中考数学讲解 直线与圆的位置关系

第33章 直线与圆的位置关系 一、选择题 1. （2011宁波市，11，3分）如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB与P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现 A． 3次 B．5次 C． 6次 D． 7次 【答案】B 2. （2011浙江台州，10,4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（ ） A. B. C. 3 D.2 【答案】B 3. （2011浙江温州，10，4分）如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O边AB，BC都相切，点E，F分别在边AD，DC上．现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE＝2，则正方形ABCD的边长是( ) A．3 B．4 C． D． 【答案】C 4. （2011浙江丽水，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ） A．点(0，3) B．点(2，3) C．点(5，1) D．点(6，1) 【答案】C 5. （2011浙江金华，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ） A．点（0，3） B．点（2，3） C．点（5，1） D．点(6，1) 【答案】C 6. （2011山东日照，11，4分）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为 的是（ ） 【答案】C 7. （2011湖北鄂州，13，3分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ） A．30° B．45° C．60° D．67.5° 【答案】D 8. (2011 浙江湖州，9，3)如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC＝OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD：DE的值是 A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 9. （2011台湾全区，33）如图(十五)， 为圆O的直径，在圆O上取异于A、B的一点C，并连接 、 ．若想在 上取一点P，使得P与直线BC的距离等于 长，判断下列四个作法何者正确？ A．作 的中垂线，交 于P点 B．作∠ACB的角平分线，交 于P点 C．作∠ABC的角平分线，交 于D点，过D作直线BC的并行线，交 于P点 D．过A作圆O的切线，交直线BC于D点，作∠ADC的角平分线，交 于P点 【答案】Ｄ 10．（2011甘肃兰州，3，4分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于 A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 11. （2011四川成都，10,3分）已知⊙O的面积为 ，若点0到直线 的距离为 ，则直线 与⊙O的位置关系是C (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定 【答案】C 12. (2011重庆綦江，7，4分) 如图,PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P＝60°，OA＝3，那么∠AOB所对弧的长度为（ ） A．6л B．5л C．3л D．2л 【答案】：D 13. （2011湖北黄冈，13，3分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ） A．30° B．45° C．60° D．67.5° 【答案】D 14. （2011山东东营，12，3分）如图，直线 与x轴、y分别相交与A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切与点O。若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P′的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D． 5 【答案】B 15. （2011浙江杭州，5，3）在平面直角坐标系xOy中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（ ） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 【答案】C 16. （2011山东枣庄，7，3分）如图， 是 的切线，切点为A，PA=2 ,∠APO=30°，则 的半径为（ ） A.1 B. C.2 D.4 【答案】C 二、填空题 1. （2011广东东莞，9，4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点，连结BC.若∠A＝40°，则∠C＝ ° 【答案】 2. （2011四川南充市，13，3分）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点， AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P= __________度. 【答案】50 3. （2011浙江衢州，16,4分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径 .用角尺的较短边紧靠 ，并使较长边与 相切于点 .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点 ，较短边 .若读得 长为 ，则用含 的代数式表示 为 . 【答案】当 时， ； 当 . 4. (2011浙江绍兴，16，5分) 如图，相距2cm的两个点 在在线 上，它们分别以2 cm/s和1 cm/s的速度在 上同时向右平移，当点 分别平移到点 的位置时，半径为1 cm的 与半径为 的 相切，则点 平移到点 的所用时间为 s. 【答案】 5. （2011江苏苏州，16,3分）如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D.若CD= ，则线段BC的长度等于__________. 【答案】1 6. （2011江苏宿迁,17,3分）如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝26°，则∠ACB的度数为 ▲ ． 【答案】32 7. （2011山东济宁，13，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm，以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 ． 【答案】相交 8. （2011广东汕头，9，4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点，连结BC.若∠A＝40°，则∠C＝ ° 【答案】 9. （2011山东威海，17，3分）如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，没得CE＝5cm，将量角器沿DC方向平移2cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC、BC相切，如图②，则AB的长为 cm.（精确到0.1cm） 图① （第17题） 图② 【答案】 24.5 10．（2011四川宜宾,11,3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=_____． 【答案】20° 11. （2010湖北孝感，18，3分）如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半 圆M的弦AB与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设 、 的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）= . 【答案】8π 12. （2011广东省，9，4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点，连结BC.若∠A＝40°，则∠C＝ ° 【答案】 三、解答题 1. （2011浙江义乌，21，8分）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E. ⊙O的切线BF与弦AD的 延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD= . （1）求证：CD∥BF； （2）求⊙O的半径； （3）求弦CD的长. 【答案】（1）∵BF是⊙O的切线 ∴AB⊥BF ∵AB⊥CD ∴CD∥BF （2）连结BD ∵AB是直径 ∴∠ADB=90° ∵∠BCD=∠BAD cos∠BCD= ∴cos∠BAD= 又∵AD=3 ∴AB=4 ∴⊙O的半径为2 （3）∵cos∠DAE= AD=3∴AE= ∴ED= ∴CD=2ED= eq \f(3,2) 2. （2011浙江省舟山，22，10分）如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC． （1）求证：CA是圆的切线； （2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC= ，tan∠AEC= ，求圆的直径． 【答案】（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC， ∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线． (2)在Rt△AEC中，tan∠AEC= ，∴ , ; 在Rt△ABC中，tan∠ABC= ，∴ , ; ∵BC-EC=BE，BE=6，∴ ,解得AC= , ∴BC= ．即圆的直径为10. 3. （2011安徽芜湖，23，12分）如图，已知直线 交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作 ，垂足为D. (1) 求证：CD为⊙O的切线； (2) 若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度. 【答案】 （1）证明：连接OC， …………………1分 因为点C在⊙O上，OA=OC，所以 因为 ， 所以 ，有 .因为AC平分∠PAE， 所以 ……………3分 所以 ……4分 又因为点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，所以CD为⊙O的切线. ………………5分 （2）解:过O作 ，垂足为F，所以 ， 所以四边形OCDF为矩形，所以 ……………………………7分 因为DC+DA=6，设 ,则 因为⊙O的直径为10，所以 ，所以 . 在 中，由勾股定理知 即 化简得 ， 解得 或x=9. ………………9分 由 ，知 ，故 . ………10分 从而AD=2， …………………11分 因为 ，由垂径定理知F为AB的中点，所以 …………12分 4. （2011山东滨州，22，8分）如图，直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM, 连接OM、BC. 求证：（1）△ABC∽△POM; (2)2OA2=OP·BC. 【答案】证明：（1）∵直线PM切⊙O于点M，∴∠PMO=90°………………1分 ∵弦AB是直径，∴∠ACB=90°………………2分 ∴∠ACB=∠PMO………………3分 ∵AC∥PM, ∴∠CAB=∠P ………………4分 ∴△ABC∽△POM………………5分 (2) ∵ △ABC∽△POM, ∴ ………………6分 又AB=2OA,OA=OM, ∴ ………………7分 ∴2OA2=OP·BC………………8分 5. （2011山东菏泽，18，10分）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4， (1)求证：△ABE∽△ADB； (2)求AB的长； (3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 理由． 解：(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D， 又∵∠BAE=∠EAB，∴△ABE∽△ADB， (2) ∵△ABE∽△ADB，∴ ， ∴AB2=AD·AE=(AE＋ED)·AE=(2＋4)×2=12 ∴AB= ． (3) 直线FA与⊙O相切，理由如下： 连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°， ∴ ， BF=BO= ， ∵AB= ，∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°， ∴直线FA与⊙O相切． 6. （2011山东日照，21，9分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D． 求证：（1）∠AOC=2∠ACD； （2）AC2＝AB·AD． 【答案】证明：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°， 即∠ACD+∠ACO=90°．…① ∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO， ∴∠AOC=180°-2∠ACO，即 ∠AOC+∠ACO=90°. ② 由①，②，得：∠ACD- ∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD； （2）如图，连接BC． ∵AB是直径，∴∠ACB=90°． 在Rt△ACD与△RtACD中， ∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD， ∴△ACD∽△ABC，∴ ，即AC2=AB·AD． 7. （2011浙江温州，20，8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．已知OA＝3，AE＝2， (1)求CD的长； (2)求BF的长． 【答案】解：(1)连结OC，在Rt△OCE中， ． ∵CD⊥AB， ∴ (2) ∵BF是⊙O 的切线， ∴FB⊥AB， ∴CE∥FB， ∴△ACE∽△AFB， ∴ ， ， ∴ 8. （2011浙江省嘉兴，22，12分）如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC． （1）求证：CA是圆的切线； （2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC= ，tan∠AEC= ，求圆的直径． 【答案】（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC， ∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线． (2)在Rt△AEC中，tan∠AEC= ，∴ , ; 在Rt△ABC中，tan∠ABC= ，∴ , ; ∵BC-EC=BE，BE=6，∴ ,解得AC= , ∴BC= ．即圆的直径为10. 9. （2011广东株洲，22，8分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D 为AC上一点，∠AOD=∠C． （1）求证：OD⊥AC； （2）若AE=8， ，求OD的长． 【答案】（1）证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径 ∴∠ABC=90°，∠A+∠C=90°， 又∵∠AOD=∠C， ∴∠AOD+∠A=90°， ∴∠ADO=90°， ∴OD⊥AC. （2）解：∵OD⊥AE，O为圆心， ∴D为AE中点 ， ∴ ， 又 ，∴ OD=3. 10．（2011山东济宁，20，7分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF， （1）求证：OD∥BE； （2）猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由． 【答案】（1）证明：连接OE， ∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径， ∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°， ∴∠AOD=∠EOD= ∠AOE， ∵∠ABE= ∠AOE，∴∠AOD=∠ABE， ∴OD∥BE （2）OF= CD， 理由：连接OC， ∵BC、CE是⊙O的切线， ∴∠OCB=∠OCE ∵AM∥BN， ∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得∠ADO=∠EDO， ∴2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90° 在Rt△DOC中，∵F是DC的中点， ∴OF= CD． 11. （2011山东聊城，23，8分）如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是 的中点，连接OD、AE，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P， （1）求∠AOD的度数； （2）求证：PD是半圆O的切线； 【答案】（1）∵点C是OA的中点，∴OC＝ OA＝ OD，∵CD⊥OA，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，cos∠COD＝ ，∴∠COD＝60°，即∠AOD＝60°， （2）证明：连接OC，点E是BD弧的中点，DE弧＝BE弧，∴∠BOE＝∠DOE＝ ∠DOB＝ (180°－∠COD)＝60°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，又∠EAO＋∠AEO＝∠EOB＝60°，∴∠EAO＝30°，∵PD∥AE，∴∠P＝∠EAO＝30°，由（1）知∠AOD＝60°，∴∠PDO＝180°－(∠P＋∠POD)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴PD是圆O的切线 12. （2011山东潍坊，23，11分）如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM、BN为半圆的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点做半圆的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q. （1）求证：△ABC∽ΔOFB； （2）当ΔABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长； （3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点. 【解】（1）证明：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°，即AC⊥BC. 又∵OE⊥BC，∴OE//AC，∴∠BAC=∠FOB. ∵BN是半圆的切线，故∠BCA=∠OBF=90°. ∴△ACB∽△OBF. （2）由△ACB∽△OBF，得∠OFB=∠DBA，∠DAB=∠OBF=90°， ∴△ABD∽△BFO， 当△ABD与△BFO的面积相等时，△ABD≌△BFO. ∴AD=BO= AB =1. ∵DA⊥AB，∴DA为⊙O的切线. 连接OP，∵DP是半圆O的切线， ∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1， ∴四边形ADPO为正方形. ∴DP//AB，∴四边形DABQ为矩形. ∴BQ=AD=1. （3）由（2）知，△ABD∽△BFO， ∴ ，∴ . ∵DPQ是半圆O的切线，∴AD=DP，QB=QP. 过点Q作AM的垂线QK，垂足为K，在Rt△DQK中， ， ∴ ， ∴ ，∴BF=2BQ，∴Q为BF的中点. 13. （2011四川广安，29，10分）如图8所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）求证： AQ·PQ= OQ·BQ； （3）设∠AOQ= ．若cos = ．OQ= 15．求AB的长 【答案】（1）证明：如图，连结OP ∵PA=PB，AO=BO，PO=PO ∴△APO≌△BPO ∴∠PBO=∠PAO=90° ∴PB是⊙O的切线 （2）证明：∵∠OAQ=∠PBQ=90° ∴△QPB∽ QOA ∴ 即AQ·PQ= OQ·BQ （3）解：cos = = ∴AO=12 ∵△QPB∽ QOA ∠BPQ=∠AOQ= ∴tan∠BPQ= = ∴PB=36 PO=12 ∵ AB·PO= OB·BP ∴AB= 14. （2011江苏淮安，25，10分）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°. (1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？(2)连接CD，若CD=5，求AB的长. 【答案】(1)答：直线BD与⊙O相切.理由如下： 如图，连接OD， ∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°， ∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°， 即OD⊥BD， ∴直线BD与⊙O相切. (2)解：由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°， ∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°， 又∵OC=OD， ∴△DOB是等边三角形， ∴OA=OD=CD=5. 又∵∠B=30°，∠ODB=30°， ∴OB=2OD=10. ∴AB=OA+OB=5+10=15. 15. （2011江苏南通，22，8分）（本小题满分8分） 如图，AM为⊙O的切线，A为切点，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB.求∠B的度数. 【答案】60°. 16. （2011四川绵阳22，12）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切. (1)求证：OB丄OC; (2)若AD= 12，∠ BCD=60°，⊙O1与半⊙O 外切，并与BC、CD 相切，求⊙O1的面积. 【答案】（1）证明：连接OF,在梯形ABCD，在直角△AOB 和直角△AOB F中 ∵ ∴△AOB≌△AOB（HL） 同理△COD≌△COF,∴∠BOC=90°，即OB⊥OC (2) 过点做O1G,O1H垂直DC,DA,∵∠DOB=60°，∴∠DCO=∠BCO=30°，设O1G=x,又∵AD=12,∴OD=6，DC=6,OC=12,CG=x, O1C =6-x,根据勾股定理可知O1G²+GC²=O1C² x²+3x²=（6-x）²∴(x-2)(x+6)=0,x=2 17. （2011四川乐山24，10分）如图，D为 O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD. (1)求证:CD是⊙O的切线; (2)过点B作 O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA= ,求BE的长 【答案】 ⑴证明：连接OD ∵OA=OD ∴∠ADO=∠OAD ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADO+∠BDO=90° ∴在RtΔABD中，∠ABD+∠BAD=90° ∵∠CDA=∠CBD ∴∠CDA+∠ADO=90° ∴OD⊥CE 即CE为⊙O的切线 18. （2011四川凉山州，27，8分）如图，已知 ，以 为直径， 为圆心的半圆交 于点 ，点 为 的中点，连接 交 于点 ， 为 的角平分线，且 ，垂足为点 。 （1）​ 求证： 是半圆 的切线； （2）​ 若 ， ，求 的长。 【答案】 ⑴证明：连接 ， ∵ 是直径 ∴ 有∵ 于 ∴ ∵ ∴ ∵ 是 的角平分线 ∴ 又 ∵ 为 的中点 ∴ ∵ 于 ∵ 即 又∵ 是直径 ∴ 是半圆 的切线 ···4分 （2）∵ ， 。 由（1）知， ，∴ 。 在 中， 于 ， 平分 ， ∴ ，∴ 。 由 ∽ ，得 。 ∴ ， ∴ 。 19. （2011江苏无锡，27，10分）(本题满分10分)如图，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)。动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动。若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动。 (1)当P在线段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围； (2)当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形。 【答案】 解：(1)当点P在线段OA上时，P(3t，0)，……………(1分) ⊙P与x轴的两交点坐标分别为(3t − 1，0)、(3t + 1，0)，直线l为x = 4 − t， 若直线l与⊙P相交，则……………(3分) 解得： < t < ．………………………(5分) (2)点P与直线l运动t秒时，AP = 3t − 4，AC = t． 若要四边形CPBD为菱形，则CP // OB， ∴∠PCA = ∠BOA，∴Rt△APC ∽ Rt△ABO， ∴，∴，解得t = ，……(6分) 此时AP = ，AC = ，∴PC = ，而PB = 7 − 3t = ≠ PC， 故四边形CPBD不可能时菱形．………………(7分) (上述方法不唯一，只要推出矛盾即可) 现改变直线l的出发时间，设直线l比点P晚出发a秒， 若四边形CPBD为菱形，则CP // OB，∴△APC ∽ △ABO，，∴， 即：，解得 ∴只要直线l比点P晚出发秒，则当点P运动秒时，四边形CPBD就是菱形．………………(10分) 20．（2011湖北武汉市，22，8分）（本题满分8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E． （1）求证：PB为⊙O的切线； （2）若tan∠ABE= ，求sinE的值．   【答案】(本题8分)（1）证明：连接OA ∵PA为⊙O的切线，     ∴∠PAO=90°     ∵OA＝OB，OP⊥AB于C     ∴BC＝CA，PB＝PA     ∴△PBO≌△PAO     ∴∠PBO＝∠PAO＝90°     ∴PB为⊙O的切线 （2）解法1：连接AD，∵BD是直径，∠BAD＝90° 由（1）知∠BCO＝90°     ∴AD∥OP     ∴△ADE∽△POE     ∴EA/EP＝AD/OP 由AD∥OC得AD＝2OC ∵tan∠ABE=1/2 ∴OC/BC=1/2，设OC＝t,则BC＝2t,AD=2t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t，OP＝5t     ∴EA/EP=AD/OP=2/5，可设EA＝2m,EP=5m,则PA=3m     ∵PA=PB∴PB=3m     ∴sinE=PB/EP=3/5 （2）解法2：连接AD，则∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°∵由AD∥OC，∴AD＝2OC ∵tan∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC＝t，BC＝2t，AB=4t由△PBC∽△BOC，得PC＝2BC＝4t， ∴PA＝PB＝2 t 过A作AF⊥PB于F，则AF·PB=AB·PC     ∴AF= t 进而由勾股定理得PF＝ t     ∴sinE=sin∠FAP=PF/PA=3/5 21. （2011湖南衡阳，24，8分）如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交与点D． (1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由； (2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长． 【解】 (1) CD与⊙O的位置关系是相切，理由如下： 作直径CE，连结AE． ∵CE是直径， ∴∠EAC＝90°，∴∠E＋∠ACE=90°， ∵CA=CB，∴∠B＝∠CAB，∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB，∵∠B＝∠E，∠ACD＝∠E， ∴∠ACE＋∠ACD=90°，即∠DCO=90°， ∴OC⊥D C，∴CD与⊙O相切． （2）∵CD∥AB，OC⊥D C，∴OC⊥A B， 又∠ACB=120°，∴∠OCA＝∠OCB=60°， ∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形， ∴∠DOA=60°， ∴在Rt△DCO中， = ， ∴DC= OC= OA=2 ． 22. （2011湖南永州，23，10分）如图，AB是半圆O的直径，点C是⊙O上一点（不与A，B重合），连接AC，BC，过点O作OD∥AC交BC于点D，在OD的延长线上取一点E，连接EB，使∠OEB=∠ABC． ⑴求证：BE是⊙O的切线； ⑵若OA=10，BC=16，求BE的长． 【答案】证明：⑴∵AB是半圆O的直径 ∴∠ACB=90° ∵OD∥AC ∴∠ODB=∠ACB=90° ∴∠BOD+∠ABC=90° 又∵∠OEB=∠ABC ∴∠BOD+∠OEB=90° ∴∠OBE=90° ∵AB是半圆O的直径 ∴BE是⊙O的切线 ⑵在 中，AB=2OA=20，BC=16，∴ ∴ ∴ ∴ ． 23. （2011江苏盐城，25，10分）如图，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F． （1）若AC=6，AB= 10，求⊙O的半径； （2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由． 【答案】（1）连接OD. 设⊙O的半径为r. ∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC. ∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC. ∴ = ，即 = . 解得r = ， ∴⊙O的半径为. (2)四边形OFDE是菱形. ∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF=∠B. ∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB. ∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°. ∵DE∥AB，∴∠ODE=60°.∵OD=OE，∴△ODE是等边三角形. ∴OD=DE.∵OD=OF，∴DE=OF. ∴四边形OFDE是平行四边形. ∵OE=OF，∴平行四边形OFDE是菱形. 24. (20011江苏镇江27,9分)在平面直角坐标系xOy中,一次 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数 的图象是直线 与x轴、y轴分别相交于A、B两点.直线 过点C(a,0)且与 垂直,其中a>0,点P、Q同时从A点出发,其中点P沿射线AB运动,速度为每秒4个单位;点Q沿射线AO运动,速度为每秒5个单位. (1)写出A点的坐标和AB的长; (2)当点P、Q运动了t秒时,以点Q为圆心,PQ为半径的⊙Q与直线 、y轴都相切,求此时a的值. 答案:(1)A(-4,0),AB=5. (2)由题意得：AP=4t,AQ=5t, ,又∠PAQ=∠QAB,∴△APQ∽△AOB. ∴∠APQ=∠AOB=90°。 ∵点P在 上，∴⊙Q在运动过程中保持与 相切。 ①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，设 与⊙Q相切于F，由△APQ∽△AOB得 ,∴PQ=6, 连接QF，则QF=PQ, △QFC∽△APQ∽△AOB得 . ∴ , ,∴QC= ,a=OQ+QC= . ②当⊙Q在y轴左侧与y轴相切时，设 与⊙Q相切于E, 由△APQ∽△AOB得 ,∴PQ= . 连接QE，则QE=PQ,由△QEC∽△APQ∽△AOB得 ，∴ ， ， ∴QC= ,a=QC-OQ= .∴a的值为 和 。 25. （2011广东湛江27,12分）如图，在 中， ，点D是AC的中点，且 ,过点 作 ，使圆心 在 上， 与 交于点 ． （1）求证：直线 与 相切； （2）若 ,求 的直径． 【答案】（1）证明：连接OD，在 中，OA=OD， 所以 ， 又因为 ， 所以 ，所以 ，即 ， 所以BD与 相切； （2）由于AE为直径，所以 ,由题意可知 ,又点D是AC的中点，且 ，所以可得 ，即 的直径为5. 26. （2011贵州安顺，26，12分）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E． ⑴求证：点D是AB的中点； ⑵判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； ⑶若⊙O的直径为18，cosB = ，求DE的长． 【答案】（1）证明：连接CD,则CD ， 又∵AC = BC， CD = CD， ∴ ≌ ∴AD = BD ， 即点D是AB的中点． （2）DE是⊙O的切线 ． 理由是：连接OD, 则DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC ， 又∵DE ； ∴DE 即DE是⊙O的切线； （3）∵AC = BC， ∴∠B =∠A ， ∴cos∠B = cos∠A = ， ∵ cos∠B = ， BC = 18， ∴BD = 6 ， ∴AD = 6 ， ∵ cos∠A = ， ∴AE = 2， 在 中，DE= ． 27. （2011河北，25，10分）如图14-1至14-4中，两平行线AB,CD间的距离为6，点M为AB上一定点. 思考 如图14-1，圆心为O的半圆纸片在AB,CD之间（包括AB,CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α. 当α= 度时，点P到CD的距离最小，最小值为 。 探究一 在图14-1的基础上，以点M为旋转中心，在AB,CD之间顺时针旋转该半圆纸片，直到不能再转动为止，如图14-2，得到最大旋转角∠BMO= 度，此时点N到CD的距离是 探究二 将图14-1中的扇形纸片NOP按下面对α 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转。 （1）如图14-3，当α=60°时，球在旋转过程中，点p到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值； （2）如图14-4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围. （参考数据：sin49°= ,cos41°= ，tan37°= ） 【答案】思考 90，2； 探究一 30，2； 探究二 （1）由已知得M与P的距离为4，∴当MP⊥AB时，点P到AB的最大距离为4，从而点P到CD的最小距离为6-4=2.当扇形MOP在AB,CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切，此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°。 （2）如图，由探究一可知，点P是弧MP与CD的切点时，α达到最大，即OP⊥CD。此时延长PO交AB于点H，α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°。 如图，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD,α达到最小，连接MP，作OH⊥MP于点H，由垂径定理，得MH=3，在Rt△MOH中，MO=4，∴sin∠MOH= ，∴∠MOH=49°，∵α=2∠MOH，∴α最小值为98°。∴α的取值范围是98°≤α≤120°。