2012年全国中考数学（100套）压轴题分类解析汇编专题5：定值问题

2012年全国中考数学（100套）压轴题分类解析汇编 专题5：定值问题 1. （2012江西南昌8分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C． （1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）． ①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质； ②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由． 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】解：（1）∵抛物线 ， ∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）。 （2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质： 对称轴为x=2；都经过A（1，0），B（3，0）两点。 ②线段EF的长度不会发生变化。 ∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点， ∴kx2﹣4kx+3k=8k，∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8。解得：x1=﹣1，x2=5。 ∴EF=x2﹣x1=6。∴线段EF的长度不会发生变化。 【考点】二次函数综合题，二次函数的性质。 【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a＞0时，抛物线的开口向上；a＜0时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。 （2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。 ②联立直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，从而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化。 2. （2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD 以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合， 连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH 的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中 0≤x≤2.5. ⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值； ⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数； ⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长. 【答案】解：（1）∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则 。∴ 。 ∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，∴GD=3－x，AG=4－x。 ∴ ，即 。∴y关于x的函数关系式为 QUOTE EMBED Equation.DSMT4 。 当y =3时， QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，解得:x=2.5。 （2）∵ ， ∴ 为常数。 （3）延长PD交AC于点Q. ∵正方形ABCD中，AC为对角线，∴∠CAD=45°。 ∵PQ⊥AC，∴∠ADQ=45°。 ∴∠GDP=∠ADQ=45°。 ∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP。 ∴ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 ，化简得： ，解得： 。 ∵0≤x≤2.5，∴ QUOTE EMBED Equation.DSMT4 。 在Rt△DGP中， 。 【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由 可解出x的值。 （2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可。 （3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度。 3. （2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交 于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线 、 ． (1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON为直径的圆与直线 相切； (3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线 的距离之和等于线段MN的长． 【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2＋bx＋c， 则 解得 。 ∴抛物线对应二次函数的解析式 所以 。 （2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点M、N在抛物线上， ∴ ，∴x22=4(y2+1)。 又∵ ，∴ 。 又∵y2≥－l，∴ON=2＋y2。 设ON的中点E，分别过点N、E向直线 作垂线，垂足为P、F， 则 ， ∴ON=2EF， 即ON的中点到直线 的距离等于ON长度的一半， ∴以ON为直径的圆与 相切。 （3）过点M作MH⊥NP交NP于点H，则 ， 又∵y1=kx1，y2=kx2，∴（y2－y1)2=k2(x2－x1)2。∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2。 又∵点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上， ∴ ，即x2－4kx－4=0，∴x2＋x1=4k，x2·x1=－4。 ∴MN2=(1+k2)(x2一xl)2=(1+k2)[ (x2＋xl)2－4x2·xl] =16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。 延长NP交 于点Q，过点M作MS⊥ 交 于点S， 则MS＋NQ=y1＋2＋y2＋2= ∴MS+NQ=MN，即M、N两点到 距离之和等于线段MN的长。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。 【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。 （2）要证以ON为直径的圆与直线 相切，只要证ON的中点到直线 的距离等于ON长的一半即可。 （3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出MN和M、N两点到直线 的距离之和，相比较即可。 4. （2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx与抛物线 交于点A（3，6）． （1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度； （2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由； （3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？ 【答案】解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。 ∴y=2x。 ∴ 。 （2）线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，理由如下： 如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H． ①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合， 此时 。 ②当QH与QM不重合时， ∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上， ∴∠MQH=∠GQN。 又∵∠QHM=∠QGN=90°，∴△QHM∽△QGN。∴ 。 当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 。 ∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。 （3）如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R。 ∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF。 ∴OC=AC= 。 ∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC， ∴△AOR∽△FOC。∴ 。∴OF= 。 ∴点F（ ，0）。 设点B（x， ），过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF。 ∴ ，即 。 解得x1=6，x2=3（舍去）。∴点B（6，2）。 ∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4。∴AB=5。 在△ABE与△OED中，∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。 ∴∠ABE=∠DEO。 ∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED。 设OE=x，则AE= ﹣x （ ）， 由△ABE∽△OED得 ，即 。 ∴ 。 ∴顶点为 。 如图3，当 时，OE=x= ，此时E点有1个； 当 时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个． ∴当 时，E点只有1个，当 时，E点有2个。 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。 【分析】（1）利用待定系数法求出直线y=kx的解析式，根据A点坐标用勾股定理求出线段OA的长度。 （2）如图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H，构造相似三角形△QHM与△QGN，将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比，即 为定值．需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立。 （3）由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED。在相似三角形△ABE与△OED中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度，如图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数（直线）的性质求得AB的长度。设OE=x，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式 ，这是一个二次函数．借助此二次函数图象（如图3），可见m在不同取值范围时，x的取值（即OE的长度，或E点的位置）有1个或2个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。 5. （2012广西玉林、防城港12分）如图，在平面直角坐标系 O 中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ= . （1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围； （2）连接AQ并延长交 轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△A EF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值. （3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？ 【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，OP=4，CQ=2， 在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC= =4， ∴OC=OP+P C=4+4=8。[来源:Zxxk.Com] 又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）。 t的取值范围为：0＜t＜4。 （2）结论：△AEF的面积S不变化。 ∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC。 ∴ ，即 ，解得CE= 。 由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4－t，则CF=CD+DF=8－t。 S=S梯形AOCF＋S△FCE－S△AOE= （OA+CF）•OC+ CF•CE－ OA•OE = [4＋（8－t）]×8+ （8－t）• － ×4×（8＋ ）。 化简得：S=32为定值。 所以△AEF的面积S不变化，S=32。 （3）若四边形APQF是梯形，因为AP与CF不平行，所以只有PQ∥AF。 由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF。 ∴CP：AD=CQ：DF，即8－2t：8= t：4－t，化简得t2－12t＋16=0， 解得：t1=6+2 ，t2= 。 由（1）可知，0＜t＜4，∴t1=6+2 不符合题意，舍去。 ∴当t= 秒时，四边形APQF是梯形。:Z*xx*k.Com] 【考点】动点和翻折问题，矩形的性质，勾股定理，翻折对称的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的性质，解一元二次方程。 【分析】（1）由勾股定理可求PC而得点C的坐标，根据矩形的性质可得点D的坐标。点P到达终点所需时间为8÷2=4秒，点Q到达终点所需时间为4÷1=4秒，由题意可知，t的取值范围为：0＜t＜4。 （2）根据相似三角形和翻折对称的性质，求出S关于t的函数关系式，由于关系式为常数，所以△AEF的面积S不变化，S=32。 （3）根据梯形的性质，应用相似三角形即可求解。