JJF_1059-1999 测量不确定度评定与表示

－ 1 － 测量不确定度评定与表示 JJF 1059-1999 一切测量结果都不可避免地具有不确定度。《测量不确定度表示指南》 (Guide to the Expression Of Uncertainty in Measurement 以下简称 GUM)，由国际标准化组织(ISO)计量技术顾问组第三工作组 (ISO／TAG4／WG3)起草，于 1993年以 7个国际组织的名义联合发布，这 7个国际组织是国际标准化组 织(ISO)、国际电工委员会(IEC)、国际计量局(BIPM)、国际法制计量组织(OIML)、国际理论化学与应用 化学联合会（IUPAC)、国际理论物理与应用物理联合会(IUPAP)、国际临床化学联合会(IFCC)。GUM采用 当前国际通行的观点和方法，使涉及测量的技术领域和部门，可以用统一的准则对测量结果及其质量进 行评定、表示和比较。在我国实施 GUM，不仅是不同学科之间交往的需要，也是全球市场经济发展的需 要。本 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 给出的测量不确定度评定与表示的方法从易于理解、便于操作、利于过渡出发，原则上等同 采用 GUM的基本内容，对科学研究、 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 技术及商贸中大量存在的测量结果的处理和表示，均具有适用 性。本规范的目的是： ——提出如何以完整的信息评定与表示测量不确定度； ——提供对测量结果进行比较的基础。 评定与表示测量不确定度的方法满足以下要求： a) 适用于各种测量和测量中所用到的各种输入数据，即具有普遍适用性。 b) 在本方法中表示不确定度的量应该： ——能从对不确定度有贡献的分量导出，且与这些分量怎样分组无关，也与这些分量如何进一步分 解为下一级分量无关，即它们是内部协调一致的； ——当一个测量结果用于下一个测量时，其不确定度可作为下一个测量结果不确定度的分量，即它 们是可传播的。 c)在诸如工业、商业及与健康或安全有关的某些领域中，往往要求提供较高概率的置信区间，本方 法应能方便地给出这样的区间及相应的置信概率。 本规范给出了常见情况下，评定与表示测量不确定度的原则、方法和简要步骤，其中的举例，旨在 对原则和方法作详细说明，以便于进一步理解和有助于实际应用。附录中所用的基本符号，取自 GUM及 有关的 ISO、IEC标准。 1 范围 1.1 本规范所规定的测量中评定与表示不确定度的通用规则，适用于各种准确度等级的测量领域，例 如： a) 建立国家计量基准、计量标准及其国际比对； b) 标准物质、标准参考数据； c）测量方法、检定规程、检定系统、校准规范等； d) 科学研究及工程领域的测量； e) 计量认证、计量确认、质量认证以及实验室认可； f) 测量仪器的校准和检定； g) 生产过程的质量保证以及产品的检验和测试； h) 贸易结算、医疗卫生、安全防护、环境监测及资源测量。 1.2 本规范主要涉及有明确定义的，并可用唯一值表征的被测量估计值的不确定度。至于被测量呈现 － 2 － 为一系列值的分布或取决于一个或多个参量(例如，以时间为参变量)，则对被测量的描述是一组量，应 给出其分布情况及其相互关系。 2 基本术语及其概念 本规范中所使用的术语及其定义与《JJFl001——1998通用计量术语及定义》一致，但其中楷体字 的内容为本规范所增加。 2.1 [可测量的] * 量[measurable]quantity 现象、物体或物质可定性区别和定量确定的属性。 注： 1 术语“量”可指一般意义的量或特定量。一般意义的量如长度、时间、质量、温度、电阻、物质的量浓度； 特定量如某根棒的长度，某根导线的电阻，某份酒样中乙醇的浓度。 2 可相互比较并按大小排序的量称为同种量。若干同种量合在一起可称之为同类量，如功、热、能；厚度、周 长、波长。 3 量的符号参照《GB3100～3102--1993量和单位》。 2.2 量值 value of a quantity 一般由一个数乘以测量单位所表示的特定量的大小。 例：5.34m或 534cm，15kg，10s，-40℃。 注：对于不能由一个数乘以测量单位所表示的量，可参照约定参考标尺，或参照测量程序，或两者都参照的方式 表示。 2.3 [量的]真值 true value [of a quantity] 与给定的特定量定义一致的值。 注： 1. 量的真值只有通过完善的测量才有可能获得。 2. 真值按其本性是不确定的。 3. 与给定的特定量定义一致的值不一定只有一个。 4. GUM用“被测量之值”代替“真值”。在不致引起混淆时，推荐这一用法。 2.4 [量的]约定真值 conventional true value [of a quantity] 对于给定目的具有适当不确定度的、赋予特定量的值，有时该值是约定采用的。 例：a)在给定地点，取由参考标准复现而赋予该量的值作为约定真值。 b)常数委员会(CODATA)1986年推荐的阿伏加德罗常数值 6.0221367×10 23 mol -1 。 注： 1. 约定真值有时称为指定值、最佳估计值、约定值或参考值。参考值在这种意义上使用不应与参考条件中的参考 值混淆。 2. 常用某量的多次测量结果来确定约定真值。 2.5 被测量 measurand 为测量对象的特定量。 例：给定的水样品在 20℃时的蒸汽压力。 注： 1 对被测量的详细描述，可要求包括对其他有关量(如时间、温度和压力)作出说明。 2 实践中，被测量应根据所需准确度予以完整定义，以便对所有的测量，其值是单一的。例如：一根标称值为 lm 长的钢棒其长度需测至微米级准确度，其技术说明应包括给定温度和压力。但若只需毫米级准确度，别无需规定温度、 压力和其他影响量的值。 2.6 测量结果 result of a measurement 由测量所得到的赋予被测量的值。 － 3 － 注： 1 在给出测量结果时，应说明它是示值、未修正测量结果或已修正测量结果，还应表明它是否为若干个值的平均值。 2 在测量结果的完整表述中，应包括测量不确定度，必要时还应说明有关影响量的取值范围。 3 测量结果仅是被测量之值的估计。 4 很多情况下，测量结果是在重复观测的情况下确定的。 5 在测量结果的完整表述中，还应给出自由度。 2.7 测量准确度 accuracy of measurement 测量结果与被测量的真值之间的一致程度。 注： 1 不要用术语“精密度”代替“准确度”。 2 准确度是一个定性概念。例如：可以说准确度高低、准确度为 0.25级、准确度为 3等及准确度符合 X X标准；尽 量不使用如下表示：准确度为 0.25％、16mg、≤16mg及±16mg。 2.8 [测量结果的]重复性 repeatabiliy [of results of measurements] 在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。 注： 1 这些条件称为“重复性条件”。 2 重复性条件包括： 相同的测量程序； 相同的观测者； 在相同的条件下使用相同的测量仪器； 相同地点； 在短时间内重复测量。 3 重复性可以用测量结果的分散性定量地表示。 4 重复性用在重复性条件下，重复观测结果的实验标准差（称为重复性标准差）sr定量地给出。 5 重复观测中的变动性，是由于所有影响结果的影响量不能完全保持恒定而引起的。 2.9 [测量结果的]复现性 reproducibility [of results of measurements] 在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。 注： 1 在给出复现性时，应有效说明改变条件的详细情况。 2 可改变的条件包括： 测量原理； 测量方法； 观测者； 测量仪器； 参考测量标准； 地点； 使用条件； 时间。 3 复现性可用测量结果的分散性定量地表示。 4 测量结果在这里通常理解为已修正结果。 5 在复现性条件下，复现性用重复观测结果的实验标准差（称为复现性标准差）SR定量地给出。 6 又称为“再现性”。 2.10 实验标准[偏]差 experimental standard deviation 对同一被测量作 n次测量，表征测量结果分散性的量 s可按下式算出： 1 )( )( 1 2 - - = å = n qq qs n k k k － 4 － （1） 式中 qk是第 k次测量结果； -q是 n次测量的算术平均值。 注： 1 当将 n个测量结果视作分布的样本时， - q是该分布的期望值μq的无偏估计，实验方差 s 2（qk）是这一分布的方差 σ2的无偏估计。 2 s(qk)/√ - n为 - q的分布的标准差估计，称为平均值的实验标准差。 3 将平均值的实验标准差称为平均值的标准误差是不正确的。 4 s(qk)与 s(qk)/√ - n的自由度相同，均为 n-1。 5 式（1）称为贝塞尔公式。 2.11 [测量]不确定度 uncertainty [of a measurement] 表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。 注： 1 此参数可以是诸如标准差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度 2 测量不确定度由多个分量组成。其中一些分量可用测量列结果的统计分布估算，并用实验标准差表征。另一些 分量则可用基于经验或其他信息的假定概率分布估算，也可用标准差表征。 3 测量结果应理解为被测量值之间的最佳估计，全部不确定度分量均贡献给了分散性，包括那些由系统效应引起 的（如，与修正值和参与测量标准有关的）分量。 4 不确定度恒为正值。当由方差得出时，取其正平方根。 5 不确定度一词指可疑程度，广义而言，测量不确定意为对测量结果正确性的可疑程度。不带形容词的不确定度 用于一般概念，当需要明确某一测量结果的不确定度时，要适当用一个形容词，比如合成不确定度或扩展不确定度；但 不要用随机不确定度和系统不确定度这两个术语，必要时可用随机效应导致的不确定度和系统效应导致的不确定度来说 明。 6 《JJF1001-1998 通用计量术语及定义》给出的上述不确定度定义是可操作的定义，即着眼于测量结果及其分散 性。虽然如此，这个定义从概念上来说与下述曾使用过的定义并不矛盾； ——由测量结果给出的被测量估计值的可能误差的度量。 ——表征被测量的真值所处范围的评定。 不论采用以上哪一种不确定度的概念，其评定方法均相同，表达形式也一样。 7 本术语中的方括弧系本规范按 GUM所加。 2.12 标准不确定度 standard uncertainty 以标准差表示的测量不确定度。 2.13 不确定度的 A类评定 type A evaluation of uncertainty 2.14 不确定度的 B类评定 type B evaluation of uncertainty 用不同于对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度。 注：不确定度的 B类评定，有时又称为 B类不确定度评定。 2.15 合成标准不确定度 combined standard uncertainty 当测量结果是由若干个其他量的值求得时，按其他各量的方差或（和）协方差算得的标准不确定度。 注：它是测量结果标准差的估计值。 2.16 扩展不确定度 expanded uncertainty 确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。 注：扩展不确定度有时也称展伸不确定度或范围不确定度。 2.17 包含因子 coverage factor － 5 － 为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘之数字因子。 注： 1 包含因子等于扩展不确定度与合成标准不确定度之比。 2 包含因子有时也称覆盖因子。 3 根据其含义可分为两种：k=U/uc;kp=Up/uc。 4 一般在 2～3范围内。 5 下脚标 p为置信概率，即置信区间所需要的概率。 2.18 自由度 degrees of greedom 在方差的计算中，和的项数减去对和的限制数。 注： 1 在重复性条件下，对被测量作 n 次独立测量时所得的样本方差为（v21+v 2 2+……+v 2 n）/（n-1），其中残差为 v1=x1- - x,v2=x2- - x,…，vn=xn- - x。因此，和的项数即为残差的个数 n，而∑vi=0，是一个约束条件，即限制数为 1。由此可得 自由度 v=n-1。 2 当测量所得 n组数据用 t个求知数按最小二乘法确定经验模型时，自由度 v=n-t。 3 自由度反映相应实验标准差的可靠程度，用于在评定扩展不确定度 Up时求得包含因子 kp。合成标准不确定度 uc(y) 的自由度，称为有效自由度 veff，当 y接受正态分布时，包含因子等于 t分布临界值，即 kp=tp(veff)。 2.19 置信概率 confidence level; level of confidence 与置信区间或统计包含区间有关的概率值（1-α）。 注： 1 符号为 p,p=1-α。 2 经常用百分数表示。 3 又称置信水平，置信系数，置信水准。 2.20 [测量]误差 error [of measurement] 测量结果减去被测量的真值。 注： 1 由于真值不能确定，实际上用的是约定真值。 2 当有必要与相对误差相区别时，此术语有时称为测量的绝对误差。注意不要与误差的绝对值相混淆，后者为误 差的模。 3 误差之值只取一个符号，非正即负。 4 误差与不确定度是完全不同的两个概念，不应混淆或误用。对同一被测量不论其测量程序、条件如何，相同测量 结果的误差相同；而在重复性条件下，则不同结果可有相同的不确定度。 5 测量仪器的特性可以用[示值]误差、最大允许误差等术语描述。 6 随机误差：测量结果与重复性条件下对同一量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。由于实际上只能进行有 限次测量，因而只能得出这一测量结果中随机误差的估计值。随机误差大抵是由影响量的随机时空变化所引起，这种变 化带来的影响称为随机效应，它们导致重复观测中的分散性。 7 系统误差：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量真值之差。由于系统误 差及其原因不能完全获知，因此通过修正值对系统误差只能有限程度的补偿。当测量结果以代数和与修正值相加之后， 其系统误差之模会比修正前的要小，但不可能为零。来源于影响量的已识别的效应称为系统效应。 2.21 修正值 correction 用代数法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值。 注： 1 修正值等于负的系统误差。 2 由于系统误差不能完全获知，因此这种补偿并不完全。 3 为补偿系统误差，而与未修正测量结果相乘的因子称为修正因子。 － 6 － 4 已修正的测量结果即使具有较大的不确定度，但可能仍十分接近被测量的真值(即误差甚小)，因此，不应把测量 不确定度与已修正结果的误差相混淆。 2.22 相关系数 correlation coefficient 相关系数是两个变量之间相互依赖性的度量，它等于两个变量间的协方差除以各自方差之积的正平 方根，因此 其估计值 相关系数是一个纯数，-1≤ρ≤+1或-1≤r(yi,zi)≤+1 注： 1 ρ和 r是-1和+1范围内的纯数，而协方差通常具有不方便的量纲。因此，通常相关系数比协方差更有用。 2 对于多变量概率分布，通常给出相关系数矩阵，而不是协方差矩阵。由于ρ(y,y)=1和 r(yi,yi)=1，所以该矩阵 的对角线元素为 1。 3 如果输入估计值 xi和 xj是相关的，并且 xi变化δi，使 xj产生变化δi，使 xj产生变化δj，则与 xi和 xj相应的相 关系数由下式近似估计 r(xI,xj)≈u(xi)δj/u(xj)δi 这个关系或以用作基本的相关系数经验估计公式。如果两者的相关系数已知，那么此公式也可用于计算由一个输入 估计值变化而引起另一个变化的近似值。 2.23 独立 independence 如果两个随机变量的联合概率分布是它们每个概论分布的乘积，那么这两个随机变量是统计独立 的。 注：如果两个随机变量是独立的，那么它们的协方差和相关系数等于零，但反之不一定成立。 3 产生测量不确定度的原因和测量模型化 3.1 测量过程中的随机效应及系统效应均会导致测量不确定度，数据处理中的修约也会导致不确定度。 这些从产生不确定度的原因上所作的分类，与从评定方法上所作的 A、B分类之间不存在任何联系。 A、B分类旨在指出评定的方法不同，只是为了便于理解和讨论，并不意味着两类分量之间存在本 质上的区别。它们都基于概率分布，并都用方差或标准差定量表示，为方便起见而称为 A类标准不确定 度和 B类标准不确定度。表征 A类标准分量的估计方差 u 2 ，是由一系列重复观测值计算得到的，即为统 计方差估计值 s 2 。标准不确定度 u为 u 2 的正平方根值，故 u=s。B类标准不确定度分量的方差估计值 u 2 ， 则是根据有关信息来评定的，即通过一个假定的概率密度函数得到的，此函数基于事件发生的可信程度， 即主观概率或先验概率。 3.2 测量结果的不确定度反映了对被测量之值的认识不足，借助于已查明的系统效应对测量结果进行 修正后，所得到的只是被测量的估计值，而修正值的不确定度以及随机效应导致的不确定度依然存在。 3.3 测量中可能导致不确定度的来源一般有： a) 被测量的定义不完整； b) 复现被测量的测量方法不理想； c) 取样的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量； d) 对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善； － 7 － e) 对模拟式仪器的读数存在人为偏移； f) 测量仪器的计量性能(如灵敏度、鉴别力阈、分辨力、死区及稳定性等)的局限性； g) 测量标准或标准物质的不确定度； h) 引用的数据或其他参量的不确定度； i）测量方法和测量程序的近似和假设； j) 在相同条件下被测量在重复观测中的变化。 上述不确定度的来源可能相关，例如，第 j项可能与前面各项有关。 对于那些尚未认识到的系统效应，显然是不可能在不确定度评定中予以考虑的，但它可能导致测量 结果的误差。 3.4 测量不确定度通常由测量过程的数学模型和不确定度的传播律来评定。由于数学模型可能不完善， 所有有关的量应充分地反映其实际情况的变化，以便可以根据尽可能多的观测数据来评定不确定度。在 可能情况下，应采用按长期积累的数据建立起来的经验模型。核查标准和控制图可以表明测量过程是否 处于统计控制状态之中，有助于数学模型的建立和测量不确定度的评定。 3.5 在修正值的不确定度较小且对合成标准不确定度的贡献可忽略不计的情况下，可不予考虑。如果 修正值本身与合成标准不确定度比起来也很小时，修正值可不加到测量结果之中。 3.6 在实际工作中，尤其是在法制计量领域中，被测量通过与相应测量标准相比较获得其估计值。对 于测量所要求的准确度来说，测量标准的不确定度及比较过程导致的不确定度，通常可以忽略不计。例 如，用校准过的标准砝码检定商用台案秤。 3.7 当某些被测量是通过与物理常量相比较得出其估计值时，按常数或常量来报告测量结果，可能比 用测量单位来报告测量结果，有较小的不确定度。例如，一台高质量的齐纳电压标准（Zener voltage standard)通过与约瑟夫逊效应电压基准相比较而被校准，该基准是以国际计量委员会(CIPM)向国际推 荐的约瑟夫逊常量 K1-90的约定值为基础的，当按约定的 K1-90作为单位来报告测量结果时，齐纳电压标准 的已校准电压 Vs的相对合成标准不确定度 Ucrel(Vs)=uc(Vs)／Vs=2×10 -8 。然而，当 Vs按电压的单位伏特给 出时，Ucre(Vs)=4×10 -7 ，因为 K1-90用 Hz／V表示其量值时引入了不确定度。 3.8 在测量不确定度评定中，也必须剔除测量结果中的异常值（通常由于读取、记录或分析数据的失 误所导致)。异常值的剔除应通过对数据的适当检验进行(例如，按《GB4883—1985正态分布中异常值的 判断和处理》)。 3.9 测量中，被测量 y(即输出量)由 N个其他量 X1，X2，…，XN，通过函数关系 f来确定，即： Y=f(X1,X2,…，XN) （2） 式中，Xi是对 Y的测量结果 y产生影响的影响量（即输入量）。式（2）称为测量模型或数学模型。 如被测量 Y的估计值为 y，输入量 Xi的估计值为 xi，则有： y=f(x1,x2,……,xN) （3） 式(2)中大写字母表示的量的符号，在本规范中既代表可测的量，也代表随机变量。当叙述为 Xi具 有某概率分布时，这个符号的含义就是后者。 在一列观测值中，第 k 个 Xi的观测值用 Xik表示。如电阻器的电阻符号为 R，则其观测列中的第 k 次值表示为 Rk。 又如，一个随温度 t变化的电阻器两端的电压为 V，在温度为 t0时的电阻为 R0，电阻器的温度系数 为α，则电阻器的损耗功率 P(被测量)取决于 V，R0，α和 t，即： P=f(V，R0，α，t)=V 2／R0[1+α（t-t0）] （4） 测量损耗功率 P的其他方法可能有不同的数学模型。数学模型与测量程序有关。 3.10 输出量 y的输入量 X1，X2，…，XN本身可看作被测量，也可取决于其他量，甚至包括具有系统效 应的修正值，从而可能导出一个十分复杂的函数关系式，以至函数 f不能明确地表示出来。f也可以用 实验的方法确定，甚至只用数值方程给出（数值方程为物理方程的一种，用于表示在给定测量单位的条 件下，数值之间的关系，而无物理量之间的关系)。因此，如果数据表明 f 没有能将测量过程模型化至 － 8 － 测量所要求的准确度，则必须在 f中增加输入量，即增加影响量。例如，在 3.9的例中，再增加以下输 入量：电阻器上已知的温度非均匀分布、电阻温度系数的非线性关系、电阻 R与大气压力ρamb的关系等。 式(2)也可能简单到 Y=X1-X2，甚至 Y=X。 3.11 式(3)中，被测量 Y的最佳估计值 y在通过输入量 X1，X2，…，XN的估计值 x1,x2，…，xN得出时， 可有以下两种方法： a) （5） 式中 y 是取 Y 的 n 次独立观测值 yk的算术平均值，其每个观测值 yk的不确定度相同，且每个 yk 都是根据同时获得的 N个输入量 Xi的一组完整的观测值求得的。 b) y=f( - x1, - x2,…, - xN) (6) 式中， 它是独立观测值 xi,k的算术平均值。这一方法的实质是先求 Xi的最佳估计值 - x1， 再通过函数关系式得出 y。 以上两种方法，当 f 是输入量 Xi的线性函数时，它们的结果相同。但当 f 是 Xi的非线性函数时， (5)式的计算方法较为优越。 3.12 输入量 X1，X2，…，XN可以是： ——由当前直接测定的量。它们的值与不确定度可得自单一观测、重复观测、依据经验对信息的估 计，并可包含测量仪器读取修正值，以及对周围温度、大气压、湿度等影响的修正值。 ——由外部来源引入的量。如已校准的测量标准、有证标准物质、由 手册 华为质量管理手册 下载焊接手册下载团建手册下载团建手册下载ld手册下载 所得的参考数据等。 xI的不确定度是 y的不确定度的来源。寻找不确定度来源时，可从测量仪器、测量环境、测量人员、 测量方法、被测量等方面全面考虑，应做到不遗漏、不重复，特别应考虑对结果影响大的不确定度来源。 遗漏会使 y的不确定度过小，重复会使 y的不确定度过大。 评定 y的不确定度前，为确定 Y的最佳值，应将所有修正量加入测得值，并将所有测量异常值剔除。 Y 的不确定度将取决于 xi的不确定度，为此首先应评定 xi的标准不确定度 u(xi)。评定方法可归纳 为 A、B两类。 4 标准不确定度的 A类评定 4.1 基本方法 在重复性条件或复现性条件下得出 n个观测结果 xk，随机变量 x的期望值μx的最佳估计是 n次独 立观测结果的算术平均值 - x（ - x又称为样本平均值）： （7） 由于影响量的随机变化或随机效应时空影响的不同，每次独立观测值 xk不一定相同，它与 - x之差称 为残差 v， vk=xk- - x (8) 观测值的实验方差按式（1）为： å = = n k ii kxn x 1 ,1 å = = n k kxn x 1 1 å å = = = == n k Nkkk n k k xxxf n y n yy 1 21 1 ),,,(1 1 L － 9 － （9） 式中，s 2 （xk）是 xk的概率分布的总体方差σ2的无偏估计，其正平方根 s(xk)表征了 xk的分散性。 确切地说，表征了它们在 - x上下的分散性。x(xk)称为样本标准差或实验标准差，表示实验测量列中任一 次测量结果的标准差。通常以独立观测列的算术平均值作为测量结果，测量结果的标准不确定度为 s( - x)=s(xk)/√-n=u( - x)。 观测次数 n应充分多，以使 - x成为 x的期望值μx的可靠估计值，并使 s 2 (xk)成为σ 2 的可靠估计值； 从而也使 u(xk)更为可靠。 尽管方差 s 2 (x)在不确定度评定与表示中是更为基本的量，但由于标准差 s(x)与 x有相同量纲，较 为直观和便于理解，故使用得更为广泛。 4.2 对一个测量过程，若采用核查标准或控制图的方法使其处于统计控制状态，则该统计控制下，测 量过程的合并样本标准差 sp表示为： （10） 式中，si为每次核查时的样本标准差；k为核查次数。在相同情况下，由该测量过程对被测量 X进 行 n次重复观测，以算术平均值 - x作为测量结果，则该结果的标准不确定度为： u( - x)=sp/√ -n (11) 4.3 在规范化的常规测量中，如对被测量 xi都进行了重复性条件下或复现性条件下的 n次独立观测， 有 xi1,xi2,…，xin，其平均值 - xi，如有 m组这样的被测量，按下式可得 s 2 p(xi)为： （12） 如这 m组已分别按其重复次数算出了各次实验标准差 si，则 sp可按下式给出： （13） 式（12）和（13）给出的 sp，自由度为 m(n-1)。 如对 m个被测量 Xi所重复的次数不完全相同，设各为 ni，而 Xi的标准差 s(xi)的自由度为 vi=ni-1， 通过 m个 si与 vi可得 s 2 p为： (14) 自由度为 4.4 在重复性条件或复现性条件下，对 Xi进行 n次独立观测，计算结果中的最大值与最小值之差 R（称 为极差），在 Xi可以估计接近正态分布的前提下，单次测量结果 xi的实验标准差 s(xi)可按下式近似地 评定： s(xi)=R/C=u(xi) （15） 式（15）中系数 C及自由度 v如下表： k s s ip å= 2 å = = m i ivv 1 － 10 － 表 1 极差系数 C及自由度 v N 2 3 4 5 6 7 8 9 C 1.13 1.64 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 V 0.9 1.8 2.7 3.6 4.5 5.3 6.0 6.8 一般在测量次数较小时采用该法。 4.5 当输入量 Xi的估计值 xi是由实验数据用最小二乘法拟合的曲线上得到时，曲线上任何一点和表征 曲线拟合参数的标准不确定度，可用有关的统计程序评定。 4.6 在重复性条件下所得的测量列的不确定度，通常比用其他评定方法所得到的不确定度更为客观， 并具有统计学的严格性，但要求有充分的重复次数。此外，这一测量程序中的重复观测值，应相互独立。 例如： a) 被测量是一批材料的某一特性，所有重复观测值来自同一样品，而取样又是测量程序的一部分， 则观测值不具有独立性，必须把不同样本间可能存在的随机差异导致的不确定度分量考虑进去； b) 测量仪器的调零是测量程序的一部分，重新调零应成为重复性的一部分； c) 通过直径的测量计算圆的面积，在直径的重复测量中，应随机地选取不同的方向观测； d) 当使用测量仪器的同一测量段进行重复测量时，测量结果均带有相同的这一测量段的误差，而 降低了测量结果间的相互独立性； e）在一个气压表上重复多次读取示值，把气压表扰动一下，然后让它恢复到平衡状态再进行读数， 因为即使大气压力并无变化，还可能存在示值和读数的方差。 4.7 如果被测量估计值 xi在多次观测中存在相关的随机效应，例如，都与时间有关，则按本规范计算 是不妥的。在这种情况下，应采用专门为相关的随机变量测量列的数据处理设计的统计方法来分析观测 值。例如，在晶振频率测量中，由于噪声导致理论方差发散，从而需采用阿伦方差。 5 标准不确定度的 B类评定 5.1 获得 B类标准不确定度的信息来源一般有： a) 以前的观测数据； b) 对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验； c) 生产部门提供的技术说明文件； d) 校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括目前暂在使用的极限 误差等； e) 手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度； f) 规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限 r或复现性限 R。 用这类方法得到的估计方差 u 2 (xi)，可简称为 B类方差。 5.2 如估计值 xi来源于制造部门的说明书、校准证书、手册或其他资料，其中同时不明确给出了其不 确定度 U（xi）是标准差 s(xi)的 k倍，指明了包含因子 k的大小，则标准不确定度 u(xi)可取 U(xi)/k， 而估计方差 u 2 (xi)为其平方。 例：校准证书上指出标称值为 1kg的砝码质量 m=1000.00032g，并说明按包含因子 k=3给出的扩展 不确定度 U=0.24mg。则该砝码的标准不确定度为 u(m)=0.24mg/3=80μg，估计方差 u2(m)=(80μg)2=6.4 ×10 -9 g 2 。相应的相对标准不确定度为： urel(m)=u(m)/m=80×10 -9 5.3 如 xi的扩展不确定度不是按标准差 s(xi)的 k 倍给出，而是给出了置信概率 p 为 90%、95%或 99% 的置信区间的半宽 U90、U95或 U99，除非另有说明，一般按正态分布考虑评定其标准不确定度 u(xi)。对应 于上述三种置信概率的包含因子 kp分别为 1.64、1.96或 2.58，更为完整的关系如表 2。 － 11 － 表 2 正态分布情况下置信概率 p与包含因子 kp间的关系 p(%) 50 68.27 90 95 95.45 99 99.73 kp 0.67 1 1.645 1.960 2 2.576 3 例：校准证书上给出标称值为 10Ω的标准电阻器的电阻 Rs在 23℃时为： Rs（23℃）=（10.00074±0.00013）Ω 同时说明置信概率 p=99%。 由于 U99=0.13mΩ,按表 2，kp=2.58，其标准不确定度为 u(Rs)=0.13mΩ/2.58=50μΩ,估计方差为 u 2 (Rs)=(50μΩ) 2 =2.5×10 -9Ω2。相应的相对标准不确定度为： urel(Rs)=u(Rs)/Rs=5×10 -6 5.4 如根据所获得的资料表明，输入量 Xi的值有 50%的概率落于 a-和 a+的区间内。取 Xi的最佳估计值 xi为该区间的中点。设该区间的半宽为（a+-a-）/2=a。在假设 Xi的可能值接近正态分布的前提下，按表 2，k50=0.67，则取 xi的标准不确定度 u(xi)=a/0.67,其方差为 u 2 (xi)-(a/0.67) 2 例：机械师在测量零件尺寸时，估计其长度以 50%的概率落于 10.07mm至 10.15mm之间，并给出了 长度 l=(10.11±0.04)mm，这说明 0.04mm为 p=50%的置信区间半宽，在接近正态分布的条件下，按表 2， k50=0.67，则长度 l的标准不确定度为 u(l)=0.04mm/0.67=0.06mm，其方差为 u 2 (l)=(0.04mm/0.67) 2 =3.5 ×10 -3 mm 2 。 5.5 如已知信息表明 Xi之值接近正态分布，并以 0.68概率落于（a+-a-）/2=a的对称范围之内，按表 2， kp=1，则 u(xi)=a。 5.6 如已知信息表明 Xi之值 xi分散区间的半宽为 a，且 xi落于 xi-a至 xi+a区间的概率 p为 100%，即 全部落在此范围中，通过对其分布的估计，可以得出标准不确定度 u(xi)=a/k，因为 k与分布状态有关， 见表 3。 表 3 常用分布与 k、u(xi)的关系 分布类别 p(%) k u(xi) 正 态 99.73 3 a/3 三 角 100 √-6 a/√-6 梯形β=0.71 100 2 a/2 矩形（均匀） 100 √-3 a/√-3 反正弦 100 √-2 a/√-2 两 点 100 1 a 表 3中β为梯形的上底与下底之比，对于梯形分布来说，k= 6/(1+β2)，特别当β等于 1时，梯形 分布变为矩形分布；当β等于 0时，变为三角分布。 例 1：手册中给出纯铜在 20℃时的线膨胀系数 a20（Cu）为 16.52×10 -6 ℃ -1 ,并说明此值变化的半范 围为 a=0.40×10 -6 ℃ -1 。按 a20(Cu)在[（16.52-0.40）×10 -6 ℃ -1 ,(16.52+0.40)×10 -6 ℃ -1 ]区间内为均匀分 布，于是 u(a)=0.40×10 -6 ℃ -1 /√-3=0.23×10 -6 ℃ -1 例 2：数字电压表制造厂说明书说明：仪器校准后 1～2年内，在 1V内示值最大允许误差的模为 14 ×10 -6 ×（读数）+2×10 -6 ×（范围）。设校准后 20月在 1V内测量电压，在重复性条件下独立测得电压 V，其平均值为： － 12 － - V=0.928571V 平均值的实验标准差为：s( - V)=12μV。 电压表最大允许误差的模： a=14×10 -6 ×0.928571V+2×10 -6 ×1V=15μV a即为均匀分布的半宽，按表 3，k=√3，则示值的标准不确定度为： u(ΔV)=15μV/√3=8.7μV 由示值不稳定性导致的不确定度为 A类标准不确定度，即 x( - V)=12μV，由示值误差导致的标准不确 定度为 B类标准不确定度，即 u(ΔV) =8.7μV。 5.7 在缺乏任何其他信息的情况下，一般估计为矩形分布是较合理的。但如果已知被研究的量 Xi的可 能值出现在 a-至 a+中心附近的概率，大于接近区间的边界时，则最好按三角分布计算。如果 xi本身就是 重复性条件下的几个观测值的算术平均值，则可估计为正态分布（参见附录 B）。 5.8 在输入量 Xi可能值的下界 a-和上界 a+相对于其最佳估计值 xi并不对称的情况下，即下界 a-=xi-b-， 上界 a+=xi+b+，其中 b-≠b+。这时由于 xi不处于 a-至 a+区间的中心，Xi的概率分布在此区间内不会是对 称的，在缺乏用于准确判定其分布状态的信息时，按矩形分布处理可采用下列近似评定： （16） 例：设手册中给出的铜膨胀系数α20（Cu）=16.52×10 -6 ℃ -1 ,但指明最小可能值为 16.40×10 -6 ℃ -1 , 最大可能值为 16.92×10 -6 ℃ -1 。 有时对于不对称的界限，可能对估计值 xi加以修正，修正值的大小为（b+-b-）/2，则修正后 xi就 在界限的中心位置 xi=(a-+a+)/2，而其半宽 a=(a+-a-)/2，从而可按 5.4～5.7各节所述方式处理。 5.9 对于数字显示式测量仪器，如其分辨力为δx，则由此带来的标准不确定度为 u(x)=0.29δx。 对于所引用的已修约的值，如其修约间隔为δx，则因此导致的标准不确定度为 u(x)=0.29δx。 5.10 在规定实验方法的国家标准或类似技术文件中，按规定的测量条件，当明确指出两次测量结果之 差的重复性限 r或复现性 R时，如无特殊说明，则测量结果标准不确定度为 u(xi)=r/2.83或 u(xi)=R/2.83 （参见 ISO 5725 Accuracy of measurement methods and results）。 5.11 当测量仪器检定证书上给出准确度等别时，可按检定系统或检定规程所规定的该等别的测量不确 定度大小，按 5.2或 5.3进行评定。 当测量仪器检定证书上给出准确度级别时，可按检定系统或检定规程所规定的该级别的最大允许误 差与其他信息进行评定。 5.12 B 类不确定度分量的自由度与所得到的标准不确定度 u(xi)的相对标准不确定度σ{u(xi)}/u(xi) 有关，其关系为： （17） － 13 － 根据经验，按所依据的信息来源的可信程度来判断 u(xi)的标准不确定度，从而推算出比值σ [u(xi)]/u(xi)。按式（17）计算出的 vi列于表 4： 表 4 σ[u(xi)]/u(xi)与 vi关系 σ[u(xi)]/u(xi) vi σ[u(xi)]/u(xi) vi 0 ∞ 0.30 6 0.10 50 0.40 3 0.20 12 0.50 2 0.25 8 6 合成标准不确定度的评定 6.1 合成标准不确定度按输出量 Y的估计值 y给出的符号为 uc(y)。其中，y通常采用量的符号，如表 压 pe，动力粘度η,溶液中 NaCl的质量分数ω（NaCl）的合成标准不确定度，可分别表示为 uc(pe)、uc(η)、 uc[ω（NaCl）]。U 2 c(y)为输出估计值的合成方差，而合成标准不确定度 Uc(y)为其正平方根。可以按不 确定度分量的 A、B 两类评定方法分别合成，如 ucA(y)、ucB(y)分别为仅按 A、B 类标准不确定度分量的 合成不确定度。 6.2 当全部输入量 Xi是彼此独立或不相关时，合成标准不确定度 uc(y)由下式得出： （18） 式中，标准不确定度 u(xi)既可以按 A类，也可以按 B类方法评定。uc(y)是个估计的标准差，表征 合理赋予被测量 Y之值的分散性。式（18）是基于 y=f(x1,x2,…，xN)的泰勒级数的一阶近似，称为“不 确定度传播律”。但当 f 是明显非线性时，式（18）中还应包括泰勒级数的高阶项，当每个输入量 Xi都 对其平均值 xi对称分布时，加进式（18）的下一高阶的主要项为 6.3 偏导数¶f/¶xI是在 Xi=xi时导出的，这些偏导数称为灵敏系数，符号为 ci，ci =¶f/¶xi。它描述输 出估计值 y如何随输入估计值 x1,x2,…,xN的变化而变化。尤其是，输入估计值 xi的微小变化Δxi引起 y 的变化，可用（Δy）i=（¶f/¶xi）Δxi=ciΔxI表示，如这一变化系 u(xi)所导致，则 y的相应变化为（¶f/¶xi） u(xi)=ciu(xi)。因而式（18）在 Xi互不相关时，可表达为： － 14 － 6.4 有时，灵敏系数 ci可由实验测定，即通过变化第 i个 xi，而保持其余输入量不变，从而测定 Y的 变化量。 6.5 如果，式（2）对输入量 Xi的标称值 Xi,0作一阶展开： 式中： 为了分析不确定度，常将 Xi变换到δi，使被测量近似地为线性函数。 例：5.6节例 2中电压 V= - V+ΔV, 设电压重复测量按 A类评定方法得出 u( - V)=12μV,而测量出的平均 值 - V=0.928571V，附加修正值ΔV=0。 测量仪器引入的标准不确定度 u(ΔV)=8.7μV,由于¶V/¶ - V=1及¶V/¶（ΔV）=1，并且， - V与ΔV彼此 独立，故 V的合成方差为： 6.6 式中，系数 c并非灵敏系数，指数 pi可以是正数、负数或分数，设 pi的不确定度 u(pi)可忽略不计， 则式（18）可表示为： （20） 这里，给出的是相对合成方差，式（20）说明在这一函数关系下，采用相对标准不确定度 Ucrel=uc(y)/|y|和 Urel(xi)=u(xi)/|xi|进行评定比较方便，但要求 y≠0和 xi≠0。 而且，当 Y 具有这一函数形式时，可设 Xi=Xi,0(1+δi),从而实现将 Y 变换成线性函数（见 6.5）， 并得到以下近似关系： 另外，对数变换 Z=lnY和 Wi=lnXi可以使新的变量完全线性化为： 如果， 即估计值 y的相对方差等于输入估计值 xi的相对方差之和。若 y=x n ，则 － 15 － 即 y为 x的 n次幂时，y的相对不确定度等于 x的相对不确定度的 n倍。 例 1：立方体体积 V的测量通过输入长 l、宽 b和高 h，其函数关系为： 按式 或写成 例 2：圆柱体体积 V的测量通过输入半径 r与高 h，其函数关系为： V=πr2h 式中，u(π)可通过取适当的有效位而忽略不计，则按式（20）可得： u 2 crel(V)=2 2 u 2 crel(r)+u 2 rel(h) 6.7 当被测量 Y为相互独立的输入量 Xi的线性函数时，且灵敏系数 ci为+1或-1，则式（18）可简化为： （21） 例：y=x1+x2 6.8 当输入量 Xi明显相关时，就必须考虑其相关性。相关常由相同原因所致，比如当两个输入量使用 了同一台测量仪器，或者使用了相同的实物标准或参考数据，则这两个输入量之间就会存在较大的相关 性。 6.9 当输入量相关时，测量结果 y的合成方差 u 2 c(y)的表达式为： （22） 式中，xi和 xj分别是 Xi和 Xj的估计值，而协方差 u(xi,xj)=u(xj,xi)，则 xi与 xj之间相关程度可用 估计的相关系数来表示： （23） 式中，r(xi,xj)=r(xj,xi)且-1≤r(xi,xj)≤+1，如 xi与 xj相互独立，则 r(xi,xj)=0,即一个值的变化 不会预期另一个值也发生变化。 相关系数这一术语比协方差易于理解，式（22）中的协方差项可写成： （24） x xun y yuc )()( = － 16 － （25） 在所有输入估计值都相关，且相关系数 r(xi,xj)=1的特殊情况下，式（25）简化为： 这时，uc(y)为由每个输入估计值 xi的标准不确定度 u(xi)产生的输出估计值 y的标准不确定度分量 ui(y)=ciu(xi)的线性和。 例：当标称值均为 1kΩ的 10个电阻器，用同一个值为 Rs的标准电阻器校准时，设校准不确定度可 忽略，检定证书给出的 Rs不确定度 u(Rs)=0.10Ω。现将此 10个电阻器用电阻可忽略的导线串联，构成 标称值为 10kΩ的参考电阻 Rref=f(Ri)= Ri。由于对电阻器来说 r(xi,xj)= r(Ri,Rj)=1， ¶f/¶xi=¶Rref/¶Ri=1，u(xi)=u(Ri)=u(Rs)，则： 6.10 合成标准不确定度 uc(y)的自由度称为有效自由度 veff，如果 u 2 c(y)是两个或多个估计方差分量的 合成，即 u 2 c(y)= c 2 iu 2 (xi)，则即使当每个 xi均为服从正态分布的输入量 Xi的估计值时，变量（y-Y） /uc(y)可以近似为