2平面问题的基本理论

nullnull任何一个实际的弹性力学问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 都是空间问题求解复杂的偏微分方程组的边值问题求解困难特点：某些基本未知量被限制在平面内发生的2.1 平面应力问题与平面应变问题2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题深梁：(1) 几何特征 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。 如：深梁，板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等—— 平板null深梁：(2) 受力特征 外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。null因板很薄，外力不沿厚度 z 变化，应力沿板厚度连续分布，可认为整个薄板的各点都有：由切应力互等可得(3) 应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。由于板面上不受力，有null 6个应力分量只剩下平行于 xy 面的三个平面应力分量，即 这三个平面应力分量虽沿厚度方向有变化，但由于板很薄，这种变化也是不明显的，因此可认为是不沿厚度变化。它们只是 x 和 y 的函数，不随 z 而变化。三个变形分量也可认为是不沿厚度变化。它们只是 x 和 y 的函数，不随 z 而变化。结论：null平面应变问题(1) 几何特征 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。 —— 近似认为无限长null 因此，柱形体变形时，横截面上各点只能在其自身平面（ xy 面）内移动，而不能沿Oz 轴方向移动，即位移分量与 z 无关，而只是 x 和 y 的函数。位移分量可写成(2) 外力特征 外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。 约束 —— 沿长度 z 方向不变化。(3) 位移、变形和应力特征null 同理，应力分量和变形分量也都与 z 无关，而只是 x 和 y 的函数。 由对称条件易知 由胡克定律知只剩下平行于 xy 面的三个应变分量：ex、 ey、 gxynull 平面应力问题与平面应变问题的区别：z 向位移正应变分量z 向正应力null 如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题null平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：—— 仅为 x y 的函数null需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件：—— 平衡微分方程—— 几何方程—— 物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；2.2 平衡微分方程2.2 平衡微分方程 物体在外力（含体力和面力）作用下处于平衡状态，则将其分割成若干任意形状的单元体后，每个单元体仍然平衡；反之，分割后每个单元体的平衡，也保证了整个物体的平衡。 从薄板或柱形体中取出一个微小正平行六面体作为单元体，其 x 和 y 方向的尺寸分别为 dx 和 dy，z 方向的尺寸为一个单位长度。null 应力分量是 x 和 y 的函数，设左面的正应力为 sx ，则右面的正应力为略去二阶及其以上微量 ，则右面的正应力为同理，左面切应力为txy ，则右面的切应力为设上面正应力为sy ，则下面的正应力为设上面切应力为tyx ，则下面的切应力为null 六面体的体力均匀分布，作用于六面体的体积中心 C，记为 fx 和 fy 。nullnullnullnull平衡微分方程2个方程，三个未知量 sx、 sy、 tyx = txy 决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑物理和几何方面的条件，才能解决问题。2.3 平面问题中一点的应力状态2.3 平面问题中一点的应力状态1. 应力状态：通过物体内同一点可作无数个方位不同的截面，各个截面上的应力一般来说是不同的。物体内同一点各个截面上的应力情况称为该点的应力状态。null 斜面AB的外法线方向 n 的方向余弦为 设AB的长度为ds，则 PA = m ds， PB = l ds， SPAB = l ds m ds / 2同理可得null 斜面AB上的正应力 斜面AB上的切应力null2. 主应力、应力主面、应力主向 若经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的主应力称为在P点的一个主应力，而该斜面称为在P点的一个应力主面，该斜面的法线方向称为在P点的一个应力主向。 应力主面上切应力为零，全应力就等于主应力，即 p = sn = s。 则 px = l s ， py = m s null求得两个主应力为两个主应力也就是最大与最小的正应力。null设 s1 与 x 轴的夹角为 a1，则主应力s1 的方向与主应力s2 的方向相互垂直。设 s2 与 x 轴的夹角为 a2，则 ，即在与 x 轴及 y 轴成 45º 的斜面上，切应力达到极值2.4 几何方程、刚体位移2.4 几何方程、刚体位移几何方程：位移分量与变形分量之间的关系式。 经过弹性体内的任一点P，沿 x 轴和 y 轴正方向取两个微小长度的线段 PA = dx和 PB = dy。一点的变形线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；考察P点邻域内线段的变形：null变形前变形后PABuv注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。nullPA的正应变：PB的正应变：nullP点的切应变：P点两直角线段夹角的变化null当 u、v 已知，则 ex、 ey 、 gxy可完全确定；反之，已知 ex、 ey 、 gxy ，不能确定u、v。整理得：——几何方程（2-8）说明：（1）反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。（2）（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）—— 以两线段夹角减小为正，增大为负。gxynull物体无变形，只有刚体位移。 即： (a)(b)(c)由(a)、(b)可求得： (d)将(d)代入(c)，得： null或写成： ∵上式中，左边仅为 y 的函数，右边仅 x 的函数，∴两边只能等于同一常数，即 (d)积分(e) ，得： (e)其中，u0、v0为积分常数。 （x、y方向的刚体位移），代入（d）得:(2-9)—— 刚体位移 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式null讨论： (2-9)—— 刚体位移表达式（1）仅有x方向平移。（2）仅有y方向平移。null（3）说明：—— P点沿切向绕O点转动ω —— 绕O点转过的角度（刚性转动）null2.5 物理方程建立：平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。null（2-10）其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；m 为侧向收缩系数，又称泊松比。 在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。null（1）平面应力问题的物理方程由于平面应力问题中（2-12）—— 平面应力问题的物理方程null注：(1) (2) —— 物理方程的另一形式平面应力问题的物理方程null（2）平面应变问题的物理方程平面应变问题中（2-13）—— 平面应变问题的物理方程null注：(2) 平面应变问题 物理方程的另一形式：平面应变问题的物理方程null（3）两类平面问题物理方程的转换：(1)平面应力问题平面应变问题材料常数的转换为：(2)平面应变问题平面应力问题材料常数的转换为：null2.6 边界条件1. 弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：（2-8）null（3）物理方程：未知量数：8个方程数：8个结论：在适当的边界条件下，上述8个方程可解。null2. 边界条件及其分类边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。是力学计算模型建立的重要环节。边界分类（1）位移边界（2）应力边界（3）混合边界—— 三类边界null（1）位移边界条件位移分量已知的边界 —— 位移边界 用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：（2-14）—— 平面问题的位移边界条件说明：称为固定位移边界。null（2）应力边界条件由前面斜面的应力分析，得式中取：得到：（2-15）式中：l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。—— 平面问题的应力边界条件null垂直 x 轴的边界：垂直 y 轴的边界：（2-15）—— 平面问题的应力边界条件null例1如图所示，试写出其边界条件。(1)(2)(3)null(4)说明：x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：null例2如图所示，试写出其边界条件。(1)AB段（y = 0）：代入边界条件公式，有(2)BC段（x = l）：null(3)AC段（y =x tan β）:null例3图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：由应力边界条件公式，有右侧面：null例4图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。解：—— 平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。即AB 边界：由应力边界条件公式，有（1）nullAC 边界：代入应力边界条件公式，有（2）∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界， ∴满足式（1）和（2），解得∴ A 点处无应力作用null例5图示楔形体，试写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件。例6null例5图示楔形体，试写出其边界条件。上侧：下侧：null图示构件，试写出其应力边界条件。例6上侧：下侧：null（3）混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：图(a)：—— 位移边界条件—— 应力边界条件图(b)：—— 位移边界条件—— 应力边界条件null平面问题的基本方程1. 平衡微分方程（2-2）2. 几何方程（2-8）3. 物理方程（平面应力问题）（2-12）4. 边界条件位移：（2-14）应力：（2-15）null2.7 圣维南原理问题的提出： 求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。 如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。null1. 静力等效的概念 两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。 这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。null2.圣维南原理(Saint-Venant Principle)原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。null3.圣维南原理的应用(1)对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。(2)有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：(1)必须满足静力等效条件；(2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。如：null例7图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。左侧面：代入应力边界条件公式右侧面：代入应力边界条件公式，有null上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：对O点的力矩等效：x方向力等效：null上端面：（方法2）取图示微元体，可见，与前面结果相同。由微元体的平衡求得，null2.8 按位移求解平面问题1.弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：（2-8）null（3）物理方程：（2-12）（4）边界条件：（1）（2）null2.弹性力学问题的求解方法（1）按位移求解（位移法、刚度法）以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。（3）混合求解以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。null3. 按位移求解平面问题的基本方程（1）将平衡方程用位移表示由应变表示的物理方程将几何方程代入，有（2-16）（ 2-17 ）null将式(2-17)代入平衡方程，化简有（2-18）null（2）将边界条件用位移表示位移边界条件：应力边界条件：（2-17）（2-14）null将式（2-17）代入，得（2-19）式（2-18）、（2-14）、（2-19）构成按位移求解问题的基本方程说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的E、μ作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。null（3）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2-18）（2）边界条件：位移边界条件：（2-14）应力边界条件：（2-19）null2.9 按应力求解平面问题 相容方程按应力求解平面问题的未知函数：（2-2）平衡微分方程：2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，从形变、形变与应力的关系建立补充方程。null1.变形协调方程（相容方程）将几何方程：（2-8）作如下运算：显然有：（2-20）—— 形变协调方程（或相容方程）即： 必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。null例：其中：C为常数。由几何方程得：积分得：由几何方程的第三式得：显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。null2. 变形协调方程的应力表示（1）平面应力情形将物理方程（2-20）（2-12）（a）代入相容方程，null利用平衡方程（2-2）将上述两边相加：（b）得null将 (b) 代入 (a) ，得：将 上式整理得：（2-21）应力表示的相容方程（平面应力情形）（a）（b）null（2）平面应变情形（2-22）应力表示的相容方程（平面应变情形）注意：当体力 fx、fy 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即（2-23）null3.按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）（2-21）（平面应力情形）null（3）边界条件：（2-15）说明：（1）对位移边界问题，不易按应力求解。（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。null例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）解:（a）（b）（1）将式（a）代入平衡方程：—— 满足null将式（a）代入相容方程：∴　式（a）不是一组可能的应力场。null（2）解:将式（b）代入应变表示的相容方程：式（b）满足相容方程，∴（b）为可能的应变分量。null例9图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力 P 作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 s x 和剪应力 t xy 的表达式，并取挤压应力 s y = 0，然后说明这些表达式是否代表正确解。解材料力学解答：式（a）满足平衡方程和相容方程？（a）式（a）是否满足边界条件？null代入平衡微分方程：显然，平衡微分方程满足。式（a）满足相容方程。代入相容方程：再验证，式（a）是否满足边界条件？上、下侧边界：null——满足——近似满足——近似满足结论：式（a）为正确解右侧边界：左侧边界：null2.10 常体力情况下的简化1.常体力下平面问题的相容方程令：—— 拉普拉斯（Laplace）算子则相容方程可表示为：—— 平面应力情形—— 平面应变情形当体力 fx、fy 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即或（2-23）null2.常体力下平面问题的基本方程（1）平衡方程（2）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件（4）位移单值条件—— 对多连通问题而言。null讨论：（1）—— Laplace方程，或称调和方程。（2）常体力下，方程中不含E、μ（a）两种平面问题，计算结果 sx 、 sy 、 txy 相同（但sz 、 ex 、 ey 、 gxy 、u 、v 不同。）（b）不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计算结果相同。—— 光弹性实验原理。（3）用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。null常体力下问题的基本方程：边界条件、位移单值条件。(a)(b)式(a)为非齐次方程，其解：全解 = 齐次方程通解3.平衡微分方程解的形式 应力函数(1) 特解常体力下特解形式：+非齐次方程的特解。(1)(2)(c)null将式(d)第一式改写为由微分方程理论，必存在一函数 A(x,y)，使得(e)(f)同理，将式(d)第二式改写为(g)(h)比较式( f )与(h)，有也必存在一函数 B(x,y)，使得(2) 通解式(a) 的齐次方程：(d)的通解。由微分方程理论，必存在一函数 F(x,y)，使得null(i)(j)将式 (i)、(j) 代入 (e)、(f)、(g)、(h)，得通解(k)—— 对应于平衡微分方程的齐次方程通解。(3) 全解取特解为：则其全解为：(2-24)—— 常体力下平衡方程（a）的全解。 由式（2-24）看：不管φ(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。φ(x,y) —— 平面问题的应力函数—— Airy 应力函数null4.相容方程的应力函数表示将式（2-24）代入常体力下的相容方程：(2-23)有：注意到体力 fx、 fy 为常量，有将上式展开，有(2-25)—— 应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。null式（2-25）可简记为：或：式中：满足方程(2-25)的函数φ(x,y) 称为重调和函数（或双调和函数）结论：应力函数φ应为一重调和函数(2-25)null按应力求解平面问题（fx = 常量、fy = 常量）的归结为：（1）(2-25)（2）先由方程（2-25）求出应力函数：(2-24)（3）（无体力情形）null本 章 小 结1.两类平面问题：平面应力问题；平面应变问题。（两类平面问题中基本方程的异同）2.平面问题的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件（位移、应力）。（几何特点、受力特点、应力或应变特点）3.平面问题的求解（1）按位移求解平面问题基本方程：（1）用位移表示的平衡微分方程；（2）用位移表示的应力边界条件；（3）边界条件：应力、位移边界条件。null（2）按应力求解平面问题相容方程（形变协调方程）：（应变表示形式、应力表示形式、应力函数表示。）应力函数表示的应力分量表达式：常体力下的简化；应力函数的求解方法：（逆解法、半逆解法。）null（1）(2-25)（2）先由方程（2-25）求出应力函数：(2-24)（3）按应力求解平面问题的基本步骤：4.应力边界条件的列写及圣维南原理的应用.5.任意斜面上应力、主应力、主方向；任意方向正应变的计算。6.任意斜面上线应变、变形后两线段夹角改变量的计算。null