双因素试验的方差分析

第二节 双因素试验的方差分析 进行某一项试验，当影响指标的因素不是一个而是多个时，要分析各因素的作用是否显著，就要用到多因素的方差分析.本节就两个因素的方差分析作一简介.当有两个因素时，除每个因素的影响之外，还有这两个因素的搭配问题.如 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 9-7中的两组试验结果，都有两个因素A和B，每个因素取两个水平. A1 A2 B1 B2 30 50 100 80 表9-7(a) 表9-7(b) A1 A2 B1 B2 30 50 70 90 表9-7（a）中，无论B在什么水平（B1还是B2），水平A2下的结果总比A1下的高20；同样地，无论A是什么水平，B2下的结果总比B1下的高40.这说明A和B单独地各自影响结果，互相之间没有作用. 表9-7(b)中，当B为B1时，A2下的结果比A1的高，而且当B为B2时，A1下的结果比A2的高；类似地，当A为A1时，B2下的结果比B1的高70，而A为A2时，B2下的结果比B1的高30.这表明A的作用与B所取的水平有关，而B的作用也与A所取的水平有关.即A和B不仅各自对结果有影响，而且它们的搭配方式也有影响.我们把这种影响称作因素A和B的交互作用，记作A×B.在双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验水平A和B的作用，还要检验它们的交互作用. 1.双因素等重复试验的方差分析 设有两个因素A，B作用于试验的指标，因素A有r个水平A1,A2,…,Ar,因素B有s个水平B1,B2,…,Bs,现对因素A，B的水平的每对组合(Ai,Bj),i=1,2,…,r；j=1,2,…,s都作t(t≥2)次试验（称为等重复试验），得到如表9-8的结果： 表9-8 B1 B2 … Bs A1 x111, x112…, x11t x121,x122…, x12t … x1s1, x1s2…, x1st A2 x211, x212…, x21t x221,x222…,x22t … x2s1, x2s2,…, x2st … … … … … Ar xr11, xr12…, xr1t xr21, xr22…, xr2t … xrs1, xrs2…, xrst 设xijk~N(μij,σ2), i=1,2,…,r； j=1,2,…,s； k=1,2,…,t,各xijk独立.这里μij,σ2均为未知参数.或写为 (9.16) 记 μ= , , i=1,2,…,r, , j=1,2,…,s, , i=1,2,…,r, , j=1,2,…,s, . 于是 μij=μ+αi+βj+γij. (9.17) 称μ为总平均，αi为水平Ai的效应，βj为水平Bj的效应，γij为水平Ai和水平Bj的交互效应，这是由Ai,Bj搭配起来联合作用而引起的. 易知 =0, =0， =0, j=1,2,…,s, =0, i=1,2,…,r， 这样（9.16）式可写成 (9.18) 其中μ,αi,βj,γij及σ2都为未知参数. （9.18）式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型.我们要检验因素A，B及交互作用A×B是否显著.要检验以下3个假设： 类似于单因素情况，对这些问题的检验方法也是建立在平方和分解上的.记 , , i=1,2,…,r； j=1,2,…,s， , i=1,2,…,r， , j=1,2,…,s， ST= . 不难验证 分别是μ,μi·,μ·j,μij的无偏估计. 由 ， 1≤i≤r,1≤j≤s,1≤k≤t 得平方和的分解式： ST=SE＋SA＋SB＋SA×B， (9.19) 其中 SE= ， SA= ， SB= ， SA×B= . SE称为误差平方和，SA，SB分别称为因素A，B的效应平方和，SA×B称为A，B交互效应平方和. 当H01:α1=α2=…=αr=0为真时， FA= ~F(r-1,rs(t-1))； 当假设H02为真时， FB= ~F(s-1,rs(t-1))； 当假设H03为真时， FA×B= ~F((r-1)(s-1),rs(t-1)). 当给定显著性水平α后，假设H01，H02，H03的拒绝域分别为： (9.20) 经过上面的分析和计算，可得出双因素试验的方差分析表9-9. 表9-9 方差来源 平方和 自由度 均方和 F比 因素A SA r-1 FA= 因素B SB s-1 FB= 交互作用 SA×B (r-1)(s-1) FA×B= 误差 SE rs(t-1) 总和 ST rst-1 在实际中，与单因素方差分析类似可按以下较简便的公式来计算ST，SA，SB，SA×B,SE. 记 T···= ， Tij·= , i=1,2,…,r; j=1,2,…,s， Ti··= , i=1,2,…,r, T·j·= , j=1,2,…,s, 即有 (9.21) 例9.5 用不同的生产方法（不同的硫化时间和不同的加速剂）制造的硬橡胶的抗牵拉强度（以kg·cm-2为单位）的观察数据如表9-10所示.试在显著水平0.10下分析不同的硫化时间（A），加速剂（B）以及它们的交互作用（A×B）对抗牵拉强度有无显著影响. 表9-10 140℃下硫化 ]时间（秒） 加速剂 甲 乙 丙 40 60 80 39，36 43，37 37，41 41，35 42，39 39，40 40，30 43，36 36，38 解 按题意，需检验假设H01,H02,H03. r=s=3, t=2， T···,Tij·,Ti··,T·j·的计算如表9-11. 表9-11 加速剂 Tij· 硫化时间 甲 乙 丙 Ti·· 40 60 80 T·j· 75 80 78 76 81 79 70 79 74 221 240 231 233 236 223 692 ST= =178.44， SA= =15.44， SB= =30.11， SA×B= =2.89， SE=ST-SA-SB-SA×B=130， 得方差分析表9-12. 表9-12 方差来源 平方和 自由度 均方和 F比 因素A（硫化时间） 因素B（加速剂） 交互作用A×B 误差 15.44 30.11 2.89 130 2 2 4 9 7.72 15.56 0.7225 14.44 FA=0.53 FB=1.04 FA×B=0.05 总和 178.44 由于F0.10(2,9)=3.01>FA,F0.10(2,9)>FB,F0.10(4,9)=2.69>FA×B,因而接受假设H01,H02,H03,即硫化时间、加速剂以及它们的交互作用对硬橡胶的抗牵拉强度的影响不显著. 2.双因素无重复试验的方差分析 在双因素试验中，如果对每一对水平的组合（Ai,Bj）只做一次试验，即不重复试验，所得结果如表9-13. 表9-13 因素B 因素A B1 B2 … Bs A1 A2 … Ar x11 x12 … x21 x22 … … … … xr1 xr2 … x1s x2s … xrs 这时 =xijk,SE=0,SE的自由度为0，故不能利用双因素等重复试验中的公式进行方差分析.但是，如果我们认为A，B两因素无交互作用，或已知交互作用对试验指标影响很小，则可将SA×B取作SE，仍可利用等重复的双因素试验对因素A，B进行方差分析.对这种情况下的数学模型及统计分析表示如下： 由（9.18）式, (9.22) 要检验的假设有以下两个： 记 平方和分解公式为： ST=SA+SB+SE， (9.23) 其中 分别为总平方和、因素A，B的效应平方和和误差平方和. 取显著性水平为α,当H01成立时， FA= ~F((r-1),(r-1)(s-1))， H01拒绝域为 FA≥Fα((r-1),(r-1)(s-1)). (9.24) 当H02成立时， FB= ~F((s-1),(r-1)(s-1))， H02拒绝域为 FB≥Fα((s-1),(r-1)(s-1)). (9.25) 得方差分析表9-14. 表9-14 方差来源 平方和 自由度 均方和 F比 因素A 因素B 误差 SA SB SE r-1 s-1 (r-1)(s-1) SA= SB= SE= FA= FB= 总和 ST rs-1 例9.6 测试某种钢不同含铜量在各种温度下的冲击值（单位：kg·m·cm-1），表9-15列出了试验的数据（冲击值），问试验温度、含铜量对钢的冲击值的影响是否显著？（α=0.01） 表9-15 铜含量 冲击值 试验温度 0.2% 0.4% 0.8% 20℃ 0℃ -20℃ -40℃ 10.6 7.0 4.2 4.2 11.6 11.1 6.8 6.3 14.5 13.3 11.5 8.7 解 由已知，r=4,s=3,需检验假设H01,H02，经计算得方差分析表9-16. 表9-16 方差来源 平方和 自由度 均方和 F比 温度作用 铜含量作用 试验误差 64.58 60.74 5.43 3 2 6 21.53 30.37 0.905 23.79 33.56 总和 130.75 11 由于F0.01(3,6)=9.78