信号与系统公式大全（带公式证明）

目录 第一章 卷积积分与卷积和..........................................................................................................................1 一、卷积积分在信号和系统理论中占有重要地位..................................................................................1 二、卷积积分及其性质........................................................................................................................ 2 三、卷积和..........................................................................................................................................4 四、 LTI 系统..................................................................................................................................... 5 五、卷积积分表和卷积和表................................................................................................................. 7 六、有关奇异函数卷积积分及卷积和的 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 .........................................................................................8 第二章 傅里叶变换...................................................................................................................................11 一、周期函数.................................................................................................................................... 11 二、傅里叶级数的定义...................................................................................................................... 12 三、傅里叶变换.................................................................................................................................14 3.1 周期信号的的傅里叶变换......................................................................................................14 3.2 非周期信号的傅里叶变换（频谱函数）.................................................................................14 3.3 傅里叶变换的性质................................................................................................................ 15 3.4 典型非周期信号的傅里叶变换...............................................................................................17 第三章 拉普拉斯变换............................................................................................................................... 18 一、最常用的拉普拉斯变换............................................................................................................... 18 二、拉普拉斯变换的基本性质............................................................................................................18 三、拉普拉斯变换的几个重要性质的证明.......................................................................................... 18 四、常见信号的双边拉普拉斯变换.....................................................................................................19 五、常见函数拉普拉斯变换的证明.....................................................................................................20 六、常见的单边拉普拉斯逆变换........................................................................................................ 21 第四章 激励与响应的关系........................................................................................................................ 23 第五章 Z变换......................................................................................................................................... 24 一、双边 Z变换................................................................................................................................ 24 1.1 从拉普拉斯变换到Z 变换..................................................................................................... 24 1.2 Z 变换................................................................................................................................. 25 1.3 收敛域..................................................................................................................................25 二、 Z变换的主要性质......................................................................................................................25 三、典型离散时间序列的单边 Z变换.................................................................................................26 附录一 常用傅里叶变换的证明................................................................................................................. 28 附录二 部分分式展开法............................................................................................................................33 一、特征根为普通单根...................................................................................................................... 34 二、特征根为共轭单根...................................................................................................................... 34 三、特征根为重根............................................................................................................................. 35 附录三 逆 Z变换的求法........................................................................................................................... 36 一、幂级数展开法............................................................................................................................. 36 二、部分分式展开法..........................................................................................................................37 2.1 特征根为普通单根................................................................................................................. 37 2.2 特征根为共轭单根................................................................................................................. 38 2.3 特征根为重根........................................................................................................................ 38 2.4 特征根为共轭二重根..............................................................................................................39 三、留数法（反演积分法）............................................................................................................... 39 第 1页，共 40 页 2 n 2 n LTI 系统 (0)= 0x� � �� 0 图 1-1-1 窄脉冲及其零状态响应图 0 t ( )tf 图 1-1-2 ( )tf 分解为窄脉冲 第一章 卷积积分与卷积和 一、卷积积分在信号和系统理论中占有重要地位 卷积积分：图 1-1-1 定义了强度为 1（即脉冲波形下的面积为 1），宽度极窄的脉冲 ( ) n p t 。设当 ( ) n p t 作 用于 LTI 系统时，其零状态响应为 (t)h n ,如图 1-1-1 所示： 显然由于 ( ) lim ( )δ →∞ = n n t p t （式 1-1-1） 所以对于 LTI 系统，其冲激响应 ( ) lim ( ) →∞ = n n t th h （式 1-1-2） 现在考虑任意激励信号 ( )tf ，为方便，可令 =τ∆ n 2 ，把 ( )tf 分解成为许多宽度为 τ∆ 的窄脉冲，如图 1-1-2 所示： 其强度（脉冲下的面积）为 ( )τ τ∆ •∆kf 于是可以将 ( )tf 近似看作由一系列强度不同，接入时刻不同的窄脉冲组成，所有这些窄脉冲的和近似地等于 ( )tf ，即： ( ) ( ) ( )τ τ τ ∞ =−∞ ≈ ∆ − ∆ ∆∑ n k t k p t kf f ，式中 k为整数。 如果 LTI 系统在极窄脉冲 ( ) n p t 作用下的零状态响应为 ( ) n th ，那么根据 LTI 系统的零状态线性和激励 与响应的时不变性， 线性： [ ( )+ ( )]= [ ( )] [ ( )]∂ • ∂ • ∂ • + ∂ •T f f T f T f1 1 2 2 1 1 2 2 时不变性： [{ }, ( )]= ( ) f T f y∂ • •0 第 2页，共 40 页 在以上一系列窄脉冲的作用下，系统的零状态响应近似为 ( ) ( ) ( ) f n k y k t kτ τ τ ∞ =−∞ • ≈ ∆ − ∆ ∆∑ f h 在 τ∆ → 0（即 →∞n ）的极限情况下，将 τ∆ 写作 τd ，它是时间变量，同时求和符号改积分符号，利 用 式 1-1-1 和 1-1-2 可将 ( )f t 和 ( ) f y t 写为 ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) τ τ τ τ τ δ τ τ ∞ ∞ −∞∆ → =−∞→∞ = ∆ − ∆ ∆ = −∑ ∫n k n f t f k p t k f t d 0 式1-1-3 ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) τ τ τ τ τ τ τ ∞ ∞ −∞∆ → =−∞→∞ = ∆ − ∆ ∆ = −∑ ∫f n k n y t f k t k f t d 0 h h 式 1-1-4 它们称为卷积积分。式 1-1-4 表明 LTI 系统的零状态响应 ( ) f y t 是激励 ( )f t 与冲激响应 ( )th 的卷积积 分。 一般而言，如有两个函数 ( )f t 1 和 ( )∗f t2 ，积分 ( ) ( ) ( )f t f f t dτ τ τ ∞ −∞ = −∫ 1 2 称为函数 ( )f t1 和 ( )f t2 的卷 积积分，简称卷积，简记 ( ) ( ) ( )f t f t f t= ∗1 2 ，即： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) def f t f t f t f f t dτ τ τ ∞ −∞ ⎯⎯→= ∗ −←⎯⎯ ∫1 2 1 2 二、卷积积分及其性质 1、定义： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) def def r t e t t e t d e t dτ τ τ τ τ τ ∞ ∞ −∞ −∞ ⎯⎯→ ⎯⎯→= ∗ − −←⎯⎯ ←⎯⎯∫ ∫h h h 2、卷积积分的性质： 设已知 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t f t= ∗ = ∗1 2 2 1 2.1 代数运算交换律： ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t∗ = ∗1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τ η η τ τ τ τ η η η τ η η η η +∞ −∞ −∞ = − = − +∞ ∞ −∞ ∗ = − ←⎯⎯→ − − = − = ∗ ∫ ∫ ∫ 证明 常数 参变量 � � �t t f t f t f f t d f t f d t f f t d f t f t 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2.2 代数运算分配律： ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t f t f t f t∗ + = ∗ + ∗1 2 3 1 2 1 3 ( ) [ ( ) ( )]= ( )[ ( ) ( )] = ( ) ( ) ( ) ( ) f t f t f t f f t f t d f f t d f f t d τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ∞ −∞ ∞ ∞ −∞ −∞ ∗ + − + − − + − ∫ ∫ ∫ 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 证明：由定义导出 = ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t∗ + ∗1 2 1 3 2.3 代数运算结合律： [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )]f t f t f t f t f t f t∗ ∗ = ∗ ∗1 2 3 1 2 3 第 3页，共 40 页 [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( )[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) [ f t f t f t f f d f t d x f f x f t x dx d f f t d f t τ η τ τ η η η τ τ τ τ τ τ τ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∗ ∗ = − − = − = − − = − = ∗ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 23 1 - - - - - 证明： 交换上式积分次序，并令 ( ) ( )]f t f t∗2 3 式中 ( ) ( ) ( )τ τ ∞ −∞ − − −∫=f t f x f t x dx23 2 3 ，亦即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )τ τ ∞ −∞ − − − ∗∫= =f t f x f t x dx f t f t23 2 3 2 3 2.4 抽样性质： ( ) ( ) ( )f t t f tδ∗ = 式 1-2-1 ( ) ( ) ( )f t t t f t tδ∗ −0 0- = 式1-2-2 举一例证明之： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )η τ τ η δ δ τ τ τ δ η η η ∞ ∞ = − = +∞ ∞ ∗ − − ←⎯⎯→ − − = −∫ ∫- -- = t t f t t t t f t d f t t d f t t 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) f t t f t t f t t t f t t t f t t t t t f t t t t f t t t δ δ δ δ δ − ∗ − ∗ − ∗ ∗ − = ∗ − ∗ − = ∗ − − = − − 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 另外有： = [可令式 1-2-2 中 ( ) ( )f t t tδ= − 2 ，立得 ( ) ( ) ( )t t t t t t tδ δ δ− ∗ − = − −1 2 1 2 ，注意区分与式： ( )* ( ) ( )f t t t t f t t tδ− − = − −1 1 2 1 1 2 的不同意义。] 2.5 微积分性质：用 ( ) ( )( ) ( )f t f t1 1� - 分别表达任意可微与可积函数的微分和积分 即： ( ) ( ) ( ) def df t f t dt ⎯⎯→←⎯⎯ 1 式 1-2-3 ( ) ( ) ( ) t def f t f dτ τ − −∞ ⎯⎯→←⎯⎯ ∫1 式 1-2-4 式 1-2-4 中设 ( ) ( )f − ∞ =1 0，若 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t f t= ∗ = ∗1 2 2 1 则： ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t f t= ∗ = ∗1 1 11 2 1 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f t f t− − −= ∗ = ∗1 1 11 2 1 2 证明：先证明微分 ( ) ( )( ) [ ( ) ( ) ] ( )[ ( )] ( ) ( ) d d f t f f t d f f t d f t f t dt dt τ τ τ τ τ τ ∞ ∞ −∞ −∞ = − = − = ∗∫ ∫1 11 2 1 2 1 2 第一支交换 ( )f t1 和 ( )f t2 可证。 第 4页，共 40 页 ( ) - ( ) [ ( ) ( ) ] ( )[ ( ) ] ( )[ ( ) ( - )] τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ∞ − −∞ −∞ ∞ −∞ −∞ ∞ −∞ −∞ = − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 再证明积分 交换积分次序 t t t f t f f x d dx f f x dx d f f x d x d 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )−= ∗f t f t1 1 2 第一支交换 ( )f t1 和 ( )f t2 可证。 归纳为：微分性 ( ) ( )( ) ( ) ( ) df t df tdf t f t f t dt dt dt = ∗ = ∗1 22 1 积分性 - - ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] t t t t f d f f d f t f d f t f dτ τ τ τ τ τ τ τ τ ∞ ∞ −∞ −∞ = ∗ = ∗ = ∗∫ ∫ ∫ ∫1 2 1 2 2 1 微积分 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] t df t f t f t f d dt τ τ −∞ ∗ = ∗ ∫11 2 2 2.6 微(分)抽样性： ( ) ( )( )* ( ) ( )n nf t t f tδ = ; ( ) ( )( )* ( ) ( )n nf t t t f t tδ − = −0 0 2.7 积累性(与 ( )u t 的卷积)： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t f t u t f u t d f dτ τ τ τ τ ∞ ∞ ∞ ∗ − =∫ ∫- -= 归纳为： ( )f t 与 ( )tδ ′ 卷积相当于微分， ( )f t 与 ( )tδ 卷积等于自身， ( )f t 与 ( )u t 卷积相当于积分。 三、卷积和 在 LTI 连续时间系统中，把激励信号分解为一系列冲激函数，求出各冲激函数单独作用于系统时的冲激 响应，然后将这些响应相加得到系统对于该激励信号的零状态响应，这个相加的过程表现为求卷积积分。在 LTI 离散时间系统中可采用与上述大致相同的方法进行分析，由于离散信号本身是一个序列，因此激励信号 分解为单位序列的工作很容易完成。如果系统的单位序列响应已知，也不难求得每个单位序列单独作用于系 统的响应。把这些序列相加就得到系统对于该激励信号的零状态响应，这个相加的过程表现为求卷积和。 任意离散时间序列 ( )f k =(k ……- -2 10 1 2�� � �……�可以表示为： ( )=f k …… ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )δ δ δ δ+ + + + + + − +- -1f k f k f k f k2 2 1 0 1 1 …… ( ) ( )δ − +f m k m …… ( ) ( )δ ∞ =−∞ = −∑ m f m k m 式 1-3-1 如果 LTI 系统的单位序列响应为 ( )kh ,那么由线性系统的齐次性和时不变系统的移不变性可知，系统对 ( ) ( )δ −f m k m 的响应为 ( ) ( )−f m k mh 。根据系统的零状态响应线性性质，由式 1-3-1 的序列 ( )f k 作用于 系统所引起的零状态响应 ( ) f y k 应为： ( )= f y k …… ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + + + + − +- -1f k f k f k f k2 2 1 0 1 1h h h h …… ( ) ( )− +f m k mh …… ( ) ( ) ∞ =−∞ = −∑ m f m k mh 式 1-3-2 第 5页，共 40 页 式 1-3-2 称为序列 ( )f k 与 ( )kh 的卷积和，它表明LTI 系统对于任意激励 ( )f k 的零状态响应是激励与系 统单位序列响应 ( )kh 的卷积和。 一般而言，若有两个序列 ( )f k1 和 ( ) ∗ f k2 ，和式 ( ) ( ) ( ) ∞ =−∞ −∑= m f k f m f k m 1 2 称为序列 ( )f k1 和 ( )f k2 的卷 积和，也简称卷积，即： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∞ =−∞ ⎯⎯→∗ −←⎯⎯ ∑= def m f k f k f k f m f k m 1 2 1 2 式1-3-3 如果序列 ( )f k1 是因果序列（即 - , k m m k0� 时有 ( )− =f k m2 0，求 和上限可改写为 k ，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ∞ ∗ = − > − =∑ - ， 当 ， 时 k m f k f k f m f k m m k f k m 1 2 1 2 2 0 � 如果 ( )f k1 和 ( )f k2 均为因果序列，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ∗ − < = =∑= ， 当 时 k m f k f k f m f k m k f k f k 1 2 1 2 1 2 0 0 0� � 卷积和的性质与卷积积分的性质类似。 四、 LTI 系统 1、连续时间系统模型 ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) τ δ τ τ τ δ τ τ τ δ τ τ τ τ τ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ = − = = − = − = − = ∗ ∫ ∫ ∫ ∫ 则 线性 时不变性 e t e t d T e t r t T e t d e T t d e t d e t t h h 第 6页，共 40 页 2、离散时间系统模型 ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) δ δ δ ∞ =−∞ ∞ =−∞ ∞ =−∞ ∞ =−∞ = − = = − = − = − = ∗ ∑ ∑ ∑ ∑ 则 线性 时不变性 m m m m x n x m n m T x n y n T x m n m x m T n m x m n m x n n h h 第 7页，共 40 页 五、卷积积分表和卷积和表 卷积积分表 序号 ( )f t1 ( )f t2 ( ) ( )f t f t∗1 2 1 ( )f t ( )tδ ′ ( )f t′ 2 ( )f t ( )tδ ( )f t 3 ( )f t ( )u t ( ) t f dτ τ −∞∫ 4 ( )u t ( )u t ( )tu t 5 ( )tu t ( )u t ( )t u t2 1 2 6 ( )te u t−∂ ( )u t ( ) ( )te u t−∂− ∂ 1 1 7 ( )te u t−∂1 ( )te u t−∂2 ( ) ( ),t te e u t−∂ −∂− ∂ −∂ ∂ ≠ ∂ 1 2 2 1 1 2 1 8 ( )te u t−∂ ( )te u t−∂ ( )tte u t−∂ 9 ( )tu t ( )te u t−∂ ( ) ( )t t e u t −∂∂ − + ∂ ∂2 2 1 1 10 ( )tte u t−∂ ( )te u t−∂ ( )tt e u t−∂2 1 2 11 ( )tte u t−∂1 ( )te u t−∂2 ( ) [ ] ( ), ( ) ( ) t t t e e u t −∂ −∂∂ −∂ − + ∂ −∂ ∂ −∂ ∂ ≠ ∂ 1 22 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 卷积和表 序号 ( )f k1 ( )f k2 ( ) ( )f k f k∗1 2 1 ( )f k ( )kδ ( )f k 2 ( )f k ( )u k ( ) =−∞ ∑ k m f m 3 ( )u k ( )u k ( ) ( )k u k+1 4 ( )ku k ( )u k ( ) ( )k ku k+ 1 1 2 第 8页，共 40 页 5 ( )ku k∂ ( )u k ( ), k u k +−∂ −∂ ∂ ≠ 11 1 1 6 ( )ku k∂1 ( ) k u k∂2 ( ), + +∂ −∂ ∂ −∂ ∂ ≠ ∂ k k u k 1 1 2 1 2 1 1 2 7 ( )ku k∂ ( )ku k∂ ( ) ( )kk u k+ ∂1 8 ( )ku k∂ ( )ku k ( ) ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ − + −∂ −∂ k k u k u k 2 1 1 1 9 ( )ku k ( )ku k ( ) ( ) ( )k k k u k+ − 1 1 1 6 六、有关奇异函数卷积积分及卷积和的证明 预备知识： DiracDiracDiracDirac 函数 ( ) ( ) , ( ) t dt t t δ δ ∞ ∞ ⎧ =⎪ ⎨ ⎪ = ≠⎩ ∫ 1 0 0 - 时 另外： ( ) , ( ) ( ) ( ) , δ τ τ δ τ τ δ τ τ ∞ ∞ ∞ ⎧ = >⎪ ⇒ =⎨ ⎪ = < ⎩ ∫ ∫ ∫ - - - 当 当 t t t d t d u t d t 1 0 0 0 抽样函数 sin( ) t a t t =S 连续时间 6.1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t u t u t u u t d dt tu tτ τ τ ∞ −∞ ∗ = − = =∫ ∫0 1 1× ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) τ τ τ τ τ λ τ τ λ λ λ λ λ ∞ −∞ ∞ −∞ −∞ ∗ = − = − − − = − = = ∫ ∫ ∫ ∫ 引申： = 则 = t t u t u t u u t d u t d t t u d u d tu t 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) τ τ τ τ τ λ τ τ λ λ λ λ λ ∞ −∞ ∞ −∞ − − −∞ ∗ − = − − = − − − − − − = − = = − − ∫ ∫ ∫ ∫ = 则 = t t u t u t u u t d u t d t t u d u d t u t 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 λ λ τ= −t t0 t λ λ τ= − −t 1 t0 −t 1 第 9页，共 40 页 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) τ τ τ τ τ λ τ τ λ λ λ λ λ ∞ −∞ ∞ −∞ − − −∞ − ∗ − = − − − = − − − − − − = − = = − − ∫ ∫ ∫ ∫ = 则 = t t u t u t u u t d u t d t t u d u d t u t 1 3 3 1 2 1 2 2 2 2 3 3 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ∞ =−∞ =−∞ =−∞ + ≥⎧⎯⎯⎯→∗ = − = = = +⎨←⎯⎯⎯ <⎩ ∑ ∑ ∑ 区别于 � k k equal m m m k k u k u k u m u k m u m k u k k 1 0 1 1 0 0 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ δ δ δ δ + ∗ − = ∗ + ∗ ∗ − = + + ∗ − = + − = − − u k u k u k k u k k k u k k k k u k k k u k 2 5 2 5 1 2 5 1 3 2 3 6.2 ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u t u t t u t u t t t tu t t t t t u t tδ δ∗ − = ∗ ∗ − = ∗ − = − −0 0 0 0 0 6.3 ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )u t t u t t u t u t t t t t tu t t t t t t t u t t tδ δ δ− ∗ − = ∗ ∗ − ∗ − = ∗ − − = − − − −1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6.4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t f t u t f u t d f dτ τ τ τ τ ∞ −∞ ∗ = − =∫ ∫0 6.5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t f t t f t d f tδ δ τ τ τ −∞ ∗ = − =∫ 6.6 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( ) ] ( ) ( ) d df t f t t f t d d f t dt d t δ τ τ δ τ τ δ τ τ τ ∞ ∞ −∞ −∞ − ′ ′∗ = − = = −∫ ∫ 6.7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t d tδ δ δ τ δ τ τ δ −∞ ∗ = − =∫ 6.8 ( ) ( ) ( )t t t t t t tδ δ δ− ∗ − = − −1 2 1 2 6.9 ( ) ; ( )δ τ τ δ τ −∞ =∫ 的面积是 t k d k k k 6.10 0 0 01 0 ( ) [ ( )] ( ) ( ) 0, ( ) 0 ( ) t t f t f t t f t f t f t δ δ − − ′= = ≠ ′ ,其中 是的单调函数, 1 1 [ ( )] ( ) ( ) n i i i x x δ τ δ τ τ τ= = − ′∑ 离散时间 6.10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m u k k m u k m u kδ δ ∞ =−∞ ∗ = − =∑ 6.11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m k m k n m u k n k m n τ δ δ δ τ τ δ ∞ = =−∞ ⎯⎯⎯→− ∗ − = − − − − −←⎯⎯⎯∑ λ λ τ= − −t 2 t0 −t 2 第 10页，共 40 页 6.12 ( ) ( ) ( ) ( )u k k k kδ δ δ= =1× 6.13 ( ) ( ) ( ) ( )= =×u k u k u k u k1 6.14 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k kδ δ δ δ δ= =0× 抽样函数 6.15 sin( ) sin( ) ( )cos( ) cos( ) ( ) k k a k k k a k k k ω ω ω ω ω ω ω ω = = = 2 2 2 S S 6.16 sin ( ) lim t t a t → = = 0 0 1S 等比级数 a qa q a q a 2 3 0 0 0 0� � � …… n n q a q a +1 0 0� …… 无穷项和： ∞ =S - a q 0 1 ； 前 n项和： ( ) +− − = =S - - n n n a q a a q q 1 0 01 1 1 第 11页，共 40 页 第二章 傅里叶变换 ( ) sin( ) sin( ) ( ) j j j e d e e j a τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ Ω − Ω Ω = − Ω Ω Ω Ω = = = ΩΩ ∫-预备知识： S 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ − Ω Ω Ω − Ω − Ω Ω = − − = − Ω Ω Ω = = ∫ ∫ - - S j j j j j j e d e e e e j j a e d 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 j j e d e d j τ τ τ τ ∞ ∞ Ω − Ω ⎯⎯⎯⎯→= − ←⎯⎯⎯⎯ Ω∫ ∫ 不予证明 0 0 1 ( ) ( ) ( ) j j j j t e d e e a e a j β β β τ β β τ τ β τ β τ +∂ +∂ Ω Ω Ω Ω ∂ ∂ −∂ Ω Ω = − = −∂ ∂ • Ω∫ ��������� �- - 中心移动 S 设 = - 则原式= S2 21 2 2 一、周期函数 ( ) ( cos sin ) π ω ω ω ∞ = + + =∑= 其中n n n a f t a n t b n t T 0 0 1 0 2 2 ( ) , ( )cos , ( )sinω ω − − − = = =∫ ∫ ∫则 T T T T T Tn n a f t dt a f t n tdt b f t n tdt T T T 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 02 2 2 2 2 2 三角函数形式转化为复指数形式（用 Euler 公式）： ( ) ( ) ( ) ω ω ω ω ω ω − −∞ = ∞ − = + − + + − + = + + ∑ ∑ = jn t jn t jn t jn t n n n jn t jn t n n n n n a e e e e f t a b j a a jb a jb e e j 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 ( )cos , [ ( )cos ( )sin ] ( )[cos sin ] ( ) ω ω ω ω ω − − − − − = = = = − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ - T T T n n T T Tn T T jn a a jb c f t n tdt c f t n tdt j f t n tdt T T f t n t j n t dt T f t e T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 02 2 2 2 0 0 0 2 0 1 1 2 2 1 1 ( ) ω ω − − = = = ∫ ∫- 正自然数 正自然数 T t T T jn t Tn dt n c f t e dt n T 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 2 1 第 12页，共 40 页 合为 ( ) ω − =∫ -= 整数 T jn t Tn c f t e dt n T 0 0 0 2 0 2 1 若令 ,ω ω= = 整数 n n n , : ( ) ( )ω ω ω π ω ∞ − − = ∞ =−∞ + + = = ∑ ∑ 则 = 其中 n n n j t j t n n n j t n n f t c c e c e T c e 0 0 1 0 2 ( ) [ ( ) ]ω ωτ ωττ τ ∞ ∞ − − =−∞ =−∞ = =∑ ∑ ∫n T j t jn jn Tn n n f t c e f e d e T 0 0 2 0 2 1 二、傅里叶级数的定义 三角形式： ( ) ( cos sin ) π ω ω ω ∞ = < > + + =∑0分量 =a 其中n n n n n n n f t a t b t T1 0 2 ( ) , ( )cos , ( )sinω ω − − − = = =∫ ∫ ∫则 T T T T T Tn n n n a f t dt a f t tdt b f t tdt T T T 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 02 2 2 1 2 2 ( ) cos( ) , , arctan π ω ϕ ω ϕ ∞ = < > + + = = + = = − ∑0总量 = 其中