2013-2014学年度数学中考二轮复习专题卷-二次函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．二次函数 的图象的顶点坐标是【 】 A．（1，3） B．（ ，3） C．（1， ） D．（ ， ） 2．下列函数是二次函数的是【 】 A． B． C． D． 3．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式结果为 ( ) A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D． y＝(x－1)2＋2 4．二次函数y＝－3x2－6x＋5的图像的顶点坐标是 A．(－1，2) B．(1，－4) C．（－1，8) D．(1，8)） 5．如图，抛物线 与双曲线 的交点A的横坐标是1，则关于 的不等式 的解集是（ ） A．x>1 B．x <1 C．0
-1 7．直角坐标平面上将二次函数y=x2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ） A．（0，0） B．（1，﹣1） C．（0，﹣1） D．（﹣1，﹣1） 8．已知二次函数 ，则此二次函数（ ） A. 有最大值1 B. 有最小值1 C. 有最大值-3 D. 有最小值-3 9．如图，已知抛物线 的对称轴为 ，点A，B均在抛物线上，且 与x轴平行，其中点 的坐标为（n，3），则点 的坐标为 ( )． A．（n+2，3） B．（ ，3） C．（ ，3） D．（ ，3） 10．将抛物线 向下平移1个单位，得到的抛物线是( )． A． B． C． D． 11．已知二次函数 （m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程 的两实数根是 A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3 12．若二次函数 的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点【 】 A．（2，4） B．（－2，－4） C．（－4，2） D．（4，－2） 13．若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为【 】 A．直线x=1 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=﹣4 14．若抛物线 与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是【 】 A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是x=1 C．当x=1时，y的最大值为﹣4 D．抛物线与x轴的交点为（－1，0），（3，0） 15．如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是【 】 A． B． C． D． 16．如图，二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是【 】 A．abc＜0 B．2a＋b＜0 C．a－b＋c＜0 D．4ac－b2＜0 17．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中： ①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0， 错误的个数有【 】 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．若二次函数 (a≠0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x10 B．b2－4ac≥0 C．x1
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： 价格x（元/个） … 30 40 50 60 … 销售量y（万个） … 5 4 3 2 … 同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元． （1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式． （2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最 大，最大值是多少？ （3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？ 42．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三点． （1）求抛物线的解析式；[来源:Zxxk.Com] （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 43．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系： x 3000 3200 3500 4000 y 100 96 90 80 （1）观察
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，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式. （2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表: 租出的车辆数 未租出的车辆数 租出每辆车的月收益 所有未租出的车辆每月的维护费 （3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元． 44．如图，在平面直角坐标系 中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经 过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封 闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0， ），点M是抛物线C2： （ ＜0）的顶点． （1）求A、B两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM为直角三角形时，求 的值． 45．如图，已知抛物线 与直线 交于点O（0，0）， 。点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作ｘ轴、ｙ轴的平行线与直线OA交于点C，E。 （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点C为OA的中点，求BC的长； （3）以BC，BE为边构造条形BCDE，设点D的坐标为（ｍ，ｎ），求ｍ，ｎ之间的关系式。 46．如图，已知抛物线 与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设P为对称轴上 一动点，求△APC周长的最小值； （3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ． 47．如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线y=x交于点A，点B在直线 上，∠BOA=90°．抛物线 过点A，O，B，顶点为点E． （1）求点A，B的坐标； （2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； （3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．[来源:学§科§网] 48．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒． （1）当t= 时，点P与点Q相遇； （2）在点P从点B到点C的运动过程中，当ι为何值时，△PCQ为等腰三角形？ （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为s平方单位． ①求s与ι之间的函数关系式； ②当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在 直线PC上，求折叠后的 △APD与△PCQ重叠部分的面积． 49．如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L． （1）求△ABC的面积； （2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式； （3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积． 50．已知，如图(a)，抛物线 经过点A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，－2)，其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N。∠ONE=30°， 。 （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图（b）,点Q为 上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH·AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 参考答案 1．A。 【解析】直接根据顶点式写出顶点坐标是（1，3）。故选A。 2．C。 【解析】根据二次函数的定义，形如 （其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，所给函数中是二次函数的是 。故选C。 3．D 【解析】 试题分析：二次函数y＝x2－2x＋3= = 所以选D 考点：二次函数 点评：本题考查二次函数，解答本题需要考生掌握二次函数的一般式和顶点式，能把一般式化成顶点式的形式 4．C 【解析】 试题分析：先把二次函数化为顶点式，再根据二次函数的性质即可作出判断. ∵ ∴ 的图像的顶点坐标是（－1，8） 故选C. 考点：二次函数的性质 点评：二次函数的性质是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握. 5．C 【解析】 试题分析：由 得， ， ∵点A的横坐标为1， ∴不等式的解集是0＜x＜1． 故选C． 考点：二次函数与不等式（组）． 6．B 【解析】 试题分析：因为ｍ＜0，所以抛物线的开口向下，其对称轴为ｘ＝1，只有在对称轴x=1的左侧时，才能具备y随x的增大而增大．故选B. 考点：二次函数的性质． 7．D 【解析】 试题分析：∵由函数图象平移的法则可知，将二次函数y=x2-2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得函数的解析式为：y=（x+1）2-1，∴其顶点坐标为（-1，-1）．故选D． 考点：二次函数图象与几何变换． 8．D 【解析】 试题分析：因为抛物线开口向上，顶点坐标为（1，－3），所以此二次函数有最小值－3. 故选B． 考点：二次函数的最值． 9．C 【解析】 试题分析：二次函数的图像关于对称轴对称抛物线 的对称轴为 ，点 ， 均在抛物线上，且 与 轴平行，其中点 的坐标为（n，3），则点 的横坐标为 ,纵坐标与点A的纵坐标相同. 考点：二次函数的图像性质. 10．B 【解析】 试题分析：将抛物线 向上平移 ( ＞0)个单位，得到的抛物线是 ; 向下平移 ( ＞0)个单位得到的抛物线是 .规律是:上加下减. 考点：二次函数解析式． 11．B。 【解析】 试题分析：∵二次函数 （m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)， ∴ 。∴ 。故选B。 12．A。 【解析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入 ，得 ， ∴二次函数解析式为 。 ∴所给四点中，只有（2，4）满足 。故选A。 13．C。 【解析】∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），∴﹣2a+b=0，即b=2a。 ∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线 。故选C。 14．C。 【解析】∵抛物线过点（0，－3），∴ 。∴抛物线的解析式为： 。因此， A、抛物线的二次项系数为1＞0，抛物线的开口向上，说法正确。 B、根据抛物线的对称轴 ，说法正确。 C、由A知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当x=1时，y的最小值为－4，而不是最大值。说法错误． D、当y=0时，有 ，解得：x1=－1，x2=3，抛物线与x轴的交点坐标为（－1，0），（3，0）。说法正确． 故选C。 15．C。 【解析】如图，连接OB、OC、OA， ∵⊙O切AM于B，切AN于C， ∴∠OBA=∠OCA=90°，OB=OC=r，AB=AC。 ∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣α=（180﹣α）°。 ∵AO平分∠MAN， ∴∠BAO=∠CAO=α， 。 ∴阴影部分的面积 。 ∴S与r之间是二次函数关系。 ∵r＞0，∴二次函数图象在第一象限。 故选C。 16．D。 【解析】A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0， 抛物线的对称轴 ； 抛物线与y轴交与负半轴，则c＜0， ∴abc＞0。故本选项错误。 B、∵ ，∴b=－2a，即2a＋b=0。故本选项错误。 C、∵对称轴为直线x=1，图象经过（3，0）， ∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（－1，0）。 ∴当x=－1时，y=0，即a－b＋c=0。故本选项错误。 D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2－4ac＞0，即4ac－b2＜0。故本选项正确。 故选D。 17．B。 【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，利用图象将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断： ①∵由函数图象开口向下可知，a＜0，由函数的对称轴 ＜0得b＞0，∴2a﹣b＜0，①正确； ②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，∴abc＜0；②正确； ③当x=1时，y=a+b+c＜0，③正确； ④当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，④错误； ⑤当x=2时，y=4a+2b+c＜0，⑤错误； 故错误的有2个。故选B。 18．D 【解析】 试题分析：a的符号不能确定，选项A错误。[来源:学科网] 二次函数 (a≠0)的图象与x轴有两个交点，故b2－4ac＞0。选项B错误。 分a>0，a<0两种情况画出两个草图来分析（见下图）： 由于a的符号不能确定（可正可负，即抛物线的开口可向上，也可向下），所以x0，x1， x2 的大小就无法确定。选项C错误。 在图1中，a<0且有x00，且有x1< x0< x2，则a(x0－x1)( x0－x2)<0.。选项C正确。 故选D。 19．C 【解析】 试题分析：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线 上，∴ ，解得：a=1 ∴抛物线解析式为y=x2。 ∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），∴OB=OD=2。 ∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，∴CD∥x轴。 ∴点D和点P的纵坐标均为2。∴令y=2，得2=x2，解得： 。 ∵点P在第一象限，∴点P的坐标为：（ ，2）。故选C。 20．D 【解析】 试题分析：A、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线x=1，则图象关于直线x=1对称，正确，故本选项不符合题意； B、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），又抛物线开口向上，所以函数ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，正确，故本选项不符合题意； C、由图象可知抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线x=1，所以抛物线与x轴的另外一个交点为（3，0），则﹣1和3是方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，正确，故本选项不符合题意； D、由抛物线的对称轴为x=1，所以当x＜1时，y随x的增大而减小，错误，故本选项符合题意。 故选D。 21．2 【解析】 试题分析：抛物线图象与轴的交点个数是有对应的一元二次方程的根的判别式 决定的， 时，抛物线图象与轴的有两个交点 时，抛物线图象与轴的无交点； 时, 抛物线图象与轴有唯一一个交点.本题 ,故有2个交点 考点：抛物线图象与轴的交点个数． 22．（0，1） 【解析】 试题分析：根据顶点式解析式写出顶点坐标即可：二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1）。 23．四 【解析】 试题分析：根据图象，由抛物线的对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，根据抛物线开口向下得到a小于0，故b大于0，再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴，得到c大于0，即a＜0，b＞0，c＞0。 根据一次函数图象与系数的关系：对于，函数 ， ①当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、三象限； ②当 ， 时，函数 的图象经过第一、三、四象限； ③当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、四象限； ④当 ， 时，函数 的图象经过第二、三、四象限。 因此，由于函数y=bx+c的 ， ，故它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。 24． 【解析】 试题分析：∵抛物线 的顶点坐标为（0，1）， ∴向上平移3个单位，再向左平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）。 ∴所得抛物线的解析式为 。 25．1。 【解析】根据二次函数的最值原理，抛物线 的最小值是 。 26．5 【解析】 试题分析：根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可： 当y=0时， ， 解得：x1=﹣1，x2=5。 ∴羽毛球飞出的水平距离为5米。 27．m≥﹣2 【解析】 试题分析：抛物线的对称轴为直线 ， ∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大， ∴﹣m≤2，解得m≥﹣2。 28．①②⑤ 【解析】 试题分析：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac。故①正确。 ②抛物线开口向上，得：a＞0；[来源:Zxxk.Com] 抛物线的对 称轴为 ，b=﹣2a，故b＜0； 抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0； 所以abc＞0。故②正确。 ③∵抛物线的对称轴为 ，b=﹣2a，∴2a+b=0，故2a﹣b=0。故③错误。 ④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）； 由函数的图象知：当x=﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故④错误。 ⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）； 当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0。故⑤正确。 综上所述，结论正确的有①②⑤。 29．（5，3） 【解析】 试题分析：直接根据顶点式写出顶点坐标（5，3）。 30．﹣2 【解析】 试题分析：把点（1，2）和（﹣1，﹣6）分别代入y=ax2+bx+c（a≠0）得： ， ①+②得：2a+2c=﹣4，则a+c=﹣2。 31．9 【解析】 分析：∵抛物线y=x2+bx+cx轴只有一个交点，∴当 时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c． 又∵点A（m，n），B（m+6，n），∴点A、B关于直线 对称。 ∴A（ ，n），B（ ，n）。 将A点坐标代入抛物线解析式，得： 。 32． ＞ 【解析】 试题分析：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点，所以 ，解得c=0，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点（-2，0），即 ，所以 ，由图知抛物线的开口向下，所以a<0; 2a-3b= >0,所以2a-3b>0 考点：抛物线 点评：本题考查抛物线，解答本题需要掌握抛物线的开口方向与a的关系，点在抛物线上，则点的坐标满足抛物线的解析式 33． 【解析】 试题分析：⊙P的半径为2，圆心P在抛物线 上运动，当⊙P与 轴相切时，那么y=2，即 ，解得 ，所以圆心P的坐标为 考点：抛物线，直线与圆相切 点评：本题考查抛物线，直线与圆相切，解答本题需要掌握抛物线的性质和直线与圆相切的性质 34．2 【解析】 试题分析：∵一段抛物线：y=-x（x-3）（0≤x≤3）， ∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0）， ∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得 C3，交x轴于点A3； … 如此进行下去，直至得C13． ∴C13的与x轴的交点横坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方， ∴C13的解析式为：y13=-（x-36）（x-39）， 当x=37时，y=-（37-36）×（37-39）=2． 故答案为：2． 考点：二次函数图象与几何变换． 35．③④。 【解析】设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0． 联立 得： =kx，即x2﹣3kx﹣6=0，∴m+n=3k，mn=﹣6。 设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（0，﹣4），A（m，km）代入得： ，解得 。∴直线PA的解析式为 。 令y=0，得x= ，∴直线PA与x轴的交点坐标为（ ，0）。 同理可得，直线PB的解析式为 ，直线PB与x轴交点坐标为（ ，0）。 ∵ ， ∴直线PA、PA与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PA关于y轴对称。 ①说法①错误，理由如下： 如答图1所示， ∵PA、PB关于y轴对称，∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上。 连接OA′，则OA=OA′，∠POA=∠POA′。 假设结论：PO2=PA•PB成立，即PO2=PA′•PB，∴ 。 又∵∠BOP=∠BOP，∴△POA′∽△PBO。 ∴∠POA′=∠PBO。∴∠AOP=∠PBO。 而∠AOP是△PBO的外角，∴∠AOP＞∠PBO。矛盾。 ∴说法①错误。 ②说法②错误。理由如下： 易知： ，∴ 。 由对称可知，PO为△APB的角平分线， ∴ 。∴ 。 ∴（PA+AO）（PB﹣BO）=（PA+AO）[ ﹣（ ）] = （PA+AO）（PA﹣OA）= （PA2﹣AO2）。 如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD=﹣km，PD=4+km， ∴PA2﹣AO2=（PD2+AD2）﹣（OD2+AD2） =PD2﹣OD2 =（4+km）2﹣（﹣km）2=8km+16。 ∵m+n=3k，∴k= （m+n）。 ∴PA2﹣AO2=8• （m+n）•m+16= m2+ mn+16= m2+ ×（﹣6）+16= m2。 ∴（PA+AO）（PB﹣BO）= （PA2﹣AO2）= • m2=﹣ mn=﹣ ×（﹣6）=16。 ∴（PA+AO）（PB﹣BO）为定值，所以说法②错误。 ③说法③正确，理由如下： 当 时，联立方程组： ，得A（ ，2），B（ ，﹣1）， ∴BP2=12，BO•BA=2×6=12。∴BP2=BO•BA。故说法③正确。 ④说法④正确，理由如下： ∵S△PAB=S△PAO+S△PBO= OP•（﹣m）+ OP•n= OP•（n﹣m）=2（n﹣m） ， ∴当k=0时，△PAB面积有最小值，最小值为 。故说法④正确。 综上所述，正确的说法是：③④。 【答案】解：设抛物线解析式为： ----------------1分 由题意知： --------------------------------------2分 解得： ----------------------------------------------4分 ∴抛物线解析式为 【解析】略 37．当k=1时，y= x2＋3x+1;当k=0时y=x+1, 图象略 38．见解析 39．只要m的值不大于-1即可 【解析】 （1）当k=1时，y= x2＋3x+1;当k=0时y=x+1, 图象略 (2) 对任意实数k, 函数的图象都经过点（-2，-1）和点（0,1） 证明；把x=-2代入函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1，得y=-1，即函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图像经过点（ -2，-1）；把x=0代入函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1，得y=1，即函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图像经过点（0,1） （3）当k为任意负实数，该函数的图像总是开口向下的抛物线，其对称轴为 ，当负数k所取的值非常小时，正数 靠近0，所以 靠近-1，所以只要m的值不大于-1即可。 40．(1) ；(2)与y轴交点（0，3），与x轴交点（-3，0）、（1，0）. 【解析】 试题分析：（1）将A（-2，5），B（1，-4）代入y=x2+bx+c，用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）分别把x=0，y=0，代入二次函数的解析式，求出对应的y值与x的值，进而得出此二次函数与坐标轴的交点坐标； 试题解析：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4, 将B（2，-5）代入得：a=-1, ∴该函数的解析式为：y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3, （2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）, 令y=0，-x2-2x+3=0，解得：x1=-3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（-3，0），（1，0）. 考点：1.用待定系数法求抛物线解析式;2.函数图象交点. 41．解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，设解析式为：y=ax+b， 则 ，解得： 。 ∴函数解析式为：y= x+8。 （2）根据题意得： z=（x﹣20）y﹣40=（x﹣20）（ x+8）﹣40= x2+10x﹣200= （x2﹣100x）﹣200 = [（x﹣50）2﹣2500]﹣200= （x﹣50）2+50， ∵ ＜0，∴x=50，z最大=50。 ∴该公司销售这种计算器的净得利润z与销售价格x）的函数解析式为z= x2+10x﹣200，销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元。 （3）当公司要求净得利润为40万元时，即 （x﹣50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60。 作函数图象的草图， 通过观察函数y= （x﹣50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60． 而y与x的函数关系式为：y= x+8，y随x的增大而减少， ∴若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个。 【解析】 试题分析：（1）根据数据得出y与x是一次函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析式。 （2）根据z=（x﹣20）y﹣40得出z与x的函数关系式，应用二次函数最值原理求解即可。 （3）首先求出40= （x﹣50）2+50时x的值，从而二次函数的性质根据得出x（元/个）的取值范围，结合一次函数的性质即可求得结果。 42．解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， ∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三点在抛物线上， ∴ ，解得 。 ∴抛物线的解析式为： 。 （2）∵ ，∴其对称轴为直线x=2。 连接BC，如图1所示， ∵B（5，0），C（0， ）， ∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）， ，解得： 。 ∴直线BC的解析式为 。 当x=2时， ， ∴P（2， ）。 （3）存在。 如图2所示， ①当点N在x轴下方时， ∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0， ）， ∴N1（4， ）。 ②当点N在x轴上方时， 如图2，过点N作ND⊥x轴于点D， 在△AND与△MCO中， ， ∴△AND≌△MCO（ASA）。 ∴ND=OC= ，即N点的纵坐标为 。 ∴ ，解得 或 。 ∴N2（ ， ），N3（ ， ）． 综上所述，符合条件的点N的坐标为（4， ），（ ， ）或（ ， ） 【解析】 试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三点代入求出a、b、c的值即可。 （2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可。 （3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论。 43．解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为 ， 将（3000，100），（3200，96）代入得 ，解得： 。 ∴ 。 将（3500，90），（4000，80）代入检验，适合。 ∴y与x间的函数关系是 。 （2）填表如下： 租出的车辆数 未租出的车辆数 租出每辆车的月收益 所有未租出的车辆每月的维护费 （3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得： 当x=4050时，Wmax=307050， ∴当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元 【解析】 试题分析：（1）判断出y与x的函数关系为一次函数关系，再根据待定系数法求出函数解析式。 （2）根据题意可用代数式求出出租车的辆数和未出租车的辆数即可。 （3）租出的车的利润减去未租出车的维护费，即为公司最大月收益。 44．解：（1）令y=0，则 ， ∵m＜0，∴ ，解得： ， 。 ∴A（ ，0）、B（3，0）。 （2）存在。理由如下： ∵设抛物线C1的表达式为 （ ）， 把C（0， ）代入可得， 。 ∴Ｃ1的表达式为： ，即 。 设P（p， ）， ∴ S△PBC = S△POC + S△BOP –S△BOC = 。 ∵ <0，∴当 时, S△PBC最大值为 。 （3）由C2可知： B（3，0），D（0， ），M（1， ）， ∴BD2= ，BM2= ，DM2= 。 ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况： 当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2 ，即 ＋ = ， 解得： , (舍去)。 当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2 ，即 ＋ = ， 解得： ， (舍去) 。 综上所述， 或 时，△BDM为直角三角形。 【解析】（1）在 中令y=0，即可得到A、B两点的坐标。 （2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC = S△POC + S△BOP –S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值。 （3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值。 45．解：（1）∵点 在直线 上，∴ ，即 。 ∴点A的坐标是（6，12）。 又∵点A（6，12）在抛物线 上， ∴把A（6，12）代入 ，得 。 ∴抛物线的函数解析式为 。 （2）∵点C为OA的中点，∴点C的坐标是（3，6）。 把 代入 ，解得 （舍去）。 ∴ 。 （3）∵点D的坐标为（ｍ，ｎ），∴点E的坐标为 ，点C的坐标为 。 ∴点B的坐标为 。 把 代入 ，得 ，即 。 ∴ｍ，ｎ之间的关系式为 。 【解析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足于方程的关系，先求得由点A在直线 上求得点A的坐标，再由点A在抛物线 上，求得 ，从而得到抛物线的函数解析式。 （2）由于点B，C的纵坐标相等，从而由点C为OA的中点求得点C的坐标，将其纵坐标代入 ，求得 ，即可得到BC的长。 （3）根据题意求出点B的坐标，代入 即可求得ｍ，ｎ之间的关系式。 46． 解：（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2， ∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）。 设抛物线的函数表达式为 ， 将A（1，0）代入得： ，解得 。 ∴抛物线的函数表达式为 ，即 。 （2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA． 由（1）抛物线解析式为 ，A（1，0），B（3，0）， ∴C（0，3）。 ∴ 。 ∵点A、B关于对称轴x=2对称，∴PA=PB。∴PA+PC=PB+PC。此时，PB+PC=BC。 ∴点P在对称轴上运动时，（PA+PB）的最小值等于BC。 ∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC= 。 （3）（2，﹣1）。 【解析】 试题分析：（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0），所以设抛物线的顶点式 ，将点A的坐标代入即可求得h，得到抛物线的函数表达式。 （2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．根据抛物线的对称性质得到PA=PB，则△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根据两点间的距离公式来求该三角形的周长的最小值即可。 （3）如图2，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线 的顶点坐标，即（2，﹣1）。 47．解：（1）由直线 与直线y=x交于点A，得 ，解得， 。 ∴点A的坐标是（3，3）。 ∵∠BOA=90°，∴OB⊥OA。 ∴直线OB的解析式为y=﹣x。 又∵点B在直线 上，∴ ，解得， 。 ∴点B的坐标是（﹣1，1）。 综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）。 （2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）， ∵抛物线 过点A，O，B， ∴ ，解得， 。 ∴该抛物线的解析式为 。 ∵ ，∴顶点E的坐标是（ ， ）。 （3）OD与CF平行。理由如下： 由（2）知，抛物线的对称轴是x= 。 ∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，∴C（ ， ）。 设直线BC的表达式为 ，把B（﹣1，1），C（ ， ）代入，得 ，解得， 。 ∴直线BC的解析式为 。 ∵直线BC与抛物线交于点B、D，∴ ，解得，x1= ，x2=﹣1．。 把x1= 代入 ，得y1= ，∴点D的坐标是（ ， ）。 如图，作DN⊥x轴于点N， 则 ∵FE∥x轴，点E的坐标为（ ， ）， ∴点F的纵坐标是 。 把y= 代入 ，得x= ， ∴点F的坐标是（ ， ）， ∴EF= 。 ∵CE= ，∴ 。 ∴∠CFE=∠DON。 又∵FE∥x轴，∴∠CMN=∠CFE。∴∠CMN=∠DON。 ∴OD∥CF，即OD与CF平行。 【解析】 试题分析：（1）由直线 与直线y=x交于点A，列出方程组 ，通过解该方程组即可求得点A的坐标；根据∠BOA=90°得到直线OB的解析式为y=﹣x，则 ，通过解该方程组来求点B的坐标即可。 （2）把点A、B、O的坐标分别代入已知二次函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组即可求得该抛物线的解析式。 （3）如图，作DN⊥x轴于点N，欲证明OD与CF平行，只需证明同位角∠CMN与∠DON相等即可。 48．解：（1）7。 （2）点P从B到C的时间是3秒，此时点Q在AB上，则 当 时，点P在BC上，点Q在CA上，若△PCQ为等腰三角形，则一定为等腰直角三角形，有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1。 当 时，点P在BC上，点Q在AB上，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC（如图1），则点Q在PC的中垂线上。 作QH⊥AC，则QH= PC，△AQH∽△ABC， 在Rt△AQH中，AQ=2t﹣4， 则 。 ∵PC=BC﹣BP=3﹣t， ∴ ，解得： 。 综上所述，在点P从点B到点C的运动过程中，当t=1或 时，△PCQ为等腰三角形。 （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上， 则PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即 。 同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是： ， ∴ 。 ∴当t=5时，s有最大值，此时，P是AC的中点（如图2）。 ∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上， ∴PD一定是AC的中垂线。 ∴AP=CP= AC=2，PD= BC= 。 ∴AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4。 如图2，连接DC（即AD的折叠线）交PQ于点O，过Q作QE⊥CA于点E，过O作OF⊥CA于点F，则△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积。 则QE= AQ= ×4= ，EA= AQ= ×4= 。 ∴EP= ，CE= 。 设FP=x，FO=y，则CF= 。 由△CFO∽△CPD得 ，即 ，∴ 。 由△PFO∽△PEQ得 ，即 ，∴ 。解得： 。 ∴△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积 。 【解析】 试题分析：（1）首先利用勾股
定理
三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理
求得AC的长度，点P与点Q相遇一定是在P由B到A的过程中，利用方程即可求得： 在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=3，AB=5，∴根据勾股定理得AC=4。 则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒，此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5﹣4.5=7.5。 根据题意得： ，解得：t=7。 （2）因为点P从B到C的时间是3秒，此时点Q在AB上，所以分 （点P在BC上，点Q在CA上）和 （点P在BC上，点Q在AB上）两种情况进行讨论求得t的值。 （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC的长度是t﹣3，然后利用相似三角形的性质即可利用t表示出s的值，然后利用二次函数的性质即可求得s最大时t的值，此时，P是AC的中点，直线PD折叠，使点A落在直线PC上，则PD一定是AC的中垂线。因此，连接DC（即AD的折叠线）交PQ于点O，过Q作QE⊥CA于点E，过O作OF⊥CA于点F，则△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积。应用△CFO∽△CPD和△PFO∽△PEQ得比例式求出OF的长即可求得△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积 。 49．解：（1）如图1，作AH⊥BC于H，则∠AHB=90°。 ∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3。 ∵∠AHB=90°，∴BH= BC= 。 在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH= 。 ∴ 。 （2）如图2，当0＜x≤ 时， 。 作AG⊥DE于G，∴∠AGD=90°，∠DAG=30°。 ∴DG=x，AG= 。 ∴ 。 如图3，当 ＜x＜3时，作MG⊥DE于G， ∵AD=x，∴BD=DM=3－x， ∴DG= ，MF=MN=2x－3，MG= ∴ 。 综上所述，y关于x的函数解析式为 。 （3）当0＜x≤ 时， ∵a= ＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∴x= 时， 。 当 ＜x＜3时， ， ∵a= ＜0，开口向下，∴x=2时， ∵ ＞ ，∴y最大时，x=2。 ∴DE=2，BD=DM=1。 如图4，作FO⊥DE于O，连接MO，ME， ∴DO=OE=1。∴DM=DO。 ∵∠MDO=60°，∴△MDO是等边三角形。 ∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1。 ∴MO=OE，∠MOE=120°。 ∴∠OME=30°。∴∠DME=90°。 ∴DE是直径。 ∴ 。 【解析】（1）作AH⊥BC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出其值。 （2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式。 （3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE 于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值。 50．解：（1）圆的半径 ， 连接EM， [来源:学#科#网] ∵NE是⊙M的切线，∴ME⊥NE。 在Rt△MNE中，∠ONE=30°，MA=ME=4， ∴∠EMN=60°，MN=8。∴OM=2。 ∴OA=2，OB=6。 ∴点A、B的坐标分别为（―2，0），（6，0）。 ∵抛物线经过点A、B两点， ∴设抛物线的解析式为 ， 又∵抛物线经过点C(0，－2)， ∴ ，解得 。 ∴抛物线的解析式为 ，即 。 ∵ ，∴抛物线顶点D的坐标为（2， ）。 （2）如图，由抛物线的对称性可知：AD=BD，∠DAB=∠DBA。 若在抛物线对称性的右侧图象上存在点P，使△ABP与△ADB相似， 必须有∠BAP=∠BPA=∠BPD。 设AP交抛物线的对称轴于D′点，则D′（2， ）。 ∴直线AP的解析式为 。 由 解得： （舍去）。 ∴P（10，8）。 过P作PG⊥x轴于点G， 在Rt△BGP中，BG=4，PG=8， ∴由勾股定理，得PB= 。 ∵PA=8，∴PA≠PB。∴∠BAP≠∠BPA。 ∴△ABP与△ADB不相似。 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点。 ∴在该抛物线上不存在点P，使得△ABP与△ADB相似。 （3）连接AF、QF， 在△AQF和△AFH中， 由垂径定理易知： ， ∴∠AQF=∠AFH。 又∠QAF=∠HAF， ∴△AQF∽△AFH。 ∴ ，∴ 。 在Rt△AOF中， ， ∴AH·AQ＝16，即：AH·AQ为定值 【解析】 试题分析：（1）由切线的性质和含30度角直角三角形的性质，求出点A、B的坐标，从而应用待定系数法求出抛物线的解析式，化为顶点式即可得到抛物线的顶点D的坐标。 （2）应用反证法分抛物线对称性的右侧和抛物线对称性的左侧两种情况说明在该抛物线上不存在点P，使得△ABP与△ADB相似。 （3）由垂径定理和相似三角形的判定和性质，可得 ，在Rt△AOF中，应用勾股定理可得 ，从而得出AH·AQ为定值的结论。
浙公网安备 33021202002483