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微积分入门.ppt

微积分入门

用户2428460697
2014-03-10 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《微积分入门ppt》,可适用于工程科技领域

定积分定积分第一节定积分的概念与性质一、问题的提出一、问题的提出实例(求曲边梯形的面积)用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然小矩形越多矩形总面积越接近曲边梯形面积.(四个小矩形)(九个小矩形)曲边梯形如图所示曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为实例(求变速直线运动的路程)思路:把整段时间分割成若干小段每小段上速度看作不变求出各小段的路程再相加便得到路程的近似值最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值.()分割()求和()取极限路程的精确值二、定积分的定义二、定积分的定义定义记为积分上限积分下限积分和注意:三、存在定理三、存在定理定理定理四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值几何意义:例利用定义计算定积分解五、定积分的性质五、定积分的性质证(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)性质证性质例若(定积分对于积分区间具有可加性)则性质证性质性质解令于是可以直接作出答案性质的推论:证()证性质的推论:()证(此性质可用于估计积分值的大致范围)性质曲边梯形的面积夹在两个矩形之间解例不计算定积分估计的大小证由闭区间上连续函数的介值定理知性质(Th定积分第一中值定理)积分中值公式使即积分中值公式的几何解释:Th(推广的积分第一中值定理)六、积分上限函数及其导数六、积分上限函数及其导数考察定积分记积分上限函数证由积分中值定理得计算下列导数补充证例求解定理(原函数存在定理)定理的重要意义:()肯定了连续函数的原函数是存在的()初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系七牛顿莱布尼茨公式七牛顿莱布尼茨公式定理(微积分基本公式)证令令牛顿莱布尼茨公式微积分基本公式表明:注意求定积分问题转化为求原函数的问题例求原式解解例求解由图形可知则有微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼茨公式八、换元公式八、换元公式定理证应用换元公式时应注意:()()例计算例计算例计算解凑微分是第一类换元积分法特点是不要明显地换元也就不要更换积分的上下限。例计算解原式例计算解三角代换和根式代换三角代换和根式代换例计算解令原式明显换元证奇函数例计算解原式偶函数单位圆的面积总结:、定积分公式、定积分计算方法(直接代入凑微分根式代换三角代换)、根式和三角代换为明显的代换所以换元要换上下限、介绍了积分上限函数、积分上限函数是原函数、计算上限函数的导数证()设()由此计算设九、分部积分公式九、分部积分公式推导例计算解例计算解令则例计算解例计算例计算解第四节广义积分一、无穷限的广义积分第四节广义积分一、无穷限的广义积分例计算广义积分解简记为例计算广义积分解证第五节、定积分应用第五节、定积分应用回顾曲边梯形求面积的问题、几何上的应用、几何上的应用面积面积一、平面图形的面积一、平面图形的面积直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则边梯形面积为A,右图所示图形面积元素为曲边梯形的面积曲边梯形的面积有时也会选y为积分变量解()作图()求出两曲线的交点()选为积分变量()代公式解两曲线的交点解题步骤:解题步骤:()求出交点()选择合适的积分变量确定积分区间计算。()画出草图例求椭圆例求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式二、立体体积二、立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,已知平行截面面积函数的立体体积例一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,例一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积思考:可否选择y作积分变量思考:可否选择y作积分变量此时截面面积函数是什么如何用定积分表示体积提示:旋转体的体积旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.圆柱圆锥圆台当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有旋转体的体积旋转体的体积为例计算由椭圆例计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积解:利用直角坐标方程则(利用对称性)例例与x轴围成的封闭图形绕直线y=旋转得的旋转体体积(考研)解:利用对称性,故旋转体体积为在第一象限求曲线解

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