线性代数练习题考研题选

浙江科技学院理学院 2010-3-2 历届考研代数试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 选录　 1．设矩阵 ，则逆矩阵 = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 300 041 003 A 1)2( −− EA 。　 2．设 A是 4阶矩阵，且 A的行列式｜A｜=0，则 A中( )　　 (a)必有一列元素全为 0；　 (b)必有两列元素对应成比例；　 (c)必有一列向量是其余列向量的线性组合；　 (d)任一列向量是其余列向量的线性组合　　 3．问λ为何值时，线性方程组 　 　 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +=++ +=++ =+ 3246 ,224 , 321 321 31 λ λ λ xxx xxx xx 有解，并求出解的一般形式。　　 4．假设λ为 n阶可逆矩阵 A的一个特征值，证明：　 (1) λ 1 为 1−A 　的特征值；　 (2) λ A 为 A 的伴随矩阵 ∗A 的特征值。　　 5．齐次线性方程组 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =++ =++ 0 ,0 ,0 321 321 321 xxx xxx xxx λ λ 　 只有零解，则λ应满足的条件是 。　　 6．设 A和 B均为 n×n矩阵，则必有 。　　 (a)｜A+B｜=｜A｜+｜B｜； (b) AB=BA；　 (c)｜AB｜=｜BA｜ ； (d) 　　　 7 已知 X=AX+B，其中 111)( −−− +=+ BABA ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −= 101 111 010 A ， ，　　 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 35 02 11 B 第 1 页 共 21 页 1 浙江科技学院理学院 2010-3-2 求矩阵 X。　　 8 　设 ),3,1(,)3,2,1(,)1,1,1( 321 t=== ααα 。　 (1)问当 t为何值时，向量组 321 ,, ααα 线性无关?　 (2)问当 t为何值时，向量组 321 ,, ααα 线性相关?　 (3)当 321 ,, ααα 线性相关时，将 3α 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为 1α 和 2α 的线性组合 9 　设 ，　 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −− − = 122 212 221 A (1) 试求矩阵 A的特征值；　 (2) 利用(1)小题结果，求矩阵 1−+ AE 　的特征值。　　 10 　行列式 　 = −−+ −− −+− −− 1111 1111 1111 1111 x x x x 。　　　　 11 　设 n元齐次线性方程组 AX=O 的系数矩阵 A的秩为 r，则 AX=O 有非零解的充 分必要条件是( )　　 (a) r=n, (b)r＜n, (c) r≥n, (d) r＞n.　 12 　讨论向量组 ),3,5(,)1,3,1(,)0,1,1( 321 t=−== ααα 的线性相关性　 13 已知向量组 )7,6,5,4(,)6,5,4,3(,)5,4,3,2(,)4,3,2,1( 4321 ==== αααα ，则该向量 组的秩是 。　 14 　已知 是非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同的解， 21,αα 是对应齐 次线性方程组 AX=O 的基础解系， 为任意常数，则方程组 AX=b 的通解必 为( )　　 21, kk 21 , ββ (a) 2 )( 2121211 ββααα −+++kk ；　 (b) 2 )( 2121211 ββααα ++−+kk ；　 第 2 页 共 21 页 2 浙江科技学院理学院 2010-3-2 (c) 2 )( 2121211 ββββα −+++kk ；　 (d) 2 )( 2121211 ββββα ++−+kk 　　 15 　设四阶矩阵 　　 , 2000 1200 3120 4312 , 1000 1100 0110 0011 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = CB 且矩阵满足关系式： 　　 　　　 ECBCEA TT =− − )( 1 将上述关系式化简并求矩阵 A　　 16 　求一正交变换化二次型 　　 　成 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形　　 323121232221 84444 xxxxxxxxxf −+−++= 17 　若线性方程组 　　 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+ −=+ =+ −=+ 414 343 232 121 axx axx axx axx 有解，则常数 满足条件 4321 ,,, aaaa 。 　 18 　向量组 sααα ,,, 21 " 线性无关的充分条件是( )　　 (a) sααα ,,, 21 " 均不为零向量；　 (b) sααα ,,, 21 " 中任两向量的分量不成比例；　 (c) sααα ,,, 21 " 中任一向量都不能由其余向量线性表示；　 (d) sααα ,,, 21 " 中有一部分向量线性无关　　 19 　已知线性方程组 第 3 页 共 21 页 3 浙江科技学院理学院 2010-3-2 　　 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =−+++ =+++ =−+++ =++++ 23345 622 0323 54321 5432 54321 54421 xxxxx bxxxx xxxxx axxxxx (1) a ,b 为何值时，方程组有解?　 (2) 方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系　　 (3) 方程组有解时，求出方程组的全部解　　 20 　已知对于 n阶方阵 A，存在自然数 k，使 ，试证矩阵 E-A 可逆，并写 出其逆矩阵的表达式。　　 0=kA 21 　设 A为 n阶矩阵， 1λ 和 2λ 是 A的两个不同的特征值， 分别属于21 , XX 1λ 和 2λ 的特征向量。证明 不是 A的特征向量。　　 21 XX + 22 　设 A是 n阶可逆矩阵， ∗A 是 A的伴随矩阵，则( )　　 (a) 1−∗ = nAA ； (b) AA =∗ ； (c) nAA =∗ ； (d) 1−∗ = AA 　 23 　设 A为 10×10 矩阵：　 　 　　 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 000010 10000 00100 00010 10 " " """""" " " A 试计算行列式｜A-λE｜　　 24 　设方阵 A满足条件 EAAT = ，试证：A的实特征向量所对应的特征值的绝对 值等于 1。　　 25 　设 4阶方阵 　 　 , 1100 2100 0012 0025 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=A 则 A的逆阵 =−1A 。　　　 26 　设 n阶方阵 A，B，C满足关系式 ABC=E，其中 E是 n阶单位阵，则必有( ) 第 4 页 共 21 页 4 浙江科技学院理学院 2010-3-2 　　 (a)ACB=E；(b)CBA=E；(c)BAC=E；(d)BCA=E 　　 27 　已知 )8,4,2,1(,)1,2,1,1(,)5,3,1,1(,)3,2,0,1( 4321 +=+−=== aa αααα 及 )5,3,1,1( += bβ 　 (1) a ,b 为何值时，β 不能表示成 4321 ,,, αααα 的线性组合?　 (2) a ,b 为何值时，β 有 4321 ,,, αααα 唯一线性表示式?并写出该表示式。 　　 28 　设 A是 n阶正定阵，E是 n阶单位阵，试证 A+E 的行列式大于 1 29 　设 A 和 B 为可逆矩阵， 为分块矩阵，则 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 0 0 B A X =−1A 。 30 　 设 A 为 n 阶可逆矩阵，λ是 A 的一个特征根，则 A 的伴随矩阵 ∗A 　的特征根之 一是　( )　　　 (a) nA1−λ ； (b) A1−λ ； (c) Aλ ；(d) nAλ 31 　设有三维列向量组 　 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 321 0 , 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 1 λ λβ λ αλα λ α 问λ取何值时，　 (1)β可由 321 ,, ααα 线性表示，且表达式唯一?　 (2)β可由 321 ,, ααα 线性表示，且表达式不唯一?　 (3)β不能由 321 ,, ααα 线性表示?　 32 　考虑二次型： 　　 3231212221 4224 xxxxxxxxf +−++= λ 问λ取何值时，f为正定二次型?　 33 　试证明 n维列向量组 nααα ,,, 21 " 线性无关的充分必要条件是 第 5 页 共 21 页 5 浙江科技学院理学院 2010-3-2 　 0 21 22212 12111 ≠= n T n T n T n n TTT n TTT D αααααα αααααα αααααα " """" " " 　 其中 表示列向量 的转置,i=1,2,…，n　 34 　 n 阶行列式： T iα iα 　 = ab ba a ba ba 000 000 0000 000 000 " " """""" " " " 。　　　　 35 　设 A，B为 n 阶方阵，满足等式 AB=O，则必有：　 (a)A=O 或 B=O； (b)A+B=O； (c)｜A｜=0 或｜B｜=0； (d)｜A｜+｜B｜=0 　　 36 　设 A 是 m×n 矩阵，AX=O 是非齐次线性方程组 AX=b 所对应的齐次线性方程 组，则下列结论正确的是( )　　 (a)若 AX=O 仅有零解，则 AX=b 有唯一解；　 (b)若 AX=O 仅有非零解，则 AX=b 有无穷多个解；　 (c)若 AX=b 仅有无穷多个解，则 AX=O 仅有零解；　 (d)若 AX=b 有无穷多个解，则 AX=O 有非零解　　 37 　设 n阶矩阵 A 和 B 满足 A+B=AB 　　 (1) 试证 A-E 为可逆矩阵；　 (2) 已知 ，求矩阵 A　　 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 200 012 031 B 38 　已知向量 是矩阵 的逆矩阵Tk )1,,1(=α ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 211 121 112 A 1−A 的特征向量，试 求常数 k 的值　　　 39 　设 ，其中 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = nnnn n n bababa bababa bababa A " """" " " 21 22212 12111 0,0 ≠≠ ii ba ，(i=1,2,…,n)，则秩 (A)= 。　　 第 6 页 共 21 页 6 浙江科技学院理学院 2010-3-2 40 　要使 都是线性方程组 AX=O 的解，只要系数矩阵 A为 　 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 0 , 2 0 1 21 ξξ (a)(-2,1,1)； (b) ； ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 110 102 (c) ； (d) 　 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − 110 201 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − 110 224 110 41 　设向量组 321 ,, ααα 线性相关，向量组 432 ,, ααα 线性无关，问： (1) 1α 能否由 32,αα 线性表示?证明你的结论；　 (2) 4α 能否由 321 ,, ααα 线性表示?证明你的结论。　　 42 　设 3阶矩阵 A的特征值为 321 ,, λλλ ，对应的特征向量依次为　 　　 ，向量 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 9 3 1 , 4 2 1 , 1 1 1 321 ξξξ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 1 1 β (1) 将β用 321 ,, ξξξ 线性表出；　 (2) 求 (n 为然数)　　 βnA 43 　设 A,B 为 3 阶矩阵，E为三阶单位阵，满足 BAEAB +=+ 2 ，又知 　 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 101 020 101 A 求矩阵 B。　　 44 　设 A为 m阶方阵，B为 n阶方阵，且｜A｜=a ,｜B｜=b , ，则｜ C｜= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 0 0 B A C 。　　 45 　设 A为 m×n矩阵，齐次线性方程组 AX=O 仅有零解的充分条件是( )　　 (a)A 的列向量线性无关；　 (b)A 的列向量线性相关；　 第 7 页 共 21 页 7 浙江科技学院理学院 2010-3-2 (c)A 的行向量线性无关；　 (d)A 的行向量线性相关　　 46 　设矩阵 A与 B相似，其中 　 　 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = y BxA 00 020 001 , 113 22 002 (1) 求 x 和 y 的值；　 (2) 求可逆矩阵 P，使 BAPP =−1 。　　 47 　已知 3阶矩阵 B≠O，且 B的每一个列向量都是方程组 　 　 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−+ =+− =−+ 03 02 022 321 321 321 xxx xxx xxx λ 的解　　 (1) 求λ的值； (2) 证明｜B｜=0。　 48 　设 A,B 分别为 m ,n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 是否为正定矩 阵。　　 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= B A C 0 0 49 　矩阵 的非零特征值是 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1111 1111 1111 1111 A 。　　 50 　设 均为 n阶可逆矩阵，则 11,,, −− ++ BABABA 111 )( −−− +BA 　等于( )　　 (a) 11 −− +BA 　； (b) ； (c) ； (d) 51 　设 BA+ BBAA 1)( −+ 1)( −+BA mααα ,,, 21 " 均为 n维向量，那么，下列结论正确的是( ) (a) 若 02211 =+++ mmkkk ααα " ，则 mααα ,,, 21 " 线性相关；　 (b) 若 对 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 ， 都 有mkkk ,,, 21 " 02211 ≠+++ mmkkk ααα " ，则 mααα ,,, 21 " 线性无关；　 (c)若 mααα ,,, 21 " 线性相关，则对任意一组不全为零的数 ，都mkkk ,,, 21 " 第 8 页 共 21 页 8 浙江科技学院理学院 2010-3-2 有 02211 =+++ mmkkk ααα " ；　 (d)若 0000 21 =+++ mααα " ，则 mααα ,,, 21 " 线性无关　　 52 　设矩阵 ，矩阵 X满足⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 101 120 101 A XAEAX +=+ 2 ，其中 E为三阶单位阵， 试求矩阵 X。　　　 53 　设线性方程组 　　 　 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−+ =+− =−+ 03 02 022 321 321 321 xxx xxx xxx λ 的系数矩阵为 A，3阶矩阵 B≠O，且 AB=O，试求λ的值　　 54 　已知实矩阵 ( ) 33×= ijaA 满足条件：　 (1) 　(i,j=1,2,3),其中 为 的代数余子式；　 ijij Aa = ijA ija (2) 　　 011 ≠a 试计算行列式｜A｜。　　 55 　设 n阶矩阵 A的各行元素之和均为零，且 A的秩为 n-1，则线性方程组 AX=O 的通解为 。　　 56 　已知 ，P为 3阶非零矩阵，且满足 PQ=O，则( )　(a) t=6 时 P 的秩必为 1； (b) t=6 时 P 的秩必为 2；　 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 963 42 321 tQ (c) t≠6 时 P 的秩必为 1； (d) t≠6 时 P 的秩必为 2　　 57　已知二次型 通过正交变换化成标准形 ，求参数 a及所用的正交变换矩阵。　　 )0(,2332 32 2 3 2 2 2 1 >+++= axaxxxxf ,52 23 2 2 2 1 yyyf ++= 58 　设 A是 n×m矩阵，B是 m×n矩阵，其中 n 1rr < 1rr = ；(d)r 与 的关系依 C 而定　 74 　设 线性方程组 1r 第 11 页 共 21 页 11 浙江科技学院理学院 2010-3-2 　　 　 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =++ =++ =++ =++ 3 43 2 4241 3 33 2 3231 3 23 2 2221 3 13 2 1211 axaxax axaxax axaxax axaxax (1) 证明，若 两两不相等，则此线性方程组无解；　 4321 ,,, aaaa (2) 设 )0(, 4231 ≠−==== kkaakaa ，且已知 21, ββ 是该方程组的两个解， 其中 ，写出此方程组的通解。　　 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = 1 1 1 , 1 1 1 21 ββ 75 　设 有三个线性无关的特征向量，求 x,y 应满足的条件。　　 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 001 1 100 yxA 76 　设 A,B 都是 n阶非零矩阵，且 AB=O，则 A和 B的秩( )　　 (a)必有一个等于零； b)都小于 n； (c)一个小于 n，一个等于 n； (d)都等于 n　　 77 　向量组 )10,5,1,2(),0,2,2,1(,)4,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1( 54321 =−===−= ααααα 　的最大无关组是　 (a) 4321 ,,, αααα ； (b) 421 ,, ααα ； (c) 521 ,, ααα ； (d) 5421 ,,, αααα 　 78 　 设 321 ,, ααα 是 齐 次 方 程 组 AX=O 的 一 个 基 础 解 系 ， 试 证 133221 ,, αααααα +++ 也是该方程组的一个基础解系。　　 79 　解矩阵方程(A+2E)X=C，其中 　 　 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 10 11 , 10 01 , 21 11 CEA 80 　设向量组 321 ,, ααα 线性无关，问当常数 满足什么条件时，向量ml , 312312 ,, αααααα −−− ml 也线性无关。　　 第 12 页 共 21 页 12 浙江科技学院理学院 2010-3-2 81 　已知 ，其中　 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 700 030 001 A ppt 关于艾滋病ppt课件精益管理ppt下载地图下载ppt可编辑假如ppt教学课件下载triz基础知识ppt 　　 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 6 20 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3 1 P 　 为正交矩阵， 　　 　　 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −= 522 230 203 A (1) 求 A 的特征值和特征向量；　 (2) 设λ为 A的特征值，证明 是 特征值，其中 E为三阶单位矩 阵。　　 32 2+λ EA 33 2+ 82.设三阶方阵 A,B 满足关系式：　 ,61 BAABAA +=− ，且 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 7 100 0 4 10 00 3 1 A 则 B=________.　 83.设 A 是 n 阶矩阵，满足 EAAT = ，｜A｜<0,求｜A+E｜.　　 84.行列式 600300301 395200199 204100103 =________..　　 85.设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2,而B= ，则r(AB)=___________. ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 301 020 201 86.四阶行列式 44 33 22 11 00 00 00 00 ab ab ba ba 的值等于( )　　 (a) ;　 43214321 bbbbaaaa − 第 13 页 共 21 页 13 浙江科技学院理学院 2010-3-2 (b) ;　 43214321 bbbbaaaa + (c) ; ))(( 43432121 bbaabbaa −− (d) 　 ))(( 41413232 bbaabbaa −− 87.设 A=E- ，其中 E是阶单位矩阵，Tξξ ξ 是 n维非零列向量　证明：　(1) =A 的充要条件是 =1；　 2A ξξ T (2) 当 =1 时，A是不可逆矩阵　　 ξξ T 88.已知二次型 的秩为 2 323121232221321 66255),,( xxxxxxcxxxxxxf −+−++= (1) 求参数 c及此二次型对应的特征值；　 (2) 指出方程 1表示何种二次曲面　　 =),,( 321 xxxf 89.设 　　 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = −−−− 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 1111 n n nnn n n aaaa aaaa aaaa A " """"" " " " ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 1 ,3 2 1 "" b x x x x X n 其中 (i≠j;i,j=1,2,…,n)，则线性方程组 的 ji aa ≠ bXAT = 解是________. 90．设 n阶矩阵 A非奇异(n≥2)， 是矩阵 A的伴随矩阵，则( )　　 *A (a) ;)( 1** AAA n−= （b） ;)( 1** AAA n+= (c) ;)( 2** AAA n−= (d) ;)( 2** AAA n+= 91.设有任意两个 n 维向量组 mααα ,,, 21 " 和 mβββ ,,, 21 " ，若存在两组不全为零 的数 mλλλ ,,, 21 " 和 ，使 mkkk ,,, 21 " Okkkk mmmmmm =−++−+++++ βλβλαλαλ )()()()( 111111 "" 第 14 页 共 21 页 14 浙江科技学院理学院 2010-3-2 则：（ ）　　　 (a) mααα ,,, 21 " 和 mβββ ,,, 21 " 都线性相关；　 (b) mααα ,,, 21 " 和 mβββ ,,, 21 " 都线性无关；　 (c) mmmm βαβαβαβα −−++ ,,,,, 1111 "" 线性无关；　 (d) mmmm βαβαβαβα −−++ ,,,,, 1111 "" 线性相关　　 92.设矩阵 　　 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2100 100 0001 0010 y A (1) 已知 A的一个特征值为 3，试求 y；　 (2) 求矩阵 P，使 为对角矩阵　　 )()( APAP T 93.设向量 tααα ,,, 21 " 是齐次线性方程组 AX=O 的一个基础解系，向量β不是方 程组 AX=O 的解，即 Aβ≠O试证明：向量组 　 tαβαβαββ +++ ,,,, 21 " 线性无关　　 94.设 ，B为三阶非零矩阵，且 AB=O，则 t=______.　　 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 113 34 321 tA 95.设 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 ,, c c c b b b a a a ααα ，则三条直线 　　 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ =++ =++ ,0 ,0 ,0 333 222 111 cybxa cybxa cybxa (其中 ≠0,i=1,2,3)交于一点的充要条件是( )　　 22 ii ba + (a) 321 ,, ααα 线性相关 (b) 321 ,, ααα 线性相关 (c) 秩( 321 ,, ααα )=秩( 21,αα )；　 第 15 页 共 21 页 15 浙江科技学院理学院 2010-3-2 (d) 321 ,, ααα 线性相关 21,αα 线性无关　　 96.设 B 是秩为 2的 5×4矩阵， TTT )9,8,1,5(,)1,4,1,1(,)3,2,1,1( 321 −−=−−== ααα 　是齐次线性方程组 BX=O 的解向量，求 BX=O 的解空间的一个标准正交基　　 97.已知 是矩阵 A= 的一个特征向量，　 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 1 1 ξ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − 21 35 212 b a (1) 试确定参数 a,b 及特征向量ξ 所对应的特征值； (2) 问 A 能否相似于对角阵?说明理由　　 98.设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A的第 i行和第 j行对换后得到的矩阵记为 B　　 (1) 证明 B可逆；　 (2) 求 A 1−B 　　　 99.设三阶实对称矩阵 A的特征值是 1，2，3；矩阵 A的属于特征值 1，2的特征 向量分别是 .)1,2,1(,)1,1,1( 21 TT −−=−−= αα (1) 求 A 的属于特征值 3的特征向量；　 (2) 求矩阵 A　　 100.设 A 为 n 阶非奇异矩阵，α为 n维列向量，b为常数，记分块矩阵 　　 P= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − b A Q AA E TT α α α , 0 * 其中 是矩阵 A的伴随矩阵　　 *A (1) 计算并化简 PQ；　 (2) 证明：矩阵 Q可逆的充分必要条件是 bAT ≠− αα 1 历界“考研”《线性代数》部分 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 选录参考答案　 1. ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 100 0 2 1 2 1 001 2.c.　　 3.λ=1, ⎩⎨ ⎧ +−= −= ,21 ,1 32 31 xx xx 5.λ≠1　　 第 16 页 共 21 页 16 浙江科技学院理学院 2010-3-2 6.c.　　 7. . ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 11 02 13 8.(1)t=5;(2)t≠5；(3) 213 2ααα +−= . 9.(1) A 的特征值为：1，1，-5；(2) E+ 的特征值为：2，2，1−A 5 4 10. 　　 4x 11.b.　　 12.当 t≠1 时，c线性无关；当 t=1 时， 321 ,, ααα 线性相关　　 13.2.　　 14.b.　 15.可简化为 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −==− 1210 0121 0012 0001 ,)( AEBCA T 16. ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −= ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 2 1 3 2 1 2 3 3 2 23 1 2 1 3 2 23 1 2 1 3 1 23 40 ,9 y y y x x x yf 17. 　　 .04321 =+++ aaaa 18.c 　　 19 　(1) 当 a=1,b=3 时，方程组有解；(2) 当 a=1,b=3 时方程组的导出组的一 个基础解系为 ; (3) 当 a=1,b=3 时通解为 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 1 0 0 6 5 , 0 1 0 2 1 , 0 0 1 2 1 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛− 1 0 0 6 5 0 1 0 2 1 0 0 1 2 1 0 0 0 3 2 321 ccc 20.(E-A) =E+A+…+A 　　　 1− 1−k 22.a.　　 23. 　　　 1010 10−λ 第 17 页 共 21 页 17 浙江科技学院理学院 2010-3-2 25. ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − 3 1 3 100 3 2 3 100 0052 0021 26.d 　　 27.(1) 当 a=-1,b≠0 时，β不能表示成 4321 ,, αααα 的线性组合； (2) 当 a≠-1 时，表示唯一，且 　　 321 11 1 1 2 αααβ +++ ++++−= a b a ba a b 29. .　　 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − − OA BO 1 1 30.b 　　 31.(1) 当λ≠0 且λ≠-3 时β可由 321 ,, ααα 线性表示，且表达式唯一；(2) 当 α=O 时β可由 321 ,, ααα 线性表示，但表示不唯一； (3) 当λ=-3 时，β不能由 321 ,, ααα 线性表示　　 32.-2＜λ＜1.　　 34. .　　 nnn ba 1)1( +−+ 35.c 　　 36.d 　　 37.(2) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= 200 01 3 1 0 2 11 A 　　 38.k=-2 或 1.　 39.1.　 40.a 　　 41.(1)能；(2)不能　　 42.(1) ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +− +− +− =+−= ++ ++ + 23 12 1 321 322 322 322 )2(;22 nn nn nn nA βξξξβ 第 18 页 共 21 页 18 浙江科技学院理学院 2010-3-2 43. ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 201 30 102 B 44.(-1) mn ab 　　 45.a 　　 46.(1) x=0,y=-2；(2) . ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− = 111 012 100 P 47.(1)λ=1 　　 48.是正定的　　 49.4 　　 50.c 　　 51.b 　　 52. ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 201 030 102 X 53.λ=1 　　 54.｜A｜=1 　　 55.k (k 为任意常数)　　 T)1,,1,1,1( " 56.c 　　 57.a=2，正交变换矩阵为 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 10 2 1 2 10 2 1 010 59. ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − 101 010 432 60.0 　　 61.b 　　 62.当k≠-1和4时，方程组有唯一解： ; 1 2, 1 42, 1 2 3 2 2 2 1 +−=+ ++=+ += k kx k kkx k kkx ； 当 k=-1 时，方程组无解；当 k=4 时，方程组有无穷多解： .)1,1,3()0,4,0( TT cX −−+= 63.a=b=0 　　 第 19 页 共 21 页 19 浙江科技学院理学院 2010-3-2 64.c 　　 65.b 　　 66. ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −− =− 101 022 125 )( 1*A 67. ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 1 2 33 3 212 3 1 2 11 3 1n 68.c 　　 69.(1) 基础解系为(0，0，1，0)，(-1，1，0，1)；(2) 有非零公共解，所有公 共解为 k(-1,1,1,1)(k 是不为零的任意常数)　　 71.｜A-3E｜=(2n-3)!!　　 72. ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 0100 0010 0001 1000 1 2 1 n n a a a a " """"" " " " 73.c 　　 74.(2)通解为 ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 0 2 1 1 1 cX 75.x+y=0 　　 76.b.　　 77.b.　 79. ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 21 34 11 1 80.ml≠1.　　 81.(1)1，3，7 　　 82. ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 100 020 003 83.0.　　 84.2000.　　 第 20 页 共 21 页 20 浙江科技学院理学院 2010-3-2 85.2.　　 86.d.　　 88.(1) 3；(2) 椭圆柱面　　 89. 　 TX )0,,0,0,1( "= 90.c.　　 91.d.　　 92.(1) λ=3,y=2;(2) . 1100 5 4100 0010 0001 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=P 94.-3 　　 95.d 　　 96. ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 5 1 2 39 1, 3 2 1 1 15 1 21 εε 97.(1) a=-3,b=0,λ=-1；(2) 不能相似于对角形　　 98.(2) ，其中 为 n阶单位矩阵的第 i行和第 j行对换后所得　 ,1 ijEAB =− ijE 99. ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 1325 2102 5213 6 1)2(;)1,0,1()1( Tk ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= − )(0)1.(100 1αα α AbA A PQ T 第 21 页 共 21 页 21