B之间最小 码距为1，只要发生一位误码就会变成另一个许用码，无法检纠其错误。      如果对这两个信息A和B经过信道编码，增加1比特监督码元，得到(2，1)码组，即：n=2、k= 1、r=n-k=1，就具有检错能力，由图6－3来说明。  由于n=2，故总码组数为， 以由于k=1，故许用码组数，其余为禁用码组。由图中看出，许用码组有两种选 择方式，即00与11，或01与10，其结果是相同的，只是信息码元与监督码元之间的约束规律 不同。现采用信息码元重复一次得到许用码组的编码方式，故许用码组为00表示A，11表 示B。这时A和B都具有1位检错能力，因为无论A(00)或B(11)如果发生一位错码，必将变成01 或10，这都是禁用码组，故收端完全可以按不符合信息码重复一次的准则来判断为误码。但 却不能纠正其错误，因为无法判断误码(01或10)是A(00)错误造成还是B(11)错误造成，即无 法 判定原信息是A或B，或说A与B形成误码(01或10)的可能性(或概率)是相同的。由图6－3中 又可看出，如果产生二位错码，即00错为11，或11错为00，结果将从一个许用码组变成另 一个许用码组，收端就无法判断其错否。通常用e表示检错能力(位数)，用t表示纠错能力( 位数)。由上述分析可知，当=2的情况下，码组的检错能力e=1，纠错能力t=0。  为了提高检纠错能力，可对上述二个信息A和B经过信道编码增加2比特监督码元，得到(3，1 )码组，即n=3、k=1、r=n－k=2，总的码组数为，由图6－4来说明其检 纠错能力。  信道编码后，许用码组之间的最小码距d0越大，检纠错的能力就越高。此例中由于k=1,=2，故只有2个许用码组，其余6个为禁用码组。由图中可以看出，满足 最 小码距为最大的条件共有4种选择方式，即为(000与111)、(001与110)、(010和101)、(011 与100)，这四种选择方式具有相同的最小码距，故其抗干扰能力或检纠错能力也相同。为了 编码直接、简便，选择二重重复编码方式，即按信息码元重复二次的规律来产生许用码组， 编码结果为000表示A，111表示B，由图中黑点代表，A与B之间的码距=3。   由图中可以看出，这时的两个许用码组A或B都具有一位纠错能力。例如，当信息A(000)产生 一位错误时，将有三种误码形式，即001或010或100，这些都是禁用码组，可确定是误码。 而且这三个误码距离最近的许用码组的000，与另一个许用码组111的距离较远，根据误码 少的概率大于误码多的概率的规律，可以判定原来的正确码组是000，只要把误码中的1改 为0即可得到纠正。同理，如果信息B(111)产生一位错误时，则有另三种误码可能产生，即1 10或101 或011，根据同样道理可以判定原来的正确码组是111，并能纠正错误。但是，如果 信息A(000)或信息B(111)产生两位错误时，虽然能根据出现禁用码组识别其错误，但纠错时 却会作出错误的纠正造成误纠错。如果信息A(000)或信息B(111)产生三位错误时，将从一个 许 用码组A(或B)变成了另一个许用码组B(或A)，这时既检不出错，更不会纠错了，因为误码已 成为合法组合的许用码组，译码后必然产生错误。  综上所述，可以得到分组编码最小码距与检纠错能力的关系有以下三条结论：  ①在一个码组内为了检测e个误码，要求最小码距应满足：  ≥e＋1  ②在一个码组内为了纠正t个误码，要求最小码距应满足：  ≥2t＋1  ③在一个码组内为了纠正t个误码，同时能检测e个误码(e＞t)，要求最小码距应满足：  ≥e＋t＋1 2 纠错编码方式简介 2.1 奇偶监督码 奇偶校验码也称奇偶监督码，它是一种最简单的线性分组检错编码方式。其方法是首先把信 源编码后的信息数据流分成等长码组 ，在每一信息码组之后加入一位(1比特)监督码元作为 奇偶检验位，使得总码长n(包括信息位k和监督位1)中的码重为偶数(称为偶校验码)或为奇 数 (称为奇校验码)。如果在传输过程中任何一个码组发生一位(或奇数位)错误，则收到的 码组必然不再符合奇偶校验的规律，因此可以发现误码。奇校验和偶校验两者具有完全相 同的工作原理和检错能力，原则上采用任一种都是可以的。  由于每两个1的模2相加为0，故利用模2加法可以判断一个码组中码重是奇数或是偶数。模2 加法等同于“异或”运算。现以偶监督为例。  对于偶校验，应满足   故监督位码元a0可由下式求出：   (2－2)  不难理解，这种奇偶校验编码只能检出单个或奇数个误码，而无法检知偶数个误码，对于连续多位的突发性误码也不能检知，故检错能力有限，另外，该编码后码组的最小码距为 =2，故没有纠错码能力。  奇偶监督码常用于反馈纠错法。 2.2 行列监督码 行列监督码是二维的奇偶监督码，又称为矩阵码，这种码可以克服奇偶监督码不能发现偶数 个差错的缺点，并且是一种用以纠正突发差错的简单纠正编码。  其基本原理与简单的奇偶监督码相似，不同的是每个码元要受到纵和横的两次监督。具体编 码方法如下：将若干个所要传送的码组编成一个矩阵，矩阵中每一行为一码组，每行的最后 加上 一个监督码元，进行奇偶监督，矩阵中的每一列则由不同码组相同位置的码元组成，在每列 最后也加上一个监督码元，进行奇偶监督。如果用×表示信息位，用表示监督位，由矩阵 码 的结构可如图6－5所示，这样，它的一致监督关系按行及列组成 。每一行每一列都是一个 奇偶 监督码，当某一行(或某一列)出现偶数个差错时，该行(或该列)虽不能发现，但只要差错所 在的列(或行)，没有同时出现偶数个差错，则这种差错仍然可以被发现。矩阵码不能发现 的差错只有这样一类：差错数正好为4倍数，而且差错位置正好构成矩形的四个角，如图6－ 5中所示有的差错情况。因此，矩阵码发现错码的能力是十分强的，它的 编码效率当然比奇偶监督码要低。  2.3 恒比码  恒比码又称为定比码。在恒比码中，每个码组“1”和“0”都保持固定的比例，故得此名。 这种码在检测时，只要计算接收到的码组中“1”的数目是否对就知道有无错误。 在我国用电传机传输汉字时，只使用阿拉伯数字代表汉字。这时采用的所谓“保护电码”就 是“3∶2”或称“5中取3”的恒比码，即每个码组的长度为5，其中“1”的个数总是3，而 “0”的个数总是2。如表6－2所示。 表 6－2 数字字符 普通的五单位码 恒比码 1 2 3 4 5 11101 11001 10000 01010 00001 01011 11001 10110 11010 00111 6 7 8 9 0 10101 11100 01100 00011 01101 10101 11100 01110 10011 01101  本来以5位码元组成的码组总共可以有25=32种，而恒比码规定只有确切地含有3个“1”， 2个“0”的那些码组为准用码组，而有3个“1”，2个“0”的5位码组共有多少?这是“5中 取3”求组合的算法，组合数为，一般情况下， 从“n中取m”(m＜n＝恒比码的码组数为：   由此可以看出，恒比码实际上是n个码元传送比特信息，例如上述“3∶2”即 “5中取2”恒比码，用5位码只传10种信息。每个码组的信息量为，有5-3.3=1.7bit作为代价付出。  恒比码适用于传输字母和符号。 2.4 汉明码 汉明码属于线性分组编码方式，大多数分组码属于线性编码，其基本原理是，使信息码元与 监督码元通过线性方程式联系起来。线性码建立在代数学群论的基础上，各许用码组的集合 构成代数学中的群，故又称为群码。  (1)校验子和监督关系式  我们先回顾一下按式(2－2)条件构成的偶数监督码。由于我们使用了一位监督码C0，它就 能和信息码一起构成一个代数式，在接收端解码时，我们实际上是在计算 ，  若S=0，就认为无错码。若S=1，就认为有错码。上式就是一致监督关系式。S称为“校验子 ”。由于校验子S的取值只有这样两种，它就只能代表有错和无错两种信息，而不能指出错 码的位置。我们不难推想，如监督位增加一位，变成两位，则能增加一个类似于式(2－3)的 监督关系式。两个校验子的可能值有4种组合00，01，10，11。故能表示4种不同的信息，其 中一种表示无错，其余三种就有可能用来指示一位错码的3种不同位置。同理，r个监督关系 式能指示一位错码的()个可能位置。  一般说来，若码长为n，信息码为k，则监督码数r=n-k。若希望用r个监督码构造出r个监督 关系式来指示一位错码的n种可能位置，则要求：   下面通过一个例子来说明如何具体构造这些监督关系式。 设分组码(n、k)中k=4，为了能纠正一位错码，按式(2－4)可知，要求监督码数r≥3，现取r =3，则n=k+r=4+3=7，这是一种(7、4)分组码。我们用表示这7个码 元，，表示三个监督关系式中的校验子，则的值与错码位置 的对应关系可以规定如表6－3，(当然也可以规定成另一种对应关系，这不影响讨论一般性 )。  按表6－3的规定，仅当有一个错码位置在时，校验子S1为1 ，否则S1为0，这就意味着四个码元构成偶数监督关系： 错码位置 错码位置 001 101 010 110 100 111 011 000 无错码   同理，构成偶数监督关系： 以及构成偶数监督关系：  (2)监督码的确定  在发送端编码时，信息码的值决定于输入信号，是随机的。而监督 码则应根据信息码的取值按监督关系式决定。即监督码的取值应使上三式 中的值为0，表示编成的码组中无错码： 由上式移项解出监督码：(在模2加法中，移项后没有负号)  已知信息码后，直接按上式可算出监督码，计算结果得出16个码组列于表6－4中。 信息码 监督码 信息码 监督码 0000 000 1000 111 0001 011 1001 100 0010 101 1010 010 0011 110 1011 001 0100 110 1100 001 0101 101 1101 010 0110 011 1110 100 0111 000 1111 111     (3)解码过程  接收端收到每个码组后，按下述顺序解码。先按式(2-4)～(2－6)计算出再按表6－3判断错误情况。例如，若接收码组为0000011，按式(2－4)～(2－6)计算得： ， 由于，查表6－3可知有一错码为a3。 (4)汉明码的效率 汉明码的编码效率 η=1-r/n 当n很大时，效率是很高的。 2.5 循环码(CRC)  (1)循环码是一种重要的线性码，它有三个主要数学特征：  ①循环码具有循环性，即循环码中任一码组循环一位(将最右端的码移至左端)以后，仍为 该码中的一个码组。  ②循环码组中任两个码组之和(模2)必定为该码组集合中的一个码组。  ③循环码每个码组中，各码元之间还存在一个循环依赖关系，b代表码元，则有  (2)用多项式码作为检验码的编解码过程  用多项式码作为检验码时，发送器和接收器必须具有相同的生成多项式(Generator Polynom ial)G(x)，其最高、最低项系数必须为1。CRC编码过程是将要发送的二进制序列看作是多项 式的系数，除以生成多项式，然后把余数挂在原多项式之后。CRC译码过程是接收方用同一 生成多项式除以接收到的CRC编码，若余数为零，则传输无错。  编码译码方法：  ①令r为生成多项式G(x)的阶，将r个“0”附加在信息(数据)元的低端，使其长度变为k+r 位，相应于多项式；  ②，得余数；  ③与余数对应位异或，得编码信息T(x)。  例 数据信息 数据信息 1101011011 M(X) 生成式 10011 G(X),R=4 加4个“0”之后 11010110110000 /G(X) 1110 余数 待发送的编码 11010110111110 T(X)   ④接收器收到发来的编码信息后，用同一个生成多项式G(x)除以编码信息，若余数为零， 则表示接收到正确的编码信息，否则有错。  ⑤把收到的正确编码信息T(x)去掉尾部r位，即得数据信息M(x)。  (3)多项式码检错能力及生成多项式G(x)的选择原则  设接收到的信息不是发送的编码信息T(x)，而是T(x)+E(x)。  例 有差错的编码信息为 1001001011 T(x)-E(x)=T(x)+E(x)  其中，1101011011 为T(x) 0100010000 为E(x)  若接收到的有差错的编码信息为T(x)+E(x)，用G(x)除以T(x)+E(x)，则得余数为E(x)/G(x) 的余数，因为T(x)/G(x)余数为零，所以  ［T(x)+E(x)］/G(x)E(x)/G(x)  这时应该有余数，若无余数则检不出错。  有r位校验位的多项式码将能检测所有≤r位的突发错，故只要k-1＜r，就能检测出所有突发 错，这是一个很有用的结论。  生成多项式G(x)的国际 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 有：  CRC－12 CRC－16 CRC－CCITT CRC－16和CRC－CCITT两种生成多项式生成的CRC码可以捕捉一位错、二位错、具有奇数个错 的全部错误，可以捕捉突发错长度小于16的全部错误、长度为17的突发错的9999 8%、长度为18以上的突发错的99997%。CRC－16和CRC－CCITT可以用硬件实现。  (4)CRC编码硬件电路的实现 设 数据1010 多项式  生成多项式系数1011  多项式 系数1010000  多项式 余式系数011 多项式k(X)=X+1 CRC编码 1010 001 信息 监督 信息组从高位端输入的CRC编码电路，如图6－6所示，其工作原理是：首先门1关闭，门2开 通，依次输入的信息元1010一面经或门H直接输出，同时送往除法电路进行除法运算。4次移 位后除法电路完成了运算，得余式系数为“011”，即为监督元。第5个移位脉冲开始门1 开通，门2关闭，断开了反馈，移位3次把移位寄存器中的3位余项作为监督元附在信息元后 面，发出的码字就是1010011，最后门1关闭，门2开通，对下一信息组再行编码。有关工作 过程见表6－5 表6－5 图6－6所示电路的工作过程 移动脉冲 输入 输出 注 (初始状态)   000 } 门1关闭       1 1 011 门2打开 2 0 110 3 1 100 } 门1打开 4 0 011 5 0 110 门2关闭 6 0 100 7 0 000   2.6 RS码(Reed－Solomon－里德－索罗门码)  RS码是一种重要的线性分组编码方式。它对突发性错误有较强的纠错能力，被DVB标准采用 。  (1)在RS编码过程中，各符号不是直接出现，而是每个符号要乘以某个基本元素的幂次方后 再模2加，如图6－7所示。 (2)在循环码中欲检查是否有错是用码字除一个多项式，而在RS码中，欲检 出一系列误码则需要用码字除一定数量的一次多项式。如果要纠正七个错误，那么码字必须 被2t个不同的一次多项式整除，例如被x+an的一次多项式整除，这里的n取值直到2t的所 有整数值，a是基本元素，例如a为010，输入5个符号，每个符号3比特，与相应的元素相乘 后直接模2加输出，因为有两种系数，所以得到二个校检子，两个校验式为：  (3)下面举一个简单例子说明纠错过程在无差错时，S0=0，S1=0，有如下关系： 码字 A 101 式中   B 100 C 010 D 100 E 111 P 100 Q 100 = 000 当接收到的符号有错时通过计算也可以得到与符号有关的错误图形，这时有错的 码加撇，是错误图形，真正的D=D′+=101+001=100。但错误的位置将由S1决定 ，这要利用的关系。 A 101 B 100 C 010 D 101 E 111 P 100 Q 100 = 001  校验子的增加导致纠错能力的加强，通过的运算可以确定差错 的位子，并予以纠正。 尽管都是同一个错误的不同图形，但因次方的各接收符号模2加得 到的，而的k恰好是乘的那一个符号。 (4)RS码的生成多项式  从上面的例子可以看出，为了纠正一个符号错，要2个符号的检测码，一个用来确定位置， 一个用来纠错。一般来说纠t个错误需要2t个检验符，这时要计算2t个等式，确定t个位置和 纠t个错。能纠t个符号的RS码生成多项式为  按照DVB的CATV标准  RS码生成多项式为：   RS码为： RS(204，188，8)  即分组码符号长度为204个，188个信息符号，可纠错8个。  2.7 连环码(卷积码)  连环码是一种非分组码，通常它更适用于前向纠错法，因为其性能对于许多实际情况常优于 分组码，而且设备简单。 这种连环码在它的信码元中也有插入的监督码元但并不实行分组监督，每一个监督码元都要 对前后的信息单元起监督作用，整个编解码过程也是一环扣一环，连锁地进行下去。这种码 提出至今还不到三十年，但是近十余年的发展表明，连环码的纠错能力不亚于甚至优于分组 码。这一小节只介绍一种最简单的连环码，以便了解连环码的基本概念。 图6－8是连环码的一种最简单的编码器。它由两个移位寄存器，一个模2加法器及一个电 子开关组成。工作过程是：移位寄存器按信息码的速度工作，输入一位信息码，电子开关倒 换一次，即前半拍接通a端，后半拍接通b端。因此，若输入信息为，则 输出连环码为…，其中“b”为监督码元。按图6－8 结构可得： }模2   可见，这个连环码的结构是：“信息码元某、监督码元、信息码元、监督码元…。”一个信息 码与一个监督码组成一组，但每组中的监督码除了与本组信息码有关外，还跟上一组的信息 码有关，或者用另一种说法，每个信息码除有本组监督码外，还有下一组的监督码与它有关 系。因此，这种编码就像一根链条，一环扣一环，连环码即由此得名。 在解码过程中，首先将接收到的信息码与监督码分离。由接收到的信息码再生监督码，这个 过程与编码器相同，再将此再生监督码与接收到的监督码比较，判断有无差错。分布在相 邻的三组码内可纠正一位差错。 2.8 交织法  交织法的原理见图6－9。在发送端，编码序列在送入信道传输之前先通过一个“交织寄 存器矩阵。”将输入序列逐行(即按的次 序)存入寄存器矩阵，存满以后，按列的次序(即)取出 ，再送入传输信道。接收端收到后先将序列存到一个与发端相同的交织寄存器矩阵，但按 列的次序存入，存满以后，按行的次序取出然后送进解码器。由于收发端存取的程序正好相 反，因此，送进解码器的序列与编码器输出的序列次序完全相同，解码器丝毫感觉不出交织 矩阵的存在与否。   假设交织矩阵每行的寄存器数目N正好等于分组码的码长，传输过程中产生的成群差错长度 ，亦正好等于交织矩阵每列寄存器的数目M。图6－10表明，由于交织措施，送入解码器的 差错被分解开了，每组只分配到一个。因此，如果所采用的分组码能纠正一差错；那么长度 为M的成群差错就可全部纠正，可见，交织法结合纠正离散差错的简单编码就可完成纠正群 差错的任务。