一种巴特沃斯型FIR数字滤波器的新设计_林战平

第 3期 一种巴特沃斯型 FIR数字滤波器的新设计 31 一种巴特沃斯型 FIR数字滤波器的新设计 林战平 (广西师范大学物理与电子工程学院，广西 桂林 541004) 摘 要：用傅立叶级数展开式研究了巴特沃斯型 FIR 半带低通数字滤波器系数和通用带通数字滤波器系数之 间的联系，将其应用于巴特沃斯型 FIR带通/带阻和低通/高通数字滤波器的设计，给出了滤波器系数 的明晰公式。所设计的数字滤波器以幅度频率响应的平滑度为代价，减小了过渡带宽，具有与切比 雪夫型 FIR数字滤波器相比拟的性能指标。 关键词：巴特沃斯型 FIR数字滤波器；切比雪夫型 FIR数字滤波器 中图分类号：TN911.72 文献标识码：A 文章编号：1003－7551(2007)03－0031－04 1 引言 巴特沃斯型 FIR 数字滤波器是一种重要的数字滤波器，主要应用于需要具有平滑的幅度频率响应及较高的 止带衰减的场合。巴特沃斯型 FIR 数字滤波器的显著优点是其设计简单，因为它的频率响应能用封闭公式表示， 滤波器系数可由封闭公式用离散傅立叶逆变换（IDFT）求得[1－2]。 巴特沃斯型 FIR 数字滤波器在现有的数字滤波器设计中具有最高的精度（平滑度），但同时其过渡带相对较 宽，且边界频率不易控制。减少过渡带宽的方法是增加滤波器的阶数[1~2]。切比雪夫型 FIR 数字滤波器具有等波 纹，能以最少的滤波器阶数获得所需性能（过渡带宽度和最大误差）。但是，与巴特沃斯型 FIR 数字滤波器不同， 切比雪夫型 FIR 数字滤波器的系数不能直接求得，一般是采用数值分析中的 Remez 交换算法，依靠一次次的迭 代求得一组最佳极值频率；再用极值频率确定频率响应，求解滤波器系数[1－2]。本文提出了一种巴特沃斯型 FIR 数字滤波器的改进算法，目标滤波器在给定的阶数时具有可变的过渡带宽。所提出的滤波器设计的复杂性远低 于切比雪夫型 FIR 数字滤波器，设计实例表明两者具有相似的性能指标。 2 半带低通数字滤波器系数和通用带通数字滤波器系数 考虑通带为0 π / 2ω≤ ≤ 的巴特沃斯型 FIR 半带低通数字滤波器和通带为 21 cc ωωω ≤≤ 的巴特沃斯型 FIR 通用带通数字滤波器，它们在一个周期的频率响应可扩展为傅立叶级数，其系数对应于 FIR 数字滤波器的单位 脉冲响应。半带低通和通用带通数字滤波器的单位脉冲响应分别用 h(n)和 g(n)表示： π i2 π 2 1 sin( π / 2)( ) d 2 π n nh n e n ω ωπ −= =∫ n为整数 1 2 2 1 i i 2 11 sin( ) sin( )( ) d d 2π π c c c c n n c cn ng n e e n ω ωω ω ω ω ω ωω ω−− −⎡ ⎤= + =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ n为整数 归一化为 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ − = = − )()1( )(0 05.0 )( 2 1 为奇数 为偶数 n n n n nh n π 2 1 2 1 0 π( ) sin( ) sin( ) π c c c c n g n n n n ω ω ω ω −⎧ =⎪⎪= ⎨ −⎪⎪⎩ 其他 * 收稿日期：2007－07－06 第 28卷 第 3期 广西物理 GUANAGXI WULI Vol.28 No.3 2007 32 从上面的数字滤波器系数中，可见 n 为奇数时，h(n)和 g(n)的差别只在分子项。n 为偶数时，h(n)=0，g(n) 的表达式与 n为奇数时的表达式相同。由此可得出将半带低通数字滤波器系数转换为通用带通数字滤波器系数 的步骤如下： （1）去掉 n为奇数时 h(n)的符号项 21)1( −− n ； （2）用 n为奇数时的 h(n)（去掉符号项）取代 n为偶数时的 h(n)=0； （3）将所有的 )(nh 乘上 )sin()sin( 12 cc nn ωω − ； （4）令 2 1(0) π c ch ω ω−= 。 3 巴特沃斯型 FIR选频数字滤波器 3.1 带通数字滤波器 阶数为 4N-1 的巴特沃斯型 FIR 半带低通数字滤波器系数为[3] 1 2 2 1(0) 2 ( 1) (2 1)!![ (2 1)] 1 2 ( 1)!( )!(2 1) ( 2 ) 0 1 1 k N h Nh k k N N k N k k h k k N + ⎧ =⎪⎪ − −⎪ ± − = ≤ ≤⎨ + − − −⎪⎪ ± = ≤ ≤ −⎪⎩ (1) 式中整数 n的双阶乘项为 n!!=n(n－2)(n－4)…(>0)。 变换的第一步是去掉(1)式 )]12([ −± kh 中的符号项 1)1( +− k ，同时令 m=2k－1得 2 2 (2 1)!!( ) 0 22 1 2 12 ( )!( )! 2 2 N Nh m m NN m N m m −± = < <+ − − − (2) 接下来进行第二步变换。将(2)式分母中的阶乘项用 Gamma 函数取代，定义复数 z的 Gamma 函数[4] 1 0 ( ) dx zz e x x ∞ − −Γ = ∫ 若 z为整数，有 !)1( zz =+Γ 。利用 Gamma 函数，(2)式可应用于 m为奇数和偶数的情况。 2 2 (2 1)!!( ) 0 22 1 2 12 ( 1) ( 1) 2 2 N Nh m m NN m N m m −± = < <+ − − −Γ + Γ + (3) 而 / 2 / 2 !! 2( 1) 2 !! π 2 2 n n n n n n n ⎧⎪⎪Γ + = ⎨⎪⎪⎩ 为偶数 为奇数 ，故(3)式可简化为 2 2 (2 1)!! 0 2 2 (2 1)!!(2 1)!! ( ) (4) (2 1)!! 0 2 π (2 1)!!(2 1)!! N m N m m N m N m h m N m N m m N m N m ⎧ − < <⎪ + − − −⎪± = ⎨ −⎪ < <⎪ + − − −⎩ ， 为奇数 为偶数 接着进行第 3－4 步转换，得到带通数字滤波器系数为（将 m改写为 n） 第 3期 一种巴特沃斯型 FIR数字滤波器的新设计 33 2 1 2 1 2 1 0 π ( ) (2 1)!! π [sin( ) sin( )] 0 2 2 (2 1)!!(2 1)!! c c p c c p n h n N n n n N n N n N n ω ω ω ω− −⎧ =⎪⎪± = ⎨ − −⎪ < <⎪ + − − −⎩ (5) 其中 p为 2 n 的余数。 3.2 带阻数字滤波器 带阻数字滤波器的频率响应可由全通数字滤波器的频率响应减去具有相同截止频率的带通数字滤波器的 频率响应而获得，这等价于用单位脉冲序列 ]0,0)(;0,1)([ ≠=== nnnn δδ 减去带通数字滤波器系数。因此， 下截止频率为 1cω ，上截止频率为 2cω 的带阻数字滤波器系数 2 1 2 1 1 2 1 0 π ( ) (2 1)!! π [sin( ) sin( )] 0 2 2 (2 1)!!(2 1)!! c c p c c p n h n N n n n N n N n N n ω ω ω ω− −⎧ − =⎪⎪± = ⎨ − −⎪ < <⎪ + − − −⎩ (6) 3.3 低通数字滤波器 设低通数字滤波器的截止频率为 cω ，其滤波器系数可从（5）式中令 01 =cω ， cc ωω =2 得出 2 1 0 π ( ) (2 1)!! π sin( ) 0 2 2 (2 1)!!(2 1)!! c p c p n h n N n n N n N n N n ω ω− ⎧ =⎪⎪± = ⎨ −⎪ < <⎪ + − − −⎩ (7) 3.4 高通数字滤波器 令（5）式中的 cc ωω =1 ， 2 πcω = ，得高通数字滤波器系数为 2 1 1 0 π ( ) (2 1)!! π sin( ) 0 2 2 (2 1)!!(2 1)!! c p c p n h n N n n N n N n N n ω ω− ⎧ − =⎪⎪± = ⎨ − −⎪ < <⎪ + − − −⎩ (8) 4 减少过渡带宽 4.1 方法 巴特沃斯型 FIR 数字滤波器的过渡带宽与其阶数有关，减少过渡带宽的方法是增加其阶数。由式（5－8） 可见，滤波器系数在偏离中心点后急剧减小。若在实现数字滤波器时忽略这些极小的系数，对过渡带宽的影响 几乎可以忽略，但滤波器的平滑度恶化，幅度频率响应出现小波纹。这种效应可用于以较少的滤波器阶数设计 过渡带较窄的切比雪夫型 FIR 数字滤波器。 若设计一个阶数为 4M-1 的数字滤波器，可用较少的 4N-1（N= NMα 倍乘。例如，低通切比雪夫滤波器系数 2 1 0 π ( ) (2 1)!! π sin( ) 0 2 2 (2 1)!!(2 1)!! c p c p n h n N n n N n N n N n ω α ω α α − ⎧ =⎪⎪± = ⎨ −⎪ < <⎪ + − − −⎩ (9) 对 α＝1，这些公式相当于巴特沃斯型 FIR 滤波器设计。较大的 α值减小了过渡带宽，但幅度频率响应出现 第 28卷 第 3期 广西物理 GUANAGXI WULI Vol.28 No.3 2007 34 小波纹，如图 1 所示。在这里是用式（9）计算 4.0=cω ，N=8 时的低通滤波器系数，表示了不同的 α值对滤波 器幅度频率响应的影响。显然，增大 α值的效果等同于增加巴特沃斯型 FIR 滤波器的阶数。同时可见，增大 α 值超过一定程度后，对过渡带宽的影响极小。一般来说，α 值应小于 N。同时明显可见，减小过渡带宽是以增 大波纹为代价的。 4.2 与切比雪夫型 FIR数字滤波器的比较 图 2所示为用（5－6）式设计的带通/带阻数字滤波器的幅度频率响应，滤波器阶数为 31（N=8），截止频 率 1 20.25π 0.75πc cω ω= =， 。曲线①（粗实线）为巴特沃斯型 FIR 滤波器设计，曲线②（细实线）为用 α=10 改进设计，曲线③（细虚线）为切比雪夫型 FIR 滤波器设计。图 3所示为用（7－8）式设计的低通/高通数字滤 波器的幅度频率响应，滤波器阶数为 31（N=8），截止频率 0.4πcω = 。这些设计能较为严格地吻合所需截止频率， 而这对于参考文献[1－3]所给出的大部分经典设计来说是难于实现的。 如图 2、3 所示，曲线②和曲线③近似重合，表示用改进公式设计的巴特沃斯型 FIR 数字滤波器与切比雪 夫型 FIR 数字滤波器的性能是可比拟的。对给定的滤波器阶数，具有较小的过渡带宽。但不像切比雪夫型 FIR 滤波器所具有的等波纹特性，本设计的波纹是不相同的，因此最大误差比等波纹滤波器要大些。考虑到设计的 复杂性，切比雪夫型 FIR 滤波器设计要使用迭代算法，比本设计方法要复杂得多。本设计方法给出了滤波器系 数的明晰公式，这种简单性使得本设计方法在实现某些实时系统中具有相当的吸引力。 5 结论 研究了巴特沃斯型FIR半带低通数字滤波器系数和通用带通数字滤波器系数之间的联系，将巴特沃斯型FIR 半带低通数字滤波器设计应用于通用低通/高通及带通/带阻巴特沃斯型 FIR 数字滤波器设计。所提出的设计方 法不仅简单易行，改善了滤波器的过渡带宽，而且更接近所需截止频率。所设计的滤波器具有与切比雪夫型滤 波器相比拟的性能指标。 图 1 增加 α值对过渡带宽的影响 图 2 带通/带阻数字滤波器的幅频响应 图 3 低通/高通数字滤波器的幅频响应 滤波器阶数为 31（N=8），截止频率 滤波器阶数为 31（N=8），截止频率 滤波器阶数为 31（N=8），截止频率 参 考 文 献 [1] Emmanuel C.Ifeachor. Digital Signal Processing : A Practical Approach (Second Edition)[M]. Pearson Education Limited ,2002． [2]丁玉美，高西全．数字信号处理[M]．西安：西安电子科技大学出版社（第二版），2001． [3]I. R. Khan, R. Ohba. Efficient design of halfband low/high pass FIR filters using explicit formulas for tap coefficients[J]. IEICE Trans. Fundamentals, 2002, E83-A(11): 2370-2373. [4]陆章基，黄云敏．高等数学[M]．上海：复旦大学出版社，2002． 0.4π 1 2 10 100cω α= =， ，， ， 1 20.25 0.75πc cω π ω= =， 0.4πcω =