京翰高考网：http://gaokao.zgjhjy.com/ 中档大题保分练 中档大题保分练(一) (推荐时间：50分钟) 1． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(cos(x－B)，cos B)，n＝，f(x)＝m·n，f＝. (1)求角B的值； (2)若b＝，·＝6，求a和c的值． 解 (1)f(x)＝m·n＝cos x·cos(x－B)－cos B ＝cos2xcos B＋cos xsin xsin B－cos B ＝(cos 2x·cos B＋sin 2x·sin B)＝cos(2x－B)， ∵f＝，∴cos＝， 又∵B为△ABC的内角，∴－B＝即B＝. (2)由·＝6，及B＝， 得ac·cos ＝6，即ac＝12， 在△ABC中，由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accos B得 14＝a2＋c2－2accos ， a2＋c2＝26，从而(a＋c)2－2ac＝26，(a＋c)2＝50， ∴a＋c＝5. 解方程组，得，或. 2． 设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N*)均在函数y＝2x－1的图象上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求证：Tn<1. (1)解 由条件＝2n－1，即Sn＝2n2－n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3. 又n＝1时，a1＝S1＝1适合上式， 所以an＝4n－3(n∈N*)． (2)证明 bn＝＝＝－. ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝ ＝1－. ∵n∈N*，∴－<0， ∴1－<1，即Tn<1. 3． M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生．这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”． (1)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？ (2)若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望． 解 (1)用分层抽样的方法， 每个人被抽中的概率是＝. 根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人， 所以选中的“甲部门”人选有10×＝4人， “乙部门”人选有10×＝4人． 用事件A表示“至少有一名甲部门人选被选中”， 则它的对立事件表示“没有一名甲部门人选被选中”， 则P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝. 因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是. (2)依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0,1,2,3. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 因此，X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 4． 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC ＝90°，AB＝PB＝PC＝BC＝2CD，平面PBC⊥平面ABCD. (1)求证：AB⊥平面PBC； (2)求平面ADP与平面BCP所成的二面角(小于90°)的大小； (3)在棱PB上是否存在点M使得CM∥平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 因为∠ABC＝90°， 所以AB⊥BC. 因为平面PBC⊥平面ABCD， 平面PBC∩平面ABCD＝BC， AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PBC. (2)解 如图，取BC的中点O，连接PO. 因为PB＝PC，所以PO⊥BC. 因为平面PBC⊥平面ABCD， 平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC， 所以PO⊥平面ABCD. 以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直 于BC的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系 O－xyz. 不妨设BC＝2. 由AB＝PB＝PC＝BC＝2CD可得， P(0,0，)，D(－1,1,0)，A(1,2,0)． 所以＝(1，－1，)，＝(2,1,0)． 设平面ADP的法向量为m＝(x，y，z)． 因为所以 令x＝－1，则y＝2，z＝. 所以m＝(－1,2，)． 取平面BCP的一个法向量n＝(0,1,0)． 所以cos〈m，n〉＝＝. 所以平面ADP和平面BCP所成的二面角(小于90°)的大小为. (3)解 在棱PB上存在点M使得CM∥平面PAD，此时＝. 取AB的中点N，连接CM，CN，MN， 则MN∥PA，AN＝AB. 因为AB＝2CD， 所以AN＝CD. 因为AB∥CD， 所以四边形ANCD是平行四边形， 所以CN∥AD. 因为MN∩CN＝N，PA∩AD＝A， 所以平面MNC∥平面PAD. 因为CM⊂平面MNC， 所以CM∥平面PAD.
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